【正文】 這里采用前加窗法 ， 約定： x(i)=0 i＜ 0 得到 )()( 211 iennin???? ??() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 M個(gè)權(quán)的 FIR濾波器 z－ 1z－ 1x ( i － 1) x ( i － M ＋ 1 )z－ 1d ( i )…x ( i )－＋e ( i )d ( i )^w1( i ) w2( i ) wM( i )第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 為了后面敘述方面 ， 引入一些符號(hào) 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最小二乘濾波 1. 最小二乘的基本問題 已知 n個(gè)數(shù)據(jù) ｛ x(1),x(2),…,x(n)｝ ， 采用 M個(gè)權(quán)的 FIR濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波 ， 假設(shè)期望信號(hào)為 d(i)， 如圖 。 定義 ??jjen2)(?() 式中 , ξ (n)是誤差信號(hào)的平方和； ej是 j時(shí)刻的誤差信號(hào)， WXdyde Tjjjjj ????第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 dj是 j時(shí)刻的期望信號(hào) ， Xj是 j時(shí)刻的輸入信號(hào)構(gòu)成的向量 ， W表示濾波器的權(quán)系數(shù)構(gòu)成的向量 。 下面介紹梯度算法 ， 這種算法可以減少運(yùn)算量 ， 且適合非平穩(wěn)情況 。 公式為 0]))(())([( 22????pbpfpkneneE() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將 ()、 ()代入上式， 可以得到 ]))1([]))([)]1()([2212111?????????neEneEneneEkbpfpbpfpp() 實(shí)際計(jì)算時(shí)，上式中的統(tǒng)計(jì)平均值用時(shí)間平均計(jì)算， 公式為 ]))1([(]))([()1()(2?212111???????????ieEieieiekbpifpbpifpp() 對(duì)于復(fù)信號(hào)情況，公式為 ]|)1(||)([|)1()(2?2121*11???????????ieieieiekbpifpbpifpp() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上面兩式便是直接利用數(shù)據(jù)計(jì)算反射系數(shù)的遞推公式 。 (3) 前向預(yù)測誤差濾波器是最小相位濾波器，即它的全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。 另外 ， 為提高線性預(yù)測性能 ， 需要增加一節(jié)或幾節(jié) ， 可以只對(duì) 新增加的級(jí)進(jìn)行獨(dú)立的調(diào)節(jié) ， 達(dá)到輸出均方誤差最小 ， 無需再調(diào)節(jié)前面的系數(shù) 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 格型濾波器的性質(zhì) (1) 各階后向預(yù)測誤差相互正交。 把 kp稱作反射系數(shù) ， 是類似于傳輸線的情況 ， 如圖 所示 ， 第 p節(jié)的輸出功率 (即下一級(jí)的輸入功率 )等于前一級(jí)的輸出功率減去本級(jí)的反射功率 ， 用公式表示如下： 2 12 ?? pp ??() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第 p 節(jié)21?p? 2p?2,1 反?p?圖 傳輸線 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 1. 由預(yù)測誤差濾波器導(dǎo)出格型濾波器 將前面已推導(dǎo)的前向預(yù)測誤差公式 ()重寫如下 : ?????pkkpfp knxanxne1, )()()(再將系數(shù) ap,k(k=1,2,3,…,p)的遞推公式 ()代入上式 ， 并令 kp=ap,p， 得到 ? ?????????????????????????????????????????1111,1,111,1,111,)()()()()()()()()()()()(pkpkkpppkppkpkpppkppkpkpfpknxapnxkknxanxpnxkknxakanxpnxkknxanxne第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式與 ()式對(duì)比，方程式的右邊前兩項(xiàng)是 p1階前向預(yù)測誤差， 即 ????? ???11,11 )()()(pkkpfp knxanxne()方程式的右邊最后一項(xiàng)中 ， 因?yàn)?k=1,2,3,…,p1時(shí) ， pk=p1, p2, …,1， 方括號(hào)部分可以寫成 ????????? ????????11,111,1 )()()()(pkkppkkpp kpnxapnxknxapnx將上式右邊與 ()式對(duì)比，該部分就是 n1時(shí)刻 p1階的后向預(yù)測誤差， 即 ?????? ?????11,11 )()()1(pkkppbp knxapnxne第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 這樣由 ()式，得到前向預(yù)測誤差的遞推公式， 即 )1()()( 11 ??? ?? neknene bppfpfp () 類似地，得到后向預(yù)測誤差的遞推公式為 )()1()( 11 neknene fppbpbp ?? ??? () 利用 ()式和 ()式 ， 組成格型濾波器的第 p節(jié)的結(jié)構(gòu)圖 , 如圖 (a)所示 。 可以采用高斯消元法解出 ap,k(k=1,2, 3,…,p)以及 σ 2p,但需要 p3量級(jí)運(yùn)算量 。, ,3,2,1ppkpkp pkaa?? ??? ?() () 上面兩式表明前 、 后向預(yù)測的最小誤差功率相等 ， 系數(shù)也相等(如果是復(fù)數(shù) ， 則是共軛關(guān)系 )。 將 ()式和()式進(jìn)行對(duì)比 ， 它們極其相似 。?)()( pnxpnxnb bp ???? () 同樣 ， 利用最小均方誤差的準(zhǔn)則 ， 可以得到關(guān)于后向預(yù)測時(shí)的正交原理以及 YuleWalker方程 ， 它們分別用下面的 ()和 ()式表示： 0)]()([ ??? kpnxneE bpk=1, 2, 3, … , p ????????????????pixxkpxxppixxkpxxirarikrakr139。?() 一般前向 、 后向預(yù)測用同一數(shù)據(jù)進(jìn)行 ， 即利用 x(n),x(n1)， x(n2)， …,x(np)進(jìn)行預(yù)測 ， 為此 ， 將上式改為 ???????pkkp kpnxapnx139。 按照第二章的推導(dǎo) ， 前向預(yù)測誤差濾波器的最佳系數(shù) ap,kYuleWalker方程式 ， 重寫如下： 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 ?????????????????pixxipxxppixxipxxirarpkikrakr1,21,)()0(,3,2,10)()(??() 將上式用矩陣方程表示為 ??????????????????????????????????????????????001)1()2()()1()0()1()()1()0( 2,1,????????ppppxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaprprprprrrprrr ?() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 如果利用 x(n+1),x(n+2), …,x(n+p)數(shù)據(jù)預(yù)測 x(n)， 則稱為后向預(yù)測 ， 其估計(jì)值用 表示 。 ()式表明 是由 n時(shí)刻以前的 p個(gè)數(shù)據(jù) x(n1)、 x(n2)…x(np)得到的估計(jì) ， 因此稱 為前向預(yù)測誤差 。 該圖表明個(gè)別學(xué)習(xí)曲線起伏較大 ，平均學(xué)習(xí)曲線起伏很小 ， 計(jì)算出的維納最小均方誤差為 96， 用 LMS算法得到的穩(wěn)態(tài)誤差大于該值 ， 按 ()式計(jì)算的失調(diào)系數(shù)是 %， 按計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果測得的失調(diào)系數(shù)是 %。 上式說明 μ 和輸入功率加大都會(huì)增加失調(diào)系數(shù) 。m i nm i n])[[][][][][jiNiijTjjxxTjvEVΛEVEVERVE?????????????同樣，假設(shè)加權(quán)系數(shù)變化很小， Vj也變化很小， E［ Vj］ ≈ Vj，這樣： 類似前面的推導(dǎo)，得到 iii m s eNijojiiv????????412e][12239。 下面進(jìn)行推導(dǎo) 。0]2[][ ijiji vIvE ????() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 同樣引入時(shí)常數(shù) τ i, ][][e][21)21l n (139。1T QVVvvvVQV N ??? ?得到 39。],[39。 下面對(duì)這種算法的性能進(jìn)行分析 ， 主要分析加權(quán)矢理和性能函數(shù)的平均變化規(guī)律以及它們的隨機(jī)性造成的影響 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 ? 值的影響 (a) 較小時(shí)的情況； （ b） 較大時(shí)的情況 ? ?( a ) ( b )w2w1w ( 0 )w ( 0 )w1w2第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最小均方 (LMS)算法 1. LMS算法的權(quán)值計(jì)算 ] LMS(Least Mean Square)算法的梯度估計(jì)值用一條樣本曲線進(jìn)行計(jì)算，公式如下： ? ???????????????????Njjjjj wewewee222122? ?() 因?yàn)? jjj XWde T??第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 所以 jNjjj Xwewewe?????????????? T21, ?jjj Xe2? ???() () jjjj XeWW ?21 ???FIR濾波器中的第 i個(gè)權(quán)系數(shù)的計(jì)算公式為 Nixeww ijjijij ,3,2,12 ,1 ?????? ?() FIR濾波器中的第 i個(gè)權(quán)系數(shù)的控制電路如圖 , LMS自適應(yīng)濾波器的總框圖如圖 所示 。 μ 值收斂過程影響很大，首先必須選擇得足夠小，使之滿足收斂條件： m a x10?? ??但按照 ()、 ()式 ， 它影響收斂速度 。m i n2 ][ ??() 將 ()式代入，得到 ijNiiij eveE???21239。0() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 kτjNkikiji cww1* e????() 式中 39。239。 )2( ijiji vIv ????() 令 Niiτi ,3,2,1e211???? ??() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將上式代入 ()式，得到 Nivv iτji i ,3,2,1e 39。 按照 ()式，權(quán)矢量的遞推解是 39。 ()式即是最陡下降法的收斂條件 ， 式中 λ max是 Rxx的最大特征值 。 )2( VΛI(xiàn)V jj ???() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 再將 ()式代入 ， 再經(jīng)過坐標(biāo)平移 ， 即代入 Vj=WjW*式 ， 最后得到權(quán)系數(shù)的遞推公式： )()2( *0T* WWQΛI(xiàn)QWW jj ???? ?() 上面遞推公式中，［ 139。39。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 最陡下降法 1. 最陡下降法的遞推公式 將 ()式代入 ()式，得到 *112]2[)22(WRWRIWWRRWWxxjxxjjxxdxjj???????????() () 在上式兩邊都減去 W *,并令 Vj=W jW*, 得到 Vj+1=［ I2μ Rxx］ Vj () 上式是一個(gè)遞推公式 ， 由于 ［ NvvvVQV ???第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 得到 ],[],[ 39。 另外 ， 因?yàn)? m i