【正文】 試求參數(shù) λ 的置信系數(shù)為 95%的置信區(qū)間。 泊松分布 的置信區(qū)間為的置信系數(shù)約得到參數(shù)，估計 1 ????X 設(shè) X1, X2 ,? , Xn 為抽自具有泊松分布 P(λ )的總體的樣本，因為 E(X)=D(X) = λ ， 應(yīng)用 (2)式，并用 ? ? ( 5 ) .// 22 nXzXnXzX ?? ?? ，例 4： 公共汽車站在一單位時間內(nèi) (如半小時 ,或 1小時 , 或一天等 ) 到達(dá)的乘客數(shù)服從泊松分布 P( λ ), 對不同的車站 , 不同的僅是參數(shù) λ 的取值不同。 例 3： 在環(huán)境保護問題中 , 飲水質(zhì)量研究占有重要地位， 其中一項工作是檢查飲用水中是否存在某種類型的微生物。依中心極限定理，對充分大的 n，近似地有 二項分布 ( 3 ) ).1 ,0(~)1(/)1( Npnp npYnpp pX n ?????(3)式是 (1)式的特殊情形?，F(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機抽取 50 只電池做壽命試驗。因為這些樣本獨立同分布的，根據(jù)中心極限定理，對充分大的 n, 下式近似成立 ( 1 ) , )1 ,0(~ /1 NnnXnXnii??????? ??因而，近似地有 于是， μ 的置信系數(shù)約為 1α 的置信 區(qū)間為 . 1/ 2/???? ???????? ?? znXP. 22 ?????? ?????? znXznX ，當(dāng) σ2未知時，用 σ2的 某個估計，如 S2 來代替， 得到 ( 2 ) . 22 ?????? ???? znSXznSX ，只要 n 很大， (2)式所提供的置信區(qū)間在應(yīng)用上是令人滿意的。 這時 ， 只要樣本大小 n 比較大 ， 總體均值 μ 的置信區(qū)間仍可用正態(tài)總體情形的公式 或 ,znXznX 22 ?????? ?????? ，. , 2/2/ ?????? ???? znSXznSXσ2已知時 σ2未知時 所不同的是：這時的置信區(qū)間是近似的。求 的置信水平為 ?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取 X1, X2,? , X12 和 Y1, Y2, ? , Y17，樣本均值與樣本方差分別為 : 求 ? 1? 2 的置信系數(shù)為 。試驗者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 ,? , X200 和 Y1, Y2, ? , Y100，樣本均值分別為 : 求 ?1?2 的置信系數(shù)為 的區(qū)間估計。與知由兩樣本相互獨立， YX1).由基本定理 (見定理 )，知 故， (4) 式成立； 且二者相互獨立。, Xm是抽自正態(tài)總體X 的簡單樣本， X～ N(?1, ?12)，樣本均值與樣本方差分別為 Y1, Y2, 例如 :考察一項新技術(shù)對提高產(chǎn)品某項質(zhì)量指標(biāo)的作用 ,將實施 新技術(shù)前產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?1, ?12)， 實施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?2, ?22)。的置信系數(shù)為為， 0 . 9 5 1 0 . 2 2 9 . 8 7 2 . 2 6 2 2100 . 2 4 1 51 0 . 0 5 2 . 2 6 2 2100 . 2 4 1 51 0 . 0 5)2/( ),2/( 11????????????????????????? nntnSXtnSX例 3(續(xù)例 2): 求 ?2的置信系數(shù)為 。 的區(qū)間估計 .~ / 1nttnSXt??? 則，?),2/( ,1 1 ??? ntα 取分位數(shù)對給定的置信系數(shù)? ?. )2/()2/( )2/(|| 1 111??????????????????????nnntnSXtnSXPttP使得于是， 181。的一個簡單樣本，是正態(tài)總體設(shè)2221 ),( , ???NXXX n? 根據(jù)基本定理 (見定理 ) ，知 ).1,0(~/ )/,(~ 2 NnXnNX???? ?或則，令 nXU???? 單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 則，令 nXU????.1}{ 2/2/???????? zUzP，就是而 / 2/2/2/2/ ?????? znXzzUz ???????. 2/2/ ?? ??? znXznX ????等價于? ? .1 ?? 21 ???? ????P)1( . 22 ?????? ?????? znXznX ，也可簡記為 . 2?? znX ?于是， 181。的概率是它包含，區(qū)間的置信對置信系數(shù)為式表明：但???????1 ]? ,?[ 1 ( 1 ) 21( 1 ) .1}??{ 21 ???? ????P , ]? ,?[ 2121也可能不包含。 現(xiàn)在回到尋找置信區(qū)間問題上來。其中的的置信系數(shù)為為稱區(qū)間212121? ? (?? 1 ]? ,?[ ?????????? 為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出的隨機變量的上 α 分位點的概念。 這里的“可靠度”是用概率來度量的，稱為置信系數(shù)，常用 表示 ??1 。 實際上， 181。 的 問題中 ,若根據(jù)一組實際樣本，得到 181。 區(qū)間估計 其優(yōu)點是： 可直地告訴人們 “未知參數(shù)大致是多少”； 缺點是： 并未反映出估計的誤差范圍 (精度 )。優(yōu)于方差小，比于是， ? ? ii XX ?? ??這表明：當(dāng)用樣本均值去估計總體均值時，使用全樣本總比不使用全樣本要好。這種判定估計量優(yōu)劣的準(zhǔn)則稱為方差準(zhǔn)則。 ?????? ?.0,0,0,)/(),( )/(zzenzf znZ ??? 用估計量 估計 ?， 估計誤差 均方誤差準(zhǔn)則 ),(? 21 nXXX ?? 是隨機變量，通常用其均值衡量估計誤差的大小。 這就是人們?yōu)槭裁闯Ｓ脴颖? k 階矩估計總體 k 階矩的主要原因之一。 例 2： 求證：樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的無偏估計。 .)(11 ,1 2121XXnSXnX niinii ? ???????.)( , )( 22 ?? ?? SEXE則X 2S證明： 因為 X1, X2, ? , Xn 獨立同分布，且 E(Xi )=μ , 所以 ；?? ??????????? ????nnXEnXnEXEniinii1)(11)(11另一方面，因 , )(2)(21221 1221XnXXnXXXXXniininiiinii???? ??????????,)]([)()(,)]([)()(22222222????????????iii XEXDXEnXEXDXE于是，有 . )(11 )()(11)(222222122????????????????????????????????????nnnnXnEXEnSEnii注意到 的無偏估計。是所以因 ? , ,)?( 2? 22212????????EXX的無偏估計。自然要求它在參數(shù) ? 的一切可能取值的范圍內(nèi)都成立 說明： 無偏性的意義是：用估計量 估計 ??.)],(?[ 21 ?? ?nXXXE ?例 1： 設(shè) X1, X2, ? , Xn 為抽自均值為 ? 的總體 X的隨機樣本，考慮 ? 的如下幾個估計量： 例如： 若 ? 指的 是正態(tài)總體 N(? , ?2)的均值 ?,則其一切可能取值范圍是 (∞ ,∞ )。 ),(? 21 nXXX ???? 如果 的 均值等于 θ ，即 ,)],(?[ 21 ?? ?nXXXE ?????簡記為 是 θ 的一個估計 (注意 ! 它是一個統(tǒng)計量，是隨機變量。 估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則就是： 評價一個估計量 “ 好 ” 與 “ 壞 ” 的標(biāo)準(zhǔn)。 求 θ的極大似然估計。 但 b不能小于 max{x1,x2,? ,xn}。它，的唯一極大值點。 解： 似然函數(shù)為 ,)2( 21),(12222)(212212