單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的受迫振動-wenkub.com
2025-04-26 05:32 本頁面
【正文】 等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。 若系統(tǒng)無阻尼，即使在零初始條件下，也存在自 由伴隨振動項，并且由于無阻尼，因而振動不會隨 時間衰減。 過渡階段的響應(yīng) 在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的 總響應(yīng)由三部分組成 無激勵時自由振動的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵無關(guān)。 先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng) ,系統(tǒng)的運動微分方程和初始條件寫在一起為 ? ? ?????????00022)0( 0s i nddvvxxtFkxtxm ?通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和 ,即 tkFtpCtpCtx ?????? s i n1 1s i nc o s)( 20n2n1222204)1( ??? ??? BB根據(jù)初始條件確定 C C2 。由于受迫振動在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。 慣性力 阻尼力 彈性力 激振力 （ a） 力多邊形 (b) ? ＜＜ 1 (c) ? = 1 (d) ? ＞＞ 1 從能量的觀點分析 ， 振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn) ， 是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果 。此時的運動微分方程為 即相當于質(zhì)量塊受到了兩個簡諧激勵的作用。 阻尼比 ? 較小時，在 ?=1附近， ?值急劇增大，發(fā)生共振。設(shè)電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 例題 . 質(zhì)量為 M 的電機安裝在彈性基礎(chǔ)上。放大因子為 的兩個點稱為半功率點。 阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。 受迫振動的振幅 B、相位差 的討論 ψ幅頻特性與相頻特性 ? ＝ 0 的附近區(qū)域 (低頻區(qū)或彈性控制區(qū) ) ， ?＝ 0， 響 應(yīng)與激勵同相；對于不同的 ? 值，曲線密集，阻尼影響不大。 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解 )()( 21 txtxx ??微分方程的解：－有阻尼自由振動運動)(1 tx? ??? ?? tpAx tp d1 s ine n－? ?ψtωBtx ?? s in)(2 x2(t)有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵響應(yīng)中的特解是指不隨時間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 振動微分方程 它與激勵同頻，但有一個相位差 簡諧激勵下的全解、瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動 可見，對于工程實際來說，更關(guān)心的是 穩(wěn)態(tài)振動，因為瞬態(tài)振動只在振動開始后的一段時間內(nèi)才有意義 。 外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 簡諧激勵是最簡單的激勵。 By substituting the particular solution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations ? ?ψtωBtx ?? s in)(2thxptxnt x n ?s i ndd2dd 222???thtntpB n ??????? si n)]c o s(2)si n ()[( 22 ?????????????????s i nc o sc o ss i n)s i n (s i ns i nc o sc o s)c o s (tttttt??????Equating the coefficients of and on both sides of the resulting equation, we obtain t?sin t?cos0]s i n)(co s2[]s i n2co s)[(2222??????????????nnpnBhnpBSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady
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