【正文】 x10的值．第七講 根式及其運(yùn)算　　二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，往往用到絕對(duì)值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識(shí)與解題方法，也就是說，根式的運(yùn)算，可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法的能力．下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．　　　　二次根式的性質(zhì)：　　　　　　　二次根式的運(yùn)算法則：　　　　　　　設(shè)a，b，c，d，m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅　　　　　當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．　　例1 化簡：　　　　　法是配方去掉根號(hào)，所以　　　　因?yàn)閤2＜0，1x＜0，所以　　原式=2x+x1=1．　　　　　　　?。絘ba+ba+b=ba．　　說明 若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行化簡；若沒有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡．　　例2 化簡：　　　　分析 兩個(gè)題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計(jì)算化簡較繁．我們可以先將分母因式分解后，再化簡．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　解法1 配方法．　　　　配方法是要設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，則　　　　　解法2 待定系數(shù)法．　　　　　　　　　　例4 化簡：　　　　　　　　　　(2)這是多重復(fù)合二次根式，可從里往外逐步化簡．　　　　　　　　　　　分析 被開方數(shù)中含有三個(gè)不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成　　解 設(shè)　　　　兩邊平方得　　　　　　?、冖邰艿谩　?xyz)2=5735=352．　　因?yàn)閤，y，z均非負(fù)，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤　　⑤247。6b3+36b2)+(b2+6b)20　　=(b2+6b)2+(b2+6b)20　　=52+520=10．　　例9 求滿足條件　　的自然數(shù)a，x，y．　　解 將原式兩邊平方得　　　　　由①式變形為　　　　　　兩邊平方得　　　　　　　　　　　　　　例10 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，…，求證：…an…是有理數(shù)．　　分析 有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．　　證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，…an…是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即　　下面證明ak+20=ak．　　令f(n)=12+22+…+n2，當(dāng)f(n+20)f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而　　f(n+20)f(n)　　=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2　　=10(2n2+421，177。4，只有　　f(2)=23422+624=0，　　即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x2．　　解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x2)．　　原式=(x32x2)(2x24x)+(2x4)　　　　=x2(x2)2x(x2)+2(x2)　　　　=(x2)(x22x+2)．　　解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x2)，　　所以原式=(x2)(x22x+2)．　　說明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是4的約數(shù)，反之不成立，即4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根．因此，必須對(duì)4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證．　　例3 分解因式：9x43x3+7x23x2．　　分析 因?yàn)?的約數(shù)有177。2ab+b2=(a177。b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；　　(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)．　　下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；　　(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)；　　(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)；　　(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)．　　運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．　　例1 分解因式：　　(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；　　(2)x38y3z36xyz；　　(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；　　(4)a7a5b2+a2b5b7．　　解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4)　　　　　　　=2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=2xn1yn(x2ny2)2 　　　　　　　=2xn1yn(xny)2(xn+y)2．　　(2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z)　　　　　 =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)．　　(3)原式=(a22ab+b2)+(2bc+2ca)+c2　　　　?。?ab)2+2c(ab)+c2　　　　　=(ab+c)2．　　本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式=a2+(b)2+c2+2(b)c+2ca+2a(b)　　　　=(ab+c)2　　(4)原式=(a7a5b2)+(a2b5b7)　　　　　 =a5(a2b2)+b5(a2b2)　　　　　 =(a2b2)(a5+b5)　　　　　 =(a+b)(ab)(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)　　　　　 =(a+b)2(ab)(a4a3b+a2b2ab3+b4)　　例2 分解因式：a3+b3+c33abc．　　本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．　　分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)．　　這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)．　　解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc　　　　　 =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)．　　說明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為　　a3+b3+c33abc　　　　　　　顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有　　等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論．　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式anbn來分解．　　解 因?yàn)椤　161=(x1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　　　說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x1)，再除以(x1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．　　2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法　　因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．　　例4 分解因式：x39x+8．　　分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．　　解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成1+9．　　原式=x39x1+9　　　　=(x31)9x+9　　　　=(x1)(x2+x+1)9(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法2 將一次項(xiàng)9x拆成x8x．　　原式=x3x8x+8　　　　=(x3x)+(8x+8)　　　　=x(x+1)(x1)8(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x38x3．　　原式=9x38x39x+8　　　　=(9x39x)+(8x3+8)　　　　=9x(x+1)(x1)8(x1)(x2+x+1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法4 添加兩項(xiàng)x2+x2．　　原式=x39x+8　　　　=x3x2+x29x+8　　　　=x2(x1)+(x8)(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．　　例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x33；　　(2)(m21)(n21)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；　　(4)a3bab3+a2+b2+1．　　解 (1)將3拆成111．　　原式=x9+x6+x3111　　　　=(x91)+(x61)+(x31)　　　　=(x31)(x6+x3+1)+(x31)(x3+1)+(x31)　　　　=(x31)(x6+2x3+3)　　　　=(x1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．　　(2)將4mn拆成2mn+2mn．　　原式=(m21)(n21)+2mn+2mn　　　　=m2n2m2n2+1+2mn+2mn　　　　=(m2n2+2mn+1)(m22mn+n2)　　　　=(mn+1)2(mn)2　　　　=(mn+mn+1)(mnm+n+1)．　　(3)將(x21)2拆成2(x21)2(x21)2．　　原式=(x+1)4+2(x21)2(x21)2+(x1)4　　　　=［(x+1)4+2(x+1)2(x1)2+(x1)4](x21)2　　　　=［(x+1)2+(x1)2]2(x21)2　　　　=(2x2+2)2(x21)2=(3x2+1)(x2+3)．　　(4)添加兩項(xiàng)+abab．　　原式=a3bab3+a2+b2+1+abab　　　　=(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1)　　　　=ab(a+b)(ab)+a(ab)+(ab+b2+1)　　　　=a(ab)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)　　　　=[a(ab)+1](ab+b2+1)　　　　=(a2ab+1)(b2+ab+1)．　　說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+abab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．　　3．換元法　　換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰．　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12．　　分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了．　　解 設(shè)x2+x=y，則　　原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10　　　　=(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5)　　　　=(x1)(x+2)(x2+x+5)．　　說明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90．　　分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．　　解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90　　　　　 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90　　　　　 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90．　　令y=2x2+5x+2，則　　原式=y(y+1)90=y2+y90　　　　=(y+10)(y9)　　　　=(2x2+5x+12)(2x2+5x7)　　　　=(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)．　　說明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．