傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型上課-wenkub.com
2025-04-01 03:21 本頁面
【正文】 還有人用最優(yōu)控制理論的模型來描述傳染病的傳播，在這里就不再一一介紹了。在(12)式中為相對排除率，并已對時間變量作了變換，使方程對傳染率是無量綱的。設(shè)X(t)表示t時刻易受傳染者人數(shù)，Y(t)表示t時刻已受傳染者人數(shù)，n表示易受傳染者總數(shù)，又設(shè)t時刻有i(i0)個易受傳染者移入已受傳染者中來。對于同一事物，可用不同的數(shù)學(xué)工具來描述它。如果傳染病不嚴重，則是小量，取泰勒級數(shù)的前三項，取近似值得 其解為 ，其中 ，因此 （11）方程(11)在平面上定義了一條對稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線．疾病傳染曲線很好的說明了實際發(fā)生的傳染病。在傳染病發(fā)生過程中，不可能準(zhǔn)確的調(diào)查每一天或每一星期得病的人數(shù)。即易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那最終就會比閾值低多少。 如果起初易受傳染者的人數(shù)大于但接近于閾值，即如果 與相比是小量，則最終患病的人數(shù)近似于2．這就是著名的傳染病學(xué)中的閾值定理。當(dāng)時，I(t)才開始減小。所以為方程組(7)的平衡點．當(dāng)時，方程(9)當(dāng)t由t變化到時，點(s(t),I(t))沿曲線(9)移動，并沿s減少方向移動，因為s(t)隨時間的增加而單調(diào)減少。由(8)式知 所以當(dāng)時，I(s)是s的增函數(shù)，時，I(s)是s的減函數(shù)。由(6)式的三個方程相加得 則 （人口總數(shù)）故 （7）由此可知，只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。設(shè)患過傳染病而完全痊愈的任何人具有長期免疫力，不考慮反復(fù)受傳染的情形，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即一個人患了病之后立即成為傳染者。為了與實際問題更加吻合，對上面的數(shù)學(xué)模型再進一步修改，這就要考慮人得了病后有的會死亡；另外不是每個人被傳染后都會傳染別人，因為其中一部分會被隔離。 由(3)式可得 (4) 令 ，得極大點為 (5)由此可見，當(dāng)傳染病強度K或總?cè)藬?shù)n增加時，都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。為了與實際情況吻合，我們在原有基礎(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。但由方程(1)的解可以推出，當(dāng)時，這顯然是不符合實際情況的。模型一 、 考慮最簡單的情形：假設(shè)(1)，每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)；假設(shè)(2)，一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。如果還要考慮人員的遷入與遷出，潛伏期的長短以及預(yù)防疾病的傳播等因素的影響
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