屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--46直線,平面平行-wenkub.com
2025-01-18 14:50 本頁面
【正文】 由于AC∥ HF∥ GD,故 CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,則EH∥ BG,所以 EH∥ ,可知平面 EFH∥ 平面 β,又 α∥ β,故平面 EFH∥ 平面 EF?平面 EFH,故 EF∥ α,EF∥ β. 第 48頁 共 64 頁 [評析 ] 在立體幾何中當已知兩條直線時 ,要充分考慮到這兩條直線的各種位置關(guān)系 ,不要只考慮兩條直線共面的情況 ,還要把它們異面的情況考慮進去 .由于空間圖形位置關(guān)系的多樣性 ,就導(dǎo)致了部分考生僅僅憑借這種多樣位置關(guān)系的一種解決問題的情況 ,導(dǎo)致解答不全 . 第 49頁 共 64 頁 技法 一題多解 【 典例 】 一條直線分別與兩個相交平面平行 ,那么這條直線必與它們的交線平行 . 已知 :平面 α∩平面 β=l,直線 a∥ 平面 α,直線 a∥ 平面 β. 求證 :直線 a∥ 直線 l. 第 50頁 共 64 頁 [證明 ] 證法一 :作輔助平面 . 如圖 ,∵ a∥ α,過 a作平面 δ交平面 α于 c,∴ a∥ c(線面平行的性質(zhì)定理 ). 同理過 a作平面 γ交平面 β于 d, ∴ a∥ d. 第 51頁 共 64 頁 由公理 4,a∥ c,a∥ d,得 c∥ d, 又 ∵ c?β,d?β,c∥ d, ∴ c∥ β(線面平行的判定定理 ). ∵ c∥ β,c?α,α∩β=l, ∴ c∥ l(線面平行的判定定理 ). 又 ∵ a∥ c,∴ 由公理 4,a∥ l. 第 52頁 共 64 頁 證法二 :同一法 . 如圖 ,在平面 α和平面 β的交線 l上取一點 A,過 A作直線l′∥ a.∵ a∥ α, ∴ l′在 α內(nèi) (一條直線與一個平面平行 ,那么過平面內(nèi)的一點且與這條直線平行的直線都在這個平面內(nèi) ). 第 53頁 共 64 頁 同理 a∥ β,∴ l′也在 β內(nèi) . ∴ l′既在平面 α內(nèi) ,又在平面 β內(nèi) . 由公理 3知 l′就是平面 α與平面 β的交線 ,即 l′與 l重合 . 又 ∵ l′∥ a,∴ l∥ a. 第 54頁 共 64 頁 證法三 :利用平行線關(guān)系 . 如圖 ,∵ a∥ α,∴ 過 a作平面 γ交平面 α于不同于直線 l的直線 c,則 c∥ a. 第 55頁 共 64 頁 又 ∵ a∥ β,∴ c∥ α是過 c的平面且與平面 β相交于直線 l. 由線面平行的性質(zhì)定理 ,得 c∥ l. 又 ∵ a∥ c,由公理 4知 ,a∥ l. 第 56頁 共 64 頁 證法四 :借助輔助平面 . 如圖 ,過平面 α與平面 β的交線 l上一點 A和直線 a作平面 γ. 第 57頁 共 64 頁 ∵ γ與 α、 β有公共點 A,則 γ分別與 α、 β有過 A的一條交線 ,設(shè)為 l′與 l″,但過 A點有且只有一條直線平行于 a, ∴ l′與 l″重合 ,且這條直線既在平面 α內(nèi) ,又在平面 β內(nèi) ,故一定是平面 α與平面 β的交線 l. ∴ l′、 l″、 l三條直線重合 ,則 a∥ l. 第 58頁 共 64 頁 證法五 :反證法 . 若直線 a不平行于直線 l,則 a與 l相交或異面 . 當 a與 l相交時 ,則 a就與 l所在的平面 α和平面 β相交 ,這與已知a∥ α,α∥ β相矛盾 ,所以這是不可能的 . 當 a與 l異面時 ,過 l平行于 a的平面只有一個 ,但已知平面 α和平面 β是兩個不同的平面都過 l且均與直線 a平行 , 因此 a與 l異面也是不可能的 . 因此直線 a與直線 l既不相交也不異面 ,故 a∥ l. 第 59頁 共 64 頁 證法六 :過 a作平行平面研究交線關(guān)系 . 如圖 ,過直線 a作平面 γ與平面 α平行 . 第 60頁 共 64 頁 ∵ 平面 α與平面 β相交 , ∴ 平面 β也必與平面 γ相交 . 設(shè)平面 γ與平面 β的交線為 b. ∵
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