【正文】 339。 315。 傅里葉變換的基本性質(zhì) ： 線性、對稱性 、尺度變換性 、時移性 、頻移性 、時域微分性 、頻域微分性 、時域積分性 、頻域積分性 、卷積定理 周期信號的傅里葉變換 抽樣信號與抽樣定理 ： 時域抽樣定理： 一個最高頻率 fm的限帶信號 f(t)可以用均勻等間隔Ts≤ 1/(2fm)的抽樣信號 fs(t)=fs(nTs)惟一確定。 (3) 奈奎斯特頻率是 ω s = 2ω m 。 解： 采樣頻率，即每秒傳送的采樣點(diǎn)數(shù)為： ms ff 2?因 故 〔 例 〕 圖 (a)所示系統(tǒng)。 時域抽樣定理 頻譜受限信號 f(t) 可以用 fs(t) 惟一表示，要求 p(t)的 最低頻率 為 2fm。 奈奎斯特頻率 ： fs＝ 2fm。 結(jié)論： p(t)的頻率 fs ≥ 2fm ，抽樣后信號的頻譜就不會混疊； 反之，頻譜就會混疊，無法恢復(fù)原信號。 （ 2）沖激抽樣 ????????nsT nTtttp s )()()( ??)()()( ttftf sTs ?????????nssnTP )(2)( ?????)()(2 1)( ???? PFF s ??????????nssnTF )(2)(2 1 ?????????????nssnFT )(1 ??f(t) →F( ω ) ； p(t) →P(ω ) ， ?????????nssnFT )()(22 1 ?????? 抽樣信號的頻譜是 F(ω)波形的重復(fù)，頻譜幅度受單位沖激序列的傅立葉系數(shù)的加權(quán)。 p(t)稱為 “ 取樣信號 ” 。 周期信號的頻譜是離散的。 ? )(tft?1? ???? ???? ????? dtfttftf )( )(11)()(解： 因?yàn)? ?jt 2)s g n ( ?根據(jù)對稱性 )s g n(2)s g n(22 ???? ????jt)s g n(1 ?? jt ??十二、頻域卷積定理 )(*)(21)()()()()()(21212211?????FFtftfFtfFtf????則：若十三、帕塞瓦爾定理 可推廣 ??????dFFdttftfFtfFtf)()(21)()()()()()(21212211??????????????則：若??? dFdttf2121 )(21)( ?? ?????????????dFFdttftftftf)()(21)()()()(*212*121????????????則：為復(fù)數(shù)若〔 例 〕 求 ?? dSa???? )(2解： 因 ??????? dSaSadSa )(2)(22142)(2 ??? ?? ??????)()(2 2 tGSa ??由帕塞瓦爾定理可得 周期信號的傅里葉變換 周期信號 傅里葉級數(shù) 非周期信號 ？ 傅里葉變換 一、復(fù)指數(shù)信號的傅里葉變換 ?????????? )(21)(210000??????????tjtjee (3 76) 二、 正弦、余弦信號的傅里葉變換 )]()([][ c o s 000 ???????? ????tF )]()([][ s i n 000 ???????? ???? jtF ttf01co s)( ??1t 1ttf02s i n)( ??1t 1)(1?jF?． ． ． ． ． ． 0 00???)( ?)( ?)(Im2?jF?． ． ． ． ． ． 0 0??)( ?)( ??0?圖 3 2 5 三、單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。39。 ?????? ???? tttf)2s i n(211)( 2/2/39。 解 : 根據(jù)頻域微分性 ????jtuF 1)())(( ??239。 解： )(tfE? t根據(jù)時移特性 0)()()()(0tjeFttfFtf???????則：若2)2()(?????? jeSaEF ???)2()( ?????SaEF G ??0)(1)(0tajeaFatatf?? ???擴(kuò)展：幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移 ??4????()??????E)( ?jF??2 ??4??2??六、頻移特性（調(diào)制定理） )()()()(00 ???? ?FetfFtftj ???則：若)}()({2]s i n)([)}()({21]c o s)([:000000??????????????????FFjttfFFFttfFeg例：求矩形調(diào)幅信號的頻譜函數(shù)，已知 f(t)=G(t) cosω 0t，其中 G(t)為矩形脈沖，脈幅為 E, 脈寬為 τ 。式中－ ω 的表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。這種頻譜常常被叫做 “ 均勻譜 ” 或“ 白色頻譜 ” 。 ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E??1T t)(tf2?2??E?1T ??112T?? ?譜線間隔??1T 0211 ?? T?? 0?譜線間隔周期信號的離散譜 非周期信號的連續(xù)譜 一、傅里葉變換 頻譜密度函數(shù) F（ ω）稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù) 推得： 110110)()(2)( limlim11TnFnFFT?? ???? ????dtetfF tj? ?????? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(傅里葉變換 傅里葉正變換式 ，記為 : F[ f(t) ]=F(ω) 或 f(t)→F(ω). dtetfF tj? ???? ?? ?? )()(??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)( 傅里葉逆變換式 ，記為 : )()()()}({1 tfFtfFF ??? ?? 或傅里葉變換的存在條件（充分條件） ? ??? ??dttf )( (3 3 9) 要使 F(ω )存在必須 : tjetf ??)(是變量 t的函數(shù)，它可正可負(fù)。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。 2/1 nE f(t) t T1 T1/2 T1/2 T1 ......)3c os31(c os42)( 1212 ???? ttEEtf ???三、 周期信號的功率譜 f(t)的平均功率定義為在 1Ω 電阻上消耗的平均功率，即 ??? 2/ 2/ 2 )(1 T T dttfTP (3 28) 該式稱為 帕塞瓦爾 (Parseval)定理 。 ② 若增大，則反之。 (3) 由于不變，故 零分量頻率位置不變 ，信號有效頻譜寬度亦不變。因此 稱為 零分量頻率 。 諧波性 譜線出現(xiàn)在基波頻率 ω 1= 2π /T1的整數(shù)倍上。 21T21T?t1T)(tf一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量 隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的 頻譜 ，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 t????? ??2? ?2f ( t )圖 3 3解 : 由圖可知，該信號 f(t)在一個周期區(qū)間 (π,π) 內(nèi)，有 由三角型傅里葉級數(shù)展開式，得 故該信號 f(t)的三角型傅里葉級數(shù)展開式為 ????????????ttttf0)(. .. )2,1,0(,00 ??? naa nnnnt dtntbnn2)1(c os2s i n1 1??? ???????? ??ω1 12 ??? T?ω1 ω1 ω1 ω1 二、指數(shù)形式 與三角型傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系 dtetfTFnF Tt tjnn ? ? ??? 0 1011 )(1)( ??0000 dcaF ???)(21 nnn jbaF ??)(21 nnn jbaF ???三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 偶函數(shù) 若周期信號 f(t)波形相對于縱軸是對稱的，即滿足 f(t)=f(t) 其傅里葉級數(shù)展開式中 只含直流分量和余弦分量 ，即 ω1 奇函數(shù) 若周期信號 f(t)波形相對于縱坐標(biāo)是反對稱的，即滿足 f(t)=f(t) 其傅里葉級數(shù)展開式中 只含有正弦項(xiàng) ，即 ω 奇諧函數(shù) 若周期信號 f(t)波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸像對稱，即滿足 則稱為 奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。 )c os ()( 110 nnntncctf ?? ??? ???)s i n()( 110 nnntnddtf ?? ??? ???nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaabdcbdcabadcdcaa r c t a na r c t a nc o ss i ns i nc o s22000???????????????????另一種形式 : 任何周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正 (余 )弦信號的線性組合。 （ 1）在一個周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的個數(shù)應(yīng)是有限的； （ 2）在一個周期內(nèi)，極大值和極小值的個數(shù)是有限的； （ 3）在一個周期內(nèi)，信號時絕對可積的。 (2) 函數(shù)集 在（ t0,t0+T）區(qū)間內(nèi)，對于周期為 T的一類周期信號來說，也是一個完備的正交函數(shù)集。因此