【正文】 , N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????~~~~~1 ~010( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) [ ( ) ]1 ()1 ()NNNNNknNkNknNkX k X k DFS X nX k X k R kX n x n I DFS X kX k WNX k WN??????????????1~01()01( ) [ ( ) ]1()Nk m k nNNkmNk m nNmkx n x m W WNx m WN???? ? ?????? ?? ???????1~01()01( ) [ ( ) ]1()Nk m k nNNkmNk m nNmkx n x m W WNx m WN???? ? ?????? ?? ???????1 1,()001 {N m n rN rk m nNkWN? ??????為整數(shù) 其它 m 1 1,() 001 {N m n rN rk m nNkWN? ??????因為： 頻率域采樣 由上面推導(dǎo)可得： 結(jié)論： ? X(z)在單位圓上的 N點等間隔采樣 X(k)的 IDFT， 為原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列 。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 通過 計算一個 N點 DFT， 可 得到兩個不同實序列的 N點 DFT。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) )()()( nxnxnx opep ??)](I m [)](R e [)( kXjkXkX ??虛部 實部 167。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 167。 2101)(10 10 2110 210 1????? ??? ?????????????????? ????????????xxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXN WkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmk NmnNNmmnmnnNNm Nk NNknNNk NNNm代入得令 復(fù)共軛序列的 DFT 設(shè) x*(n)是 x(n)的復(fù)共軛序列 ， 長度為 N X(k)=DFT[x(n)] 則 : DFT[x*(n)]=X*(Nk), 0≤k≤N 1 且 :X(N)=X(0) 證明 ：根據(jù) DFT的唯一性 ， 只要證明上式右邊等于左邊即可 。2101)(101021102101??????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDF TnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代入得令10,1,....Nn ),()()())39。 210 1)(1010 2110 210 1???????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXI DF TnxNnkNmNmk NmnNNmmnmnnNNmNk NNknNNk NNNm代入得令10,1,....Nn ),()()())39。2101)(101021102101???????????????????????????????????? ??nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNkXI DF TnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNkNNNm代入得令10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。 210 1)(1010 2110 210 1????? ??????? ???????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNN kXI DF TnxNnkNmNmk NmnNNmmnmnnNNmNk NNknNNk NNNm代入得令10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。2101)(101021102101???????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXI DF TnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代入得令10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。2101)(101021102101???????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXI DF TnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代入得令10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。 y(7)=?x1(m)x2((7m))8R8(n)=2。 y(3)=?x1(m)x2((3m))8R8(n)=2。 求 y(n)=x1(n) ? x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度 N為 8。 (5) n=0,1,… N1時， x1(m) 和 x2((nm))N R N(m)對應(yīng)相乘 ，并對 m在 0～ N1區(qū)間 求和 。X2(k) 167。39。 (3)取 (n＋ m)的 主值區(qū)間 得到有限長序列 x(n)的循環(huán)移位 y(n) 167。39。n,n39。39。n,n39。39。n,n39。39。n,n39。39。n,n39。39。n,n39。39。n,n39。另一個長度為 2N的序列 y(n) 定義為： y(n)= x()， n為偶數(shù)； 0， n為奇數(shù)； 試用 X(k)表示 y(n)的 2N點離散傅立葉變換 Y(k)。 (1) 旋轉(zhuǎn)因子 WknN的周期性 (周期為 N) (2) X(k)隱含的周期性 (周期為 N) (3) 序列 x(n)隱含的周期性 (周期為 N) 離散傅里葉變換的定義 () , , ,k k m NNNW W k m N??K,m,N均為整數(shù) 1()010( ) ( )( ) ( )Nk m N nNnNknNnX k m N x n Wx n W X k???????????1()010( ) ( )( ) ( )Nk m N nNnNknNnX k m N x n Wx n W X k???????????x(n+mN)=x(n) 任何周期為 N的 周期序列 都可以看作長度為 N的 有限長序列x(n)的 周期延拓序列 ， 而 x(n)則是 的一個周期 ， 即 : 一般定義周期序列 中從 n=0到 N1的 第一個周期 為 的 主值區(qū)間 ， 而主值區(qū)間上的序列稱為 的 主值序列 。 (2)X(k)是 x(n)的傅里葉變換 X(ejw)在區(qū)間[0, 2?]上的 N點等間隔采樣 ,采樣間隔為 2? /N。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN ? ?????k=0 IDFT[X(k)]唯一性的證明 由于： 所以 ， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N 1 離散傅里葉逆變換是唯一的 。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k = 0 , 1 , amp。, N1 ()NknNnX k DFT x n x n W????? … 旋轉(zhuǎn)因子： NjNNnknN eWWnxnxD F TkX?210 1,N0 ,1 ,...,k )()]([)( ??????? ? 旋轉(zhuǎn)因子，N為變換區(qū)間的長度， N≥M 101() [()] () , k=0, 1, amp。 DFT變換的意義： ? 開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域中進行處理，增加了數(shù)字信號處理的靈活性。 ? DFT具有多種快速算法 (FFT)，實現(xiàn)了信號的 實時處理 和設(shè)備的簡化。, N1 ()N knNnXk DFTxn XnWN??????… 101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。 , N 1 (3 . 1 . 2 )N knNnX k D F T x n X n WN????? ?101( ) [ ( )] ( , k=0, 1, amp。 離散傅里葉變換的定義 110011()001[ ( ) ] [ ( ) ]1()NNm k k nNNkmNNk m nNmkI D F T X k x m W WNx m WN????????????????110011()001[ ( ) ] [ ( ) ]1()NNm k k nNNkmNNk m nNmkI D F T X k x m W WNx m WN????????????????11,()0,01 {N m n M N Mk m nN m n M N MkWN?????????M為整數(shù) [例 ] 序列 x(n)=R4(n) ， 求 x(n)的 8點和 16點 DFT 。 (3)變換區(qū)間 長度 N不同，變換結(jié)果不同，N確定后， X(k)與 x(n)是一一對應(yīng)的。 總結(jié)： 是 x(n)周期延拓序列 x(n)是 主值序列 離散傅里葉變換的定義 ~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~~( ) ( ) ( 3. 1. 5 )( ) ( ) ( ) ( 3. 1. 6)m