【正文】 當 N=奇數(shù)時 ， 只需計算前 (N+1)/2點的 DFT。mk )())((1)(1 )]())(()(1[1)]([)(2139。mk )())((1)(1 )]())(()(1[1)]([)(2139。 y(1)=?x1(m)x2((1m))8R8(n)=0。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質 1010( ) [ ( ) ]( ( ) ) ( )( ( ) )N knN N NnN knNNnY k DFT y nx n m R n Wx n m W???????????1010( ) [ ( ) ]( ( ) ) ( )( ( ) )NknN N NnNknNNnY k DFT y nx n m R n Wx n m W???????????1()1( ) ( ( ) )( ( ) )Nmk n mNNnmNmk n k nN N NnmY k x n WW x n W??????????????????1()1( ) ( ( ) )( ( ) )Nmk n mNNnmNmk n k nN N NnmY k x n WW x n W??????????????????證畢右邊 ,)())39。39。39。39。 5))(()(~ nxnx ?設~5~5( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0 )( 6 ) ( ( 6 ) ) ( 1 )x x xx x x????~5~5( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0 )( 6 ) ( ( 6 ) ) ( 1 )x x xx x x????DFT和周期序列的 DFS的關系 設 x(n)的長度為 N，且 ，則周期序列 的離散傅立葉級數(shù)表示式： 上式中： 說明： 有限長序列 x(n)的離散傅立葉變換 X(k)，正好是 x(n)的周期延拓序列 的離散傅立葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列 離散傅里葉變換的定義 Nnxnx ))(()(~ ? )(~ nx??? ?????????101010)())(()(~)(~NnknNNnknNNNnknN WnxWnxWnxkX?? ?????? ??1010)(1)(~1)(~NkknNNkknN WkXNWkXNnx注意 ： 是一周期序列 )(~ kX?????? ???? kenxkX NnknNj ,)(~)(~ 102?)()(~)( kRkXkX N??Nnx ))(( )(~ kX總結 ~~( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )NNX k DFT x n DFT x n R n X k R k? ? ?~~( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )NNX k DFT x n DFT x n R n X k R k? ? ?DFT ( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??FT ( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??ZT 單位圓上的 N點等間隔采樣 [0, 2?]上的 N點等間隔采樣 單位圓上的 Z變換 ,Z=ejw ~()xn =DFS[ ]=DFS[x((n))N] ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ????? ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ?????X(k) = RN(n) ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ?????= X((k))N [例 1]： 若 N=5， x(n)=R4(n)，畫出 x((n))N圖形。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, , N1 ()N knNnXk DFTxn XnWN?????? 101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。 離散傅里葉變換的定義 n x(n) 1 0 1 2 3 4 n x((n))5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 4 5 [例 2]： 已知長度為 N的一個有限長序列 x(n)，其 N點 DFT為 X(k)。1039。1039。1039。((1039。 y(2)=?x1(m)x2((2m))8R8(n)=1。139。139。 序列 x(n)實偶對稱 序列 x(n)實奇對稱 可減少運算量，提高運算效率 167。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質 有限長實序列 DFT的共軛對稱性 設 x(n)是長度為 N的實序列 ， 且 X(k)=DFT[x(n)]， 則 (1) X(k)共軛對稱 ， 即： X(k)=X*(Nk), 0≤k≤N 1 (2) 如果 x(n)=x(Nn) 則： X(k)實偶對稱 ， 即： X(k)=X(Nk) (3) 如果 x(n) = x(Nn) 則： X(k)純虛奇對稱 ， 即： X(k)= X(Nk) (4) 有限長實序列 DFT共軛對稱性的應用 當 N=偶數(shù)時 ， 只需計算前 N/2+1點的 DFT。((1)(1,k39。((1)(1,k39。 y(0)=?x1(m)x2((m))8R8(n)=1。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質 0 N1 n ? )(nx? ? ? )(~nxn … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 N1 ~ x ~ x ~ x ~ x 從左側移出主值區(qū)的序列值依次從右側進入主值區(qū) )()]())(([ kXWnRmnxD F T kmNNN ????? ? ? n … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 N1 ? ? )())(( nRmnx NN?? )()]())(([ kXWnRmnxD F T kmNNN ????? n ? ? ? 0 N1 2. 時域循環(huán)移位定理 設 x(n)是長度為 N的有限長序列 ， y(n)為 x(n)的循環(huán)移位 ， 即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 則 : Y(k)=DFT[y(n)]=WkmNX(k) 其中 :X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N 1 167。10,1,...,2Nk ,0)()()( 1N0,1,...,k ,)()( 2NN1039。0 . 5 n10 , 1 , . . . , 2 Nk ,0)()()( 1N0 , 1 , . . . ,k ,)()( 2NN1039。0 . 5 n10 , 1 , . . . , 2 Nk ,0)()()( 1N0 , 1 , . . . ,k ,)()( 2NN1039。 總結： 是 x(n)周期延拓序列 x(n)是 主值序列 離散傅里葉變換的定義 ~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~~( ) ( ) ( 3. 1. 5 )( ) ( ) ( ) ( 3. 1. 6)mNx n x n mNx n x n R n?? ???????~~( ) ( ) ( 3. 1. 5 )( ) ( ) ( ) ( 3. 1. 6)mNx n x n mNx n x n R n?? ???????? 0 )(~nxn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N1 ? ? ? ? ? 0 n )(nxN1 ~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?為了以后敘述方便， 可用如下形式表示： ((n))N表示 n對 N求余 ， 即如果 n=MN+n1， 0≤n 1≤N 1， M為整數(shù) ， 則： ((n))N=n1 [例 ]： 設 N＝ 5， 則有： 離散傅里葉變換的定義 ~ ( ) ( ) ()Nx n x n?x((n))N 表示 ： x(n)以 N為周期的周期延拓序列。, N1 ()N knNnXk DFTxn XnWN??????… 101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k = 0 , 1 , amp。另一個長度為 2N的序列 y(n) 定義為： y(n)= x()， n為偶數(shù)； 0， n為奇數(shù)； 試用 X(k)表示 y(n)的 2N點離散傅立葉變換 Y(k)。39。39。39。39。 y(3)=?x1(m)x2((3m))8R8(n)=2。2101)(101021102101???????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXI DF TnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代入得令10 , 1 , .. .. Nn ),()()())39。2101)(101021102101??????????????????????????????????? ?? ?nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDF Tnx