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2024-10-13 22:54 本頁面
【正文】 7 ≡ 0( m od 7) 還有解 x ≡ 4( m od 7) , 解數(shù)為 2. 2021/11/10 數(shù)論 5 同余式的基本定理 定理 1 若 (a , m) = 1,則 ax ≡ b (mod m) 有一解 . 證明 ：因 (a , m ) = 1 , 故 0 ,a ,2a , … , (m 1)a 為 m的完全剩余系 .故其中有且只有一個 r使 ar ≡ b (mod m) 故得： x ≡ r (mod m ) 是同余式的唯一解 . 2021/11/10 數(shù)論 6 同余式的基本定理 定理 2 若 (a , m) = d 1, d b ,則 ax ≡ b (mod m) 沒有解 . 證明 若有解 ，則可得 : ax ≡ b (mod m) 而 d | m, 故由 定理 11得到 ax ≡ b (mod d) 從而有 d | b,這與 d b 矛盾，所以原同余式無解 . 2021/11/10 數(shù)論 7 同余式的基本定理 定理 3 設(shè) m 是一個正整數(shù)， a 是滿足 a m ， 的整數(shù)則一次同余式 ax ≡ b ( m od m ) ( 2) 有解的充分必要條件是 ( a , m ) | b , 而且， 當(dāng)同余式 ( 2) 有解時，其解數(shù)為 d = ( a , m ) . 2021/11/10 數(shù)論 8 同余式的基本定理 2021/11/10 數(shù)論 9 同余式的基本定理 同余式 (3) 只有一解 . 設(shè)為 2021/11/10 數(shù)論 10 同余式的基本定理 故 (3)式之根就是 (2)式之根 . 但在 0 ,1 , 2 , … , m 1 這 m個數(shù)內(nèi)有 這 d個數(shù)都是 (3)式的解，也是 (2)式的根 . 對于 (3)式是一個解，對于 (2)式是 d個根 . 2021/11/10 數(shù)論 11 同余式的基本定理 證 必要性 設(shè)同余式 ( 2) 有解 x ≡ x0 ( m od m ) , 即存在正整數(shù) y0 使得 a x0 – m y0 = b , 因為 ( a , m
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