數(shù)值計(jì)算方法(第3章)-wenkub.com
2025-05-05 02:07 本頁面
【正文】 法和故是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，即，解：因?yàn)榉ǖ氖諗啃?。為對稱正定矩陣，則設(shè)定理AAnrRARAAAAAPPPRAArnrnrrTnn)11,0S e i d e lGa u s s)( . 4)()(2211221211???????????????????收斂的判別條件 證略）法均收斂。迭代法和為非奇異矩陣；陣，則為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩設(shè)矩陣定理S e i d e lG a u s sJ c o b i), . . . ,2,1(S e i d e lG a u s sJ c o b i)2)11???????njaaAAAnjiiijjj，矛盾。 . 4收斂的判別條件 。；迭代法收斂迭代法收斂。不能肯定即不是必要條件收斂。)3。顯然，次得，迭代到第取初值由解：法求線性方程組用例SGxxxxxxxxxxxkkkkkkkkk????????????????????????T)6(T)0()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1),(6)0,0,0(S e i d e lGa u s 例題 4 迭代收斂。, . . . ,2,1(/)(3)。解：因?yàn)榈仃嚍?。組為方程是收斂的，且則稱迭代格式若的右端得代入方程任取初始向量)()(l i m)(, . . . )2,1,0()(), . . . ,(**)()()1(0)0(2)0(1)0(xkGxxxxxfxxxkkkkTn????????迭代法的收斂條件 。)(0,)(* 解線性方程組迭代法概述 ），（作任取初始向量. . .2,1,0. . . . . .)()1()1()2()0()1()0(????????kGGGfxxfxxfxxxkk解線性方程組迭代法概述 的解。則殘余向量的解，記是擾動(dòng)方程組精確解，的是方程組且非奇異設(shè),)(||||||||,1)(||||||)(||)(||||||||||||||)(||)(1)()1(,~~~~~Ac o n dxxAc o n dbxrAc o n dxxbxrAc o n dxAbxrxxxbAxxRAnn??????????????例題 良態(tài)）。其中則性質(zhì)為非零常數(shù)。設(shè)定理 矩陣的條件數(shù) .)(。 擾動(dòng)方程組的誤差界 。 是方程組（ A+△ A） x=b+ △ b (1) ~x~x 稱方程（ 1）為方程 Ax=b的擾動(dòng)方程。）（，）（；）（現(xiàn)計(jì)算相對誤差：，||||||||3。故因?yàn)榫仃囆蛄械氖諗啃? 。的任意性，有由，故有由于則的任一特征對，即為矩陣）設(shè)（證明。的任何一種范數(shù)有某種但可能與的一種范數(shù)不是的譜半徑矩陣的譜半徑。同理可證即有所以對常見的矩陣范數(shù) ???????????????????????njijniTniijnjpnnnnnijaAAAAaApRRaAxx11m a x2111||m a x||||)(||||2||||||1),2,1(,)(m a x范數(shù)：范數(shù)：范數(shù)：相容的矩陣范數(shù)是則于向量范數(shù)，設(shè)矩陣定理?常見的矩陣范數(shù) 。上的矩陣范數(shù)為則定義向量范數(shù)上并在設(shè)定理,||||m a x||||||||m a x||||| | ,||,1||||0nnxxnnnnRAxxAxAxRRARx????????算子范數(shù) (證略 ) 。,||,||||||||||)3。證明：的連續(xù)函數(shù)。0||||00||||)1:| | ,||,3 . 3 . 1定 義??????????常見的向量范數(shù) )()||(||||)|} ({|m a x||||)()(),()||(||||||||||), . . . ,(1112121211221121Ho l d e rxC h e b y s h e vxE u c l i dxxxxxpnipipiniTniiniiTnxxxxxxxxx????????????????設(shè)向量向量范數(shù)性質(zhì) nnnnnRMmMmxxxRRxxxxxxyxyxyx????????????????||||||||||||,||||,||||R3, . . . ,||||,2121使得則必存在兩正數(shù)中定義的任意兩種范數(shù)對性質(zhì)的一致連續(xù)函數(shù)。 推廣到 n維空間，則稱為向量范數(shù)。 向量和矩陣的范數(shù) ? 在一維數(shù)軸上，實(shí)軸上任意一點(diǎn) x到原點(diǎn)的距離用 |x|表示。該方程組的精確解為解什么樣的變化解將產(chǎn)生項(xiàng)有微小擾動(dòng)試分析系數(shù)矩陣和右端設(shè)線性方程組例Txxx),(?,201121???????????????????? ?方程組的誤差分析 解的影響不大。系數(shù)矩陣有微小擾動(dòng)對，可見解將產(chǎn)生解系數(shù)矩陣有微小擾動(dòng)設(shè)線性方程組Txxx)1,1(,20111121???????????????????? ?。而任意兩點(diǎn) x1，x2之間距離用 | x1x2 |表示。 ||22 OPyx ??22122121 )()(|| yyxxPP ????向量范數(shù) 的范數(shù)。是分量則向量范數(shù)設(shè)性質(zhì)。是分量則向量范數(shù)設(shè)性質(zhì)????????????????0|)y(x|||e||m a x||e|||)y(x|||e)y(x||||yx|||| |y||||x|| |, .. .,||||,2iiiiiiiii21?nnxxxR xx向量范數(shù)性質(zhì) 等價(jià)性質(zhì)： ??????????????????????niiininiixxxnnnnnxxxxxxxxxxx11112111|||}{|m a x||||||1||||1:||||||||||||)3||||||||||||)2||||||||||||1)1例如向量的收斂性 *)(***)(***2*1*)()(2)(1)()(||||}{0||||l i ml i m,}{), .. .,2,1(l i m), .. .,(,}, .. .,{, .. .) ,2,1}({3 . 3 .2xxxxxxxxxxxkkkkkkikiknTnTknkkkknnixxRxxxxxxkR收斂到依范數(shù)則稱向量序列如果有記作依次收斂到則稱向量序列滿足如果存在其中中一向量序列設(shè)定義????????????????), . . .2,1(l i m0m a xl i m0||||l i m||||}{, . . . )2,1}({*)()(1**)(*)(nixxxxkikikikinikkkkkxxxxxx???????????????????）（事實(shí)上由。||||||||||)2。只有可能，因?yàn)閯t若顯然成立，定義的四個(gè)條件。則非奇異又若
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1