數(shù)值計算與最優(yōu)化lecture計算方法第一章-wenkub.com
2025-06-16 16:02 本頁面
【正文】 –避免分母很小或乘法因子很大 ，以免產(chǎn)生溢出。 –從 舍入誤差 觀點看，舍入誤差在計算過程中要能控 制，即算法的數(shù)值要穩(wěn)定。 前面的例子說明，不穩(wěn)定的算法可能導致計算結(jié)果不可 靠甚至嚴重失真。理論上成立的算法，在計算機上計算 時，由于初值的誤差在計算過程中的傳播，而導致結(jié)果 的失真，這是我們數(shù)值計算方法所要研究的。問題輸出變量的相對誤差與輸入 變量的相對誤差的商稱為問題的 條件數(shù) 二、算法的穩(wěn)定性與設計原則 例 ?? 101 dxexeI xnn計算定積分 7,2,1,0 ??n解 nI ??101 xn dexe101 xn exe? ? ??101 dxexen xn11 ??? nnI0 ,I(1) 先 計 算 721 , III ?然后再計算一個程序往往要進行大量的四則運算才能得出結(jié)果 ，每一步的運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差 。 同樣用 Gauss消元法求解方程組： 也取 3位 10進制有效數(shù)字，得到計算解為： 1 2 39 . 0 0 1 . 0 0 6 . 0 0 .x x x? ? ? ? ?， ，容易驗證，它是方程組的精確解。此時可以 根據(jù)一些具體情況 , 把某些算式改寫成另一種等價的形式， 如 分母有理化等。 這說明了算法設計的重要性。 作一個有效數(shù)字為 4位的連加運算 4 6 9 ,4 8 9 ,4 9 8 2 3 4 吃了將小數(shù)大數(shù) ?而如果將小數(shù)放在前面計算 4 0 1 6 9 8 9 9 8 2 3 4 ?????1 2 3 4 ??1 2 3 0 1 6 9 8 9 9 8 4 ?????1 2 3 4 ??在作連加時，為防止大數(shù)吃小數(shù)，應 從小到大進行相加 ， 如此，精度將得到適當改善。 5 ? － t10即 5 ? － t10( ) ( 1 ) , | | 5 1 0 .tf l x x ?? ?? ? ? ?在計算機中，數(shù)需首先轉(zhuǎn)化為機器數(shù)，比如浮點數(shù)，在 運算器中參與運算后仍需將運算結(jié)果轉(zhuǎn)化成浮點數(shù)的形 式進行存儲。11| | ( 1 / ( 2 ) ) 1 0 na? ????*( 2 ) x ?反 之 ， 若 的 相 對 誤 差 滿 足| | 0 . 5 1 0 n? ??? ，證明 kmaaax 21* ??? ?有位有效數(shù)字時有當 ,)1( * nx*| | | |xx? ? ? nk ??? *10. 10 | | 10kkax? ? ?下面的結(jié)果論述了相對誤差與有效數(shù)字的關系 ?? xx *?? xx**10 . 5 1 0||0 . 1 0knkxxxa???????111 102na????111| | 1 02na?????即 *( 2 ) x ?若 的 相 對 誤 差 滿 足| | 0 . 5 1 0 n? ???**||xxx? ??k10n?? k10?n??? nk ??? 則有 *xn至 少 有 位 有 效 數(shù) 字 。有 4位有效數(shù)字 有 6位有效數(shù)字 定義 *****|xxxx xxxx?? ? ? ?－ n－ n1設 為 準 確 值 ， 如 果 近 似 值 的 誤 差 限 是 10 ， 即21| ( ) | = | 1 0 ，2則 稱 ， 并 稱 的 第 一 個 非 零 數(shù) 字 位 到 小數(shù) 點 后 n 位 的 全 部 數(shù) 字準 確 到 小 數(shù) 點 后 n 位的為 有 效 數(shù) 字 。1 0 ( )a f l x? 時 稱 為 規(guī) 格 化 浮 點 數(shù) 。往往未知 例 ***2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 2 . 7 1 8 2 8.reee ????已 知 ， 其 近 似 值 為 ，求 的 絕 對 誤 差 限 和 相 對 誤 差 限解 *ee? ? ?絕 對 誤 差???| | 0 . 0 0 0 0 0 1 8 2?? ? 6102 ???6102 ????|| **er?? ?102 6???102 6??? ???是唯一的并不和 *r??三、有效數(shù)字 定點數(shù)： 小數(shù)點的位置固定在個位數(shù)后。***( ) ( )rrxxxxx? ? ??? ? ?*x? r則 稱 為 近 似 值 的 一 個 相 對 誤 差 限 。*() x x x? ? ?而 只 能 知 道 絕 對 值 的 某 個 上 界 ， 即**| ( ) | | | ( ) .x x x x?? ? ? ?**()xx?數(shù) 值 稱 為 近 似 值 的 一 個絕對誤差限或誤差限 , ?簡記為顯然 ?? ???? ** xxx有時也表示為 ??? *xx0??且 1 5 2x ??例 ： 對 于51000 ??y15* ?x1 0 0 0* ?y2)( * ?x?5)( * ?y?哪個更精確呢 ? 嗎？15* ?xx準 確 值 的 范 圍***()x x xxyxy????對 于 同 一 個 準 確 值 而 言 ， 或 越 小 ， 近 似 值 也就 越 精 確 。 在實際問題
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