【正文】 ＜β＜１２０176。９０176。 a≠ b≠ c α＝β＝γ＝９０176。 又如： C4v4mm 4 是 c 軸 頭一個(gè) m 是 a 軸 , b 軸 第二個(gè) m 是 a+b 方向，四個(gè) m 分兩組，一組垂直 a,b 軸，一 組平分 a∧ b 角。如果沒有這種二次軸（如 C4－ 4），則取兩個(gè)相互 正交，而且垂直四次軸的顯著晶棱或可能的晶棱方向?yàn)?a， b 軸。所以，以三個(gè)相互正交的 C4或 C2為主軸 a， b， c a＝ b＝ c α＝β＝γ＝ 90176。 2． 7 晶系 表 七個(gè)晶系 晶族 晶系 對(duì)稱特點(diǎn) 點(diǎn)群 點(diǎn)群數(shù) 低 三斜 無 只有一次軸 C１ 1,Ci1 2 51 級(jí) 晶 族 單斜 高 次 軸 只在一個(gè)方向上有二次軸 C２ 2, Csm, C２ h2/m 3 正交 在三個(gè)方向上 均有二次軸 D2222, C２ vmm2, D２ hmmm 3 中 級(jí) 晶 族 四方 有 一 個(gè) 高 次 軸 唯一的高次 軸是 四次軸 C44, S44 ,C4h4/m,D2d4 2m, C4v4mm,D4h4/mmm, D4422 7 三方 唯一的高次 軸是三次軸 C33, C3i3 , C3v3m, D332,D3d3 m 5 六方 唯一的高次 軸是六次軸 C66, C3h6 , C3h6 ,D3h6 m2 C6v6mm,D6h6/mmm,D6622 7 高級(jí) 晶族 立方 高次軸多于一個(gè) 必有四個(gè)三次軸 T23,Thm3,Td4 3m O432,Ohm3m 5 167。 X 射線衍射圖樣總是有對(duì)稱心的，從衍射圖樣只能區(qū)分十一個(gè)勞埃群。任何一個(gè)反軸中總是包含了一個(gè)簡單的旋轉(zhuǎn)軸在內(nèi)，所以不必就全部 26個(gè)點(diǎn)群，而只需在 11種旋轉(zhuǎn)群加對(duì)稱心，就可以導(dǎo)出所有可能的結(jié)果。 （ 5）綜合的十一種 組合方式中，第十一種是一次軸和任意對(duì)稱元素組合，以任意角度與各種不同軸次相交。 在由它們導(dǎo)出的最后結(jié)果中，各種軸的數(shù)目，軸次及它們在空間的取向，都和上述１１種只含單純旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群相一致，只是軸的種類有所不同。 Cn，不產(chǎn)生任何新結(jié)果。 15’52” 相交，結(jié)果與（１０）相同，也是得到 O432。 新產(chǎn)生二次軸 cosγ ’= ?? ???? 90s in60s in 90c os60c os45c os =32 γ ’=35176。 sin60176。 （１０） C3179。 C２ (δ) ＝ T23, δ=54176。C 3可知，應(yīng)有３個(gè) C2。 由定理一的推理， Cm179。31’44” ＝０ 所以，ω＝ 180176。C 3(δ) ＝ T23, δ=70176。 C2(⊥)=D 332， {C3,3C2}13 C４ 179。 C2(45176。C 2 C2179。 C４ 2＝ C４ 1=??????????100001010 C４ 4＝ C４ １ 179。 E=E179。（ C３ ２ 179。 E=E179。E ＝ E E本身自逆 （２） C2－ 2， { E， C2，兩個(gè)對(duì)稱元素 } ① C2179。 2．５ 點(diǎn)群的系統(tǒng)推導(dǎo) １． 十一個(gè)旋轉(zhuǎn)群 —— 只含旋轉(zhuǎn)軸的群 單獨(dú)一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的有 C1－ 1， C2－ 2， C3－ 3， C4－ 4， C6－ 6。對(duì)稱面的方向就是它的法線方向。= ∴ω=144176。 cos60176。 相交，將產(chǎn)生 12次軸 ②兩個(gè)三次軸以 41176。 15’52” 41176。 m=6 0176。 表２．２ 兩個(gè)任意軸之間的可能交角 γ α m δ n 180176。 １０． 四次軸與二次軸以 45176。 44’08” 相交。 31’44” 相交。 45176。見表２．２。 OA 基轉(zhuǎn)角 α m，是一個(gè) m 次軸。 ， 70176。 n=6 0176。 ，逐一代入 ()式，即可得全部可能的 δ n 角 表２ .１ 兩個(gè)同次軸之間的可能交角 δ n α n δ 180176。 ， 60176。 sin 2n? cos 2n? ＝21 δ＝ 90176。 ， 120176。 2n? )=BCEC ∴ sin 2? =sin 2n? cos 2n? ?（２ .２） 和以前證明晶體中不能有 C5的情況一樣，δ 的可能值要受點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的限制，即 CD ＝ N178。 2．３． 2 二任意軸交角的可能值 一．兩個(gè)同次軸之間的可能交角 設(shè) OA， OB 為相交于 O 點(diǎn)的兩個(gè)相同 的 n 次軸 （見圖 2． 18），其基轉(zhuǎn)角為 α n， 且 O， A， B 均為點(diǎn)陣點(diǎn)， OA =OB ， OA 繞 OB 旋轉(zhuǎn) α n得 OC， OB繞 OA 旋轉(zhuǎn) α n得 OD。 m(⊥ )=i 推理一 Cn179。 C2(⊥ )=Sn179。 C2(⊥ ) → Cn,n個(gè) C2 （衍生 n個(gè)２） 定理三 m179。 m 只能得 C2） 推理二 當(dāng)有對(duì)稱心存在時(shí)，偶次軸的個(gè)數(shù)必等于對(duì) 稱面的個(gè)數(shù)，且每一偶次軸各自垂直一對(duì)稱面。 sin290176。 n2360? 定理五 一個(gè)二次軸垂直一個(gè)對(duì)稱面，其交點(diǎn)必為對(duì)稱心。 推理 一個(gè)二次軸，垂直一個(gè) n 次反軸，當(dāng) n=奇數(shù)時(shí)，必有 n 個(gè)共點(diǎn)的二次軸垂直此 n 次反軸，同時(shí)有 n 個(gè)共線的對(duì)稱面包含 此 n 次反軸。因反伸兩次，反反得正，所以必為一個(gè) ［１］ 證明請(qǐng)參考南京大學(xué)“結(jié)晶學(xué)”下冊，第 515 頁 球面三角公式： cosA=cosBcosC+sinBsinCcosα 。cosδ =cos(180 δ) ∴ω =2(180δ)=360 2δ= 2δ 推理：如有一個(gè)二次軸垂直于一個(gè) n次軸，則必有 n個(gè)二次軸同時(shí)垂直與此 n次軸，且相臨兩個(gè)二次軸的交角等于 n次軸基轉(zhuǎn)角的一半。 證明：給定條件為α =β=180176。在特殊條件下， E1 和 E2才能重合為一。 Em。因此，嚴(yán)格地說，通過任何兩個(gè)相交的旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，可能產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸，不是一個(gè)，而是一對(duì)。經(jīng)過 OA和 OB 連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果， OC 保持原位不動(dòng)，只有 OB 轉(zhuǎn)到 OB’。 現(xiàn)有通過 O點(diǎn)的另一直線 OC， 它和 OA交角為 γ ’，和 OB 交角為 γ ” 。 167。 2．３．１ 對(duì)稱元素的組合定理 在晶體中，任意兩個(gè)對(duì)稱元素的組合，必將導(dǎo)致產(chǎn)生第三個(gè)新的合成對(duì)稱元素。 （３） 對(duì)稱元素的組合必須遵循對(duì)稱元素組合定理。 晶體可以只存在平移對(duì)稱性而不存在其他任何對(duì)稱性（除了 C1），可以只存在單一的對(duì)稱元素，也可以同時(shí)存在若干個(gè)對(duì)稱元素。 2．３ 對(duì)稱元素的組合 就數(shù)學(xué)上的意義而言，空間任意的對(duì)稱變換就構(gòu)成了所謂“群”，對(duì)稱操作的集合叫做 36 對(duì)稱操作群，相應(yīng)的對(duì)稱元素的集合叫對(duì)稱元素群，二者概稱為對(duì)稱群。只含有真軸的體系，必?zé)o對(duì)映體。群論中常用旋轉(zhuǎn)反映軸 Sn，比較少用旋轉(zhuǎn)反伸軸 In，雖然 Sn 不等于 In，二者是不同的對(duì)稱操作，但它們都是對(duì)稱元素。 i=??????????100011010??????????100010001=??????????100011010　 I32=??????????100011010　 ??????????100011010　 = ??????????100001011=C32 先轉(zhuǎn)動(dòng)后反伸 =先反伸后轉(zhuǎn)動(dòng) 效果相同 34 I33=??????????100011010　 ??????????100001011=??????????100010001=i I34=??????????100011010　 ??????????100010001=??????????100011010=C31 I35=??????????100011010　 ??????????100011010=??????????100001011　 I36=??????????100011010　 ??????????100001011　 =??????????100010001　 =E 2． 2． 6 旋轉(zhuǎn)反映， Sn 這也是聯(lián)合了兩步操作才能完成的對(duì)稱操作。 ，則 ????????zz39。 n=360/φ － 2 180 2 － 1 120 3 0 90 4 1 60 6 2 0 1 由表可見，晶體學(xué)中的旋轉(zhuǎn)軸只有 C1， C2， C3， C4， C6，而沒有 C5，不過，在分子對(duì)稱性中，可能存在 C5和 C∞ 。從圖 2． 13 中，我們可以看到， d=a－ 2a cosφ 由周期性的要求，應(yīng)有 d=ma，其中 m 必須為整數(shù) 所以， ma=a2a cosφ 2 cosφ =1m=M 因?yàn)椋? cosφ ?＋１，所以｜ M|? 2,M 的全部可能值只有０，177。在 N2，同樣具有 Cn 旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱性。 =sin45176。 ，變換矩陣是??????????001100010??????????001100010??????????001100010 ＝??????????100010001 ＝ E 例 4． C2(110) 先將 C2繞 z 軸轉(zhuǎn) 45176。39。 三次軸沿著體對(duì)角線。點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于坐 標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)： x’=－ y y’=x－ y ∴ C31=??????????100011010 如果順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， C3－ １ =??????????100001011 在 C31之后再做一次旋轉(zhuǎn)， C32= C31 178。在晶體學(xué)里常用六方和菱形坐標(biāo)系： （ 1）六角坐標(biāo)系，也叫六角軸，六方單胞。 29 例 1． N=2， θ =2360?=180176。但是在對(duì)稱心和對(duì)稱面的操作后，原來的右手坐標(biāo)變成了左手坐標(biāo)，如同理發(fā)店里你在鏡中看到的理發(fā)師都是左撇子一樣。旋轉(zhuǎn)軸的階： Cn? Cnn=E， n 次軸即 n 階。這是按右手規(guī)則定義的 θ 角（逆時(shí)針方向?yàn)檎? 27 )()( ]1 0 0[ yzxxyz m ?? ?? m[100]= ??????????100010001 )()( ]0 1 0[ zyxxyz m ?? ?? m[010]= ??????????100010001 )()( ]101[ yxzxyz m ?? ?? m[1 10]= ??????????100001010 )()( ]1 1 0[ zxyxyz m ?? ?? m[110]= ??????????100001010 如果用一個(gè)沿著 Z軸的 C4來對(duì) m[100]進(jìn)行變換，或用矩陣相乘的方法，也可以得到上述四個(gè) m 的矩陣表示。圖中○表示點(diǎn)（ x,y,z），179。 矩陣表示： i＝??????????100010001 行列式100010001=－ 1 ),(),( zyxzyx i ???? ?? ２．２．３對(duì)稱面操作 m，鏡面，反映 一個(gè)假想的平面，平面的兩側(cè)是兩個(gè)互呈鏡像而又不能疊合的對(duì)映圖形，這假想平面叫對(duì)稱面，或鏡面。 2． 2． 1 恒等操作 E，經(jīng) E 操作后，（ x,y,z）坐標(biāo)仍不變 ??????????100010001??????????zyx ＝??????????zyx 這里的????