【正文】 變式教學(xué)的程序以變式探究為重點(diǎn)，師生互動為主要形式，以學(xué)生形 成知識網(wǎng)絡(luò)為主要目標(biāo)。這樣不僅能夠深刻理解這個問題，還有利于擴(kuò)大解題收益 ，跳出題海！ 實施變式教學(xué) 提高復(fù)習(xí)效率 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，最大矛盾就是時間緊，任務(wù)重，要求高．目前比較普遍的情況是教師面面俱到，一味的灌輸，但由于時間不允許全面鋪開，對雙基“走過場”，對重點(diǎn)“似撓癢”。 ① 改變以教師以講為主的模式，要講練結(jié)合； ② 符合學(xué)生特點(diǎn)，基礎(chǔ)題課堂落實，大題要精，放在課外； ③ 及時反饋，調(diào)整教法； ④ 歸納總結(jié)，對照比較； ⑤ 關(guān)注兩頭學(xué)生； ⑥ 加強(qiáng)學(xué)生相互交 流； ⑦ 教師對學(xué)生的書寫，單元復(fù)習(xí)時要求寫出詳細(xì)步驟，隨后只要寫出關(guān)鍵步驟。教師只要能做到以下兩點(diǎn)就可以減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)而提高學(xué)習(xí)成績： ① 每年全國各省市的高考題（ 30 多套），教師爭取做完或?qū)Υ鸢秆凶x二分之一的題，這樣所編寫的專題的價值就會更大。教師講課要爭取對陳題能有新思想、新方 法或引出新問題，對資料上的問題有自己的研究心得，對任何問題爭取向前走一步，從課本題目引向高考題。 《 考試大綱》是高考法規(guī)性文件，明確指出考試內(nèi)容和考試要求，對于要考的知識點(diǎn)及各知識要考 18 到什么 程 度均有明確的規(guī)定。以分?jǐn)?shù)衡量的話，只有超過學(xué)生自身發(fā)展值的分?jǐn)?shù)可以作為教師教出的分?jǐn)?shù)。 首先教師的水平與工作要保證不能阻礙學(xué)生的發(fā)展，不能浪費(fèi)學(xué)生的時間?？荚囋囶}必須體現(xiàn) 我省 基礎(chǔ)教育的實際情況 ，建立 我省 自行的高考評價體系。 運(yùn)用這種思路命制高考試題常要經(jīng)歷三個階段：（ 1）在高等數(shù)學(xué)中選取合適的題材，并作適當(dāng)?shù)母膶?，使它適合考生的現(xiàn)有認(rèn)知水平；（ 2）在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間選擇與調(diào)整好命題點(diǎn)，控制好試題難度，進(jìn)行命題 ；（ 3）嚴(yán)格審核與定題。 高考中不少“概率型應(yīng)用題”都屬“人造應(yīng)用題”， 運(yùn)用這種思路命制高考試題常要經(jīng)歷四個階段：（ 1）選取貼近生活、背景公平的題材，從數(shù)學(xué)的視角，對所選題材進(jìn)行加工；（ 2）確立要考查的理論知識、思想方法、能力要求；（ 3）在理論與實際之間選擇命題點(diǎn)命題，實驗、收集數(shù)據(jù)，調(diào)整命題點(diǎn)，控制好試題的難度與長度；（ 4）嚴(yán)格審核與定題。 高考題 3（ 2020 年福建高考試題178。｜ AC｜ cosA 第五步，根據(jù)要求，調(diào)整命題點(diǎn)，控制試題難度，試著命題； 試題 對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn) A(xl， yl）、 B（ x2， y2），定義它們之間 的一種“距離”：‖AB‖＝｜ x1x2｜ +｜ yly2｜，判斷下列命題的真假： ①若點(diǎn) C 在線段 AB 上，則‖ AC‖＋‖ CB‖＝‖ AB‖； ②在△ ABC 中，若∠ C＝ 90186?！?CB‖ 2＝‖ AB‖ 2； ③在△ ABC 中，‖ AC‖＋‖ CB‖＞‖ AB‖， 其中真命題的個數(shù)為（ ） （ A） 0 （ B） l （ C） 2 （ D） 3 命題過程：第一步，確定要考查的舊知識老方法，如本題要考查兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的邊角關(guān)系、特殊值法及數(shù)形結(jié)合法等； 15 第二步，創(chuàng)建一個全新的環(huán)境，如本題創(chuàng)建了新環(huán)境“ A、 B 之間的‘距離’：‖ AB‖＝｜ x1 一 x2丨＋｜ y1一 y2丨 第三步，把命題點(diǎn)放在舊知識老方法處，試著命題； 試題 2． l 對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn) A（ x1， yl）、 B（ x2， y2），丨 AB｜為 AB 兩點(diǎn)間的距離．判斷下列命題的真假： ①若點(diǎn) C 在線段 AB 上，則‖ AC‖ + ‖ CB‖ ＝‖ AB‖； ②在△ ABC 中，若∠ C＝ 90186。 高考題 2（ 2020 年福建高考試題178。 第六步，嚴(yán)格審核與定題（同高考題 1）． 評析：本題要命制為高考試題的第 2 小題，因而在第四步與第六步要控制試題的難度與運(yùn)算量。 2 2 (B) 2 2 (C) 2 2 i (D) 177。 這就像 1996 年考查二次函數(shù)， 1997 年又繼續(xù)考查二次函數(shù)一樣，這種現(xiàn)象并非偶然。在證明的過程中，要用 x來將 ln(1+x)放大，這種放大是非常精細(xì)的，因為高等數(shù)學(xué)告訴我們，在一定范圍內(nèi)，可以用 x 來近似的代替 ln（ 1＋ x）。試想一 下，一個命題者要想在試題中標(biāo)新立異，他除了創(chuàng)造的激情之外，還一定有某種憂患：命題邊界的擴(kuò)大與教學(xué)邊界的矛盾，創(chuàng)新與穩(wěn)定的關(guān)系，與教學(xué)的適應(yīng)性，為了避免這種憂患，他只能從兩個方面考慮：或者，事先有某種信號；或者，有應(yīng)對質(zhì)疑的某種理由。在這樣的擴(kuò)充中，我們不是可以體會到某種規(guī)律嗎？在上述擴(kuò)充中，特別引人注目的可能是圖象，因為一個圖象，可以包含用文字語言和符號語言無法言說的信息，可以把觸角延伸到高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域而不必遭遇嚴(yán)密邏輯的關(guān)卡， 可以展示觀察、直覺等靈動的思維表現(xiàn)，可以考查不受知識局限的素質(zhì)和潛能，圖象，既是解客觀題的重要工具，也是思考主觀題的感性基礎(chǔ)，它和語言一樣是思維的感性基礎(chǔ)，它和語言一樣是思維的外殼，在語言停止的地方，便是圖象。 為刻畫運(yùn)動和變化，需要運(yùn)用函數(shù)的思想，建立目標(biāo)函數(shù)。 例 29 正方形 ABCD， ABEF 的邊長都是 1，且平面 ABCD， ABEF互相垂直。 例 27 已知向量 a＝（ cosα， sinα）， b＝（ cosβ ， sinβ ）且 a≠ 177。 例 26 已知向量 a≠ e， |e|=1，對任意 t∈ R，恒有丨 ate 丨≥丨 ae 丨 ,則（ ） （ A） a⊥ e (B) a⊥ (ae) (C) e⊥ (ae) (D) (a+e)⊥ (ae) 有些資料是這樣分析的：四個選項要求判斷向量之間的垂直，為了判斷向量之間的垂直關(guān)系，必須提供數(shù)量積為零的條件。 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，可得 a 的取值范圍是＿＿＿， 這是上海卷的一道考題 ，這個題的情景設(shè)置不多見，提出問題之后，不是讓學(xué)生馬上做題，算出結(jié)論，而是給出了三種思路，讓考生去辨析。 （ 1）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）； （ 2）若“絕對差數(shù)列”丨 an丨中， a20＝ 3， a21=0，數(shù)列｜ bn 丨滿足 bn＝ an＋ an+1+an+2,n=1,2,3… ，分別判斷當(dāng) n→∞時， an 與 bn 的極 限是否存在，如果存在，求出極限值； （ 3）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項． 此題一開始就提出了一個教材和大綱里沒有見過概念：絕對差數(shù)列，先給出了絕對差數(shù)列的定義，要求考生在理解這個定義的基礎(chǔ)上，舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”來討論他們無限變化的趨勢。如 例 21（ 2020 年廣東卷第 20 題） A是由定義在［ 2， 4］上且滿足如下條件的函數(shù) ? （ x）組成的集合：①對任意 x∈ [l， 2]，都有 ? （ 2x）∈（ 1， 2）；②存在常數(shù) L（ 0＜ L＜ l），使得對 任意的 x1,x2∈［ 1，2］，都有丨 ? （ 2x1）－ ? (2x2）丨≤ L｜ x1 一 x2丨 （ I）設(shè) ? （ x）＝ 31 x? ,x∈「 2,4］ ,證明： ? （ x）∈ A； （ II）設(shè) ? （ x）∈ A，如果存在 x0∈（ 1， 2），使得 x0＝ ? （ 2x0），那么這樣的 x0 是唯一的； （Ⅲ）設(shè) ? （ x）∈ A，任取 x1∈（ 1， 2） ,令 xn＋ l＝ ? （ 2xn） ,n＝ 1， 2，??，證明：給定正整數(shù) k，對任意的正整數(shù) p，成立不等式丨 xk+pxk|≤ LLk??1 1 ｜ x1x2｜（答案：略，） （ 8）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)特點(diǎn)，關(guān)注數(shù)學(xué)實質(zhì) 考試大綱的說明重申數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)是高度的抽象性，結(jié)論的確定性和應(yīng)用的廣泛性，并提出數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)應(yīng)該成為高考數(shù)學(xué)命題的 基礎(chǔ)，在命題中應(yīng)該充分體現(xiàn)這些特點(diǎn)，才能充分發(fā)揮高考數(shù)學(xué)的選拔功能。］ 10 評析：本題將具有“智力游戲”色彩的拼圖問題移植于高考題中，人手容易、深入較難，在難度設(shè)置上，分三個層次逐步遞進(jìn)，讓考生拾級而上，在探究，的同時體驗設(shè)計的智趣，呼應(yīng)了數(shù)學(xué)課程改革的新理念，具備濃厚的研究性學(xué)習(xí)的味道，在第二、三個層次上，逼過開放性設(shè)問，鼓勵考生大膽探索、標(biāo)新立異．在研究性學(xué)習(xí)已經(jīng)成為教改潮流的今天，倡導(dǎo)以試驗、研究的方法來處理幾何問題，考查考生的探究能力和空間想象能力，起到了“一箭雙雕”的作用，必將成為今后高考幾何命題 的新導(dǎo)向。 例 18（ 2020 年重慶卷文科第 16 題）毛澤東在《送瘟神》中寫到“坐地日行八萬里”，巳知地球的體積大約是火星的 8 倍，則火星的大圓周長約＿＿萬里．（答案： 4） 評析：本題和地理、文學(xué)有一定的聯(lián)系，從科學(xué)的角度說明詩詞歌賦是有實際生活基礎(chǔ)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文精神。（Ⅲ） N＝ 1024．） 評析：本題的背景是高等數(shù)學(xué)中發(fā)散的調(diào)和級數(shù)與高斯函數(shù)．巧妙的整合了對數(shù)、數(shù)列、函數(shù)、不等式、極限等基礎(chǔ)知識，尤其是用不等式 表示數(shù)列的遞推式，可謂匠心獨(dú)具。） 評析：本題的背景是高等數(shù)學(xué)的下凸函數(shù)及琴生不等式，主 要考查考生整合函數(shù)、方程、不等式等基礎(chǔ)知識的能力及分析問題和解決問題的能力。 設(shè)計此類讓考生動手的實踐操作試題，綜合性強(qiáng)、趣味性濃，能使考生在多樣化的操作活動中體驗數(shù)學(xué)的神秘與樂趣，并實現(xiàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，從中感到數(shù)學(xué)的力量，促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué) 習(xí)，通過動手操作，讓考生親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的來龍去脈和可靠性，把考生推到思維的前沿，自主探索數(shù)學(xué)知識，檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論，讓考生在自主的思維活動中建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．這樣既考查考生的動手操作能力，又考查考生思維的層次性與解題方法的靈活性，有助于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，具有較強(qiáng)的可操作性與實踐性．因此，它成為數(shù)學(xué)高考命題改革的一個熱點(diǎn)．此類試題，過難或者過易都無法達(dá)到期望的區(qū)分度而失去應(yīng)有的價值，因此，它也是命題改革的一個難點(diǎn)。 例 15 用長度分別為 6（單位： cm）的 5根細(xì)木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為（ ） （ A） 8 5 cm2 （ B） 6 10 cm2 （ C） 3 55 cm2 （ D） 20cm2 這是一個實際應(yīng)用問題，周長一定、正三角形的面積最大的結(jié)論，學(xué)生都知道。就要涉及到數(shù)據(jù)的處理。十多年的時間反復(fù)實踐，總結(jié)出命制應(yīng)用性試題的十二個字原則：“貼近生活，背景公平，控制難度”，給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指出了一個正確的方向，意 義重大而深遠(yuǎn)。 （ I）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； （ II）求這三人該課程考核都合格的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)） （答案：（ I）理論考核中至少有兩人合格的概率為 0． 902． （Ⅱ）三人該課程考核都合格的 概率約為 0． 254）。 （ 4）倡導(dǎo)學(xué)以致用，考查應(yīng)用意識 應(yīng)用題是對考生“綜合實力”的考查，是考查能力與素質(zhì)的良好題型加強(qiáng)，應(yīng)用意識的培養(yǎng)與考查是時代的需要，是教育改革的需要，同時也是數(shù)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的，近幾年應(yīng)用題的編擬更加重視語言簡潔、準(zhǔn)確，背景清新、近人，模型具體、簡明，方法熟悉、簡便，所涉及的都是數(shù)學(xué)基本內(nèi)容、思想和方法，摒棄繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，突出了對數(shù)學(xué)思想、方法和綜合分析問題能力的考查。 高考命題講究“?？汲Ｐ隆?。 （Ⅱ）求問題（ I）中函數(shù) h（ x）的值域； （ III）若 g（ x）＝ f（ x+a），其中 a 是常數(shù)， 且 a∈［ 0， ? ］，請設(shè)計一個定義域為 R的函數(shù) y＝f（ x），及一個 a 的值，使得 h（ x） =cos4x，并予以證明。 例 8 設(shè) m、 n 是兩條不同的直線，α、 β 是兩個不同的平面．下列命題中正確的是（ ） （ A）若 m⊥α， n∈ β ， m⊥ n，則α⊥ β （ B）若α∥ β ， m⊥α， n∥ β ，則 m⊥ n （ C）若α⊥ β ， m⊥α， n∥ β ，則 m⊥ n （ D）若α⊥ β ，α⊥ β =m， n⊥ m，則 n⊥ β （ 3）延拓傳統(tǒng)試題，開發(fā)創(chuàng)新題型 將傳統(tǒng)的、典型的試題進(jìn)行延拓、整合和創(chuàng)新，改編成立意深刻、新穎別致、不落俗套的試題，采用以“雙基”為立足點(diǎn)，進(jìn)行橫向類比、縱向加深或陳題開放等手段，變換設(shè)問的方式，考查考生思維的創(chuàng)造性。如果把七個拼成的結(jié)果 —— 的取計算它的表面積，再做一個大小的判斷，運(yùn)算很笨。 例 5 在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間（ l， 2）上的任意 x1， x2（ xl≠ x2）， |f(x2)f(x1)||x2x1|恒成立”的只有（ ） (A)f(x)=x1 (B)f(x)=|x| (C)f(x)=2x (D)f(x)=x2 這道題從表面上來看，這是一道考查函數(shù)所滿足的數(shù)置關(guān) 系的問題，實際上這個數(shù)量之間的不等關(guān)系有著對應(yīng)的幾何意義，其定性的描述就是函數(shù)的圖像在這個區(qū)間上是應(yīng)該比較“平緩”，只要確認(rèn)給出的四個函數(shù)在 1 到 2這個區(qū)間上，哪個函數(shù)圖像呈現(xiàn)出“平緩”的特點(diǎn)，無須作任何的計算就能得出結(jié)論，由此給出了一個重要的啟示：數(shù)形結(jié)合不只是一種方法，應(yīng)該把它提高一種數(shù)學(xué)思想加以認(rèn)識。分類討論一旦不全面（如漏掉對 k 5 ＝41等的討論），就會錯選為其他選項。 ② 存在實數(shù) k，使得方程恰有 4 個不同的實根。1 xFnk k??[其中 Fk’ (x)為 Fk(x)的導(dǎo)函數(shù) ]，計算 1)(lim??? nnn TxT = 1， 0x≤ 1