【正文】 1 研究命題走勢 講究應試策略 —— 2020 年高考數(shù)學第三輪復習溫馨提示與建議 福州八中 周 平 “人生易老天難老”，歲歲高考，今又高考。高考復習是一個引人注目的話題，又是一個老生常談的話題。 “年年歲歲話相似，歲歲年年題不同”。 這里沒有秘訣，也沒有私人信息，任何私人信息，在經(jīng)過 29 年（恢復 高 考制度后的 29 年）的關注、猜想、嘗試和研究之后，都變成了公有。我們曾經(jīng)企盼有誰能“金針度人” 。 現(xiàn)在已經(jīng)沒有意義，我們的問題是：如何在高考復習中，始終保持明確的目標、清醒的頭腦和有效的對策；能夠?qū)Ω呖紡土暤?課程資源做出正確的判斷、恰當?shù)娜∩岷秃侠淼倪\用；在繁茂 蕪 雜 的 信息中看到高考命題的基本規(guī)律，在知識與能力、數(shù)學知識與教 學活 動的經(jīng)驗、基本能力和創(chuàng)新意識、穩(wěn)定和創(chuàng)新等諸多 矛盾的 沖突中達到平衡，在把考綱要求、命題規(guī)律轉(zhuǎn)化為教學方 式的過程中 表 現(xiàn) 出自由、和諧、開放和 創(chuàng) 造的狀 態(tài)。 省質(zhì)檢過后， 2020 年高考數(shù)學復習已進入第三輪，即回歸基礎，查缺補漏，把握規(guī)律，強化記憶，進入考試最佳狀態(tài)。經(jīng)過第一輪的知識梳理和歸納，以 及一定量典型問題的剖析和習題訓練，再經(jīng)過第二輪專題復習，強化主干內(nèi)容，把握知識內(nèi)在聯(lián)系，提高綜合運用能力 ，培養(yǎng)理性思維，積累了較為豐富的解題經(jīng)驗，那么在剩下的最后沖刺的時間里， 如何 認真研究 命題走勢 ， 講究應試策略 ，在教師的指導下，科學、合理 、有效 地進行復習， 使考生更趨 于成熟、完善，應試能力和心理素質(zhì)完全達到高考要求 ，是高三老師與考生都很關注的。下面就高考數(shù)學最后階段的復習提出幾點建議，供大家參考： 一、 研究命題走勢 高考作為一種社會性選拔，一方面要體現(xiàn)高中教育的基礎性和全面性，另一方面要充分體現(xiàn)學科本身的特點及選拔的要求，關注考試動態(tài)，研究命題走勢，明確考試的的新特點和新要求，把握好高考復習的導向，提高備考復 習的針對性和有效性，是亟待解決的重要課題。 1．從 2020年《考試大綱》的變化看命題的走勢 （ 1）在知識要求中，增加了知識相關背景的認識，要求學生學習數(shù)學知識的同時，應了解知識的背景，如導數(shù)概念的某些背景（如瞬時速度，加速度，平滑曲線的切線等），認識到數(shù)學知識來源于生活實際而又高于生活，成為一些規(guī)律，反過來我們又可以把這些規(guī)律運用到實際生活中去，因此這里所謂的了解知識的背景，還應該指在生括中運用數(shù)學。其實這一點在 2020 年高考中已經(jīng)有很多體現(xiàn)（如北京卷理科第 8題“三岔路口”問題和江蘇卷笫 18 題“帳篷”問題等 ），只不過今年將其更加明確化，我們復習時更應該留意數(shù)學試題在生活中的背景，以便考場上對這些背景不“陌生”。 （ 2）對學生數(shù)學運算能力的要求，相應有所提高。因為運算能力是一種集算理、算法、計算、推理、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學思想方法于一體的綜合性能力。培養(yǎng)和提高學生的運算能力已成為數(shù)學教學中普遍關注的問題之一。考綱中“能根據(jù)問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑”比起往年多了三個字 —— 和目標，這也是我們平時解答題目時所強調(diào)的一種推理思想 —— 盯著目標，朝著目標前進。 （ 3）對平面的性質(zhì)的要求，由掌握變?yōu)槔斫?，?切合學生實際．平面的基本性質(zhì)圭要包括三個公理及其推論，它本身是學生可以直觀感受的，司空見慣的。線面垂直的概念對文科學生來說，要求有所降低，復習過程中應把握好復習的度。 （ 4）三角函數(shù)概念對文科生的要求有所降低，更加凸顯了三角函數(shù)的工具性作用，既然將三角函數(shù)作為一個解題工具，只要能夠用、用得來就達到目的了，沒必要單獨搞一些復雜而沒有蘊涵著重要數(shù)學思想的三角運算。 從 2020年福建省自主命題的變化，研究命題變化走勢 2 （ 1） 設法減少滿分卷人數(shù) 2020年數(shù)學高考， 15． 6萬理科生中，滿分只有 11人， 1萬人不到 1人。填空題滿分人數(shù)： 28630；17題滿分人數(shù) 66635， 18題滿分人數(shù) 30216， 19題滿分人數(shù) 22243， 20題滿分人數(shù) 2346， 21題滿分人數(shù) 3708， 22題滿分人數(shù) 11。 （ 2） 新教材新增內(nèi)容分值降低 新教材中新增內(nèi)容仍然用高于課時的比例來命題，并且突出了它的工具性作用。 2020年新教材新增內(nèi)容，文理科約占 45分 左右 ( 包括立體幾何的解答題用空間向量求解 ) ，比 2020 年略有降低。2020年新教材新增內(nèi)容，文理科約占 40分左右 ( 包括立體幾何的解答題用空間向量求解，函數(shù)用導數(shù)求解 )， 分值有走低的趨勢。立體幾何的解答題仍然是命制一道用傳統(tǒng)幾何方法和空間向量都可以解答、且 2020年與 2020年用空間向量方法解答，并不能占太多便宜的試題，這樣做體現(xiàn)了公平性。 （ 3） 聚 焦 社會熱點 近幾年來無論是全國卷還是省市卷，大都用概率統(tǒng)計型為主的應用題取代傳統(tǒng)內(nèi)容型應用題，使得中學教學偏向概率統(tǒng)計型，引起專家的注意。 2020年理科卷二小一大，二小題出的是概率統(tǒng)計型應用題，一大出的是函數(shù)型應用題。這道應用題與 “ 燃油漲價 ” 有關，是 2020年值得關注的社會熱點。國家基礎教育課程改革引導學生深入社會實際，關注社會 生活熱點問題，加強數(shù)學應用意識的滲透和培養(yǎng)等基本理念，不能不引起我們的極大關注。 隨著導數(shù)進入高中知識體系時間的推移，對于導數(shù)的考查不僅側(cè)重于基本公式和法則，現(xiàn)已擴充到將導數(shù)作為強有力的工具去研究解決問題。兩道解答題考查運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法。 這是 2020年高考對應用題和導數(shù)考查值得足夠關注的顯著變化和發(fā)展趨勢。 （ 4） 閱讀能力要求提高 高考數(shù)學理科卷， 2020年字數(shù)為 1500， 2020年 1450，字數(shù)是少了，但理解力要求高了。 新信息遷移題主要通過觀察學生閱讀理解所定義的新概念，新運算，從中獲得解 題所需知識，信息并立即將其應用到實際解題中的表現(xiàn)，考查其閱讀理解，知識遷移能力和后續(xù)學習的潛能。如理科卷里第 12題新定義 “ 距離 ” 。值得一提全國有 10卷出現(xiàn) “ 新信息遷移題 ” 。 理 19雖然說考查導數(shù)應用，但不少考生用 “ 三項均值不等式 ” 失分反而少。 “ 三項均值不等式 ”出現(xiàn)在閱讀材料，因它不占課時，多數(shù)老師容易忽視。據(jù)調(diào)查，高一高二有七篇閱讀材料，多數(shù)連教師都不看。只有 %的學生能每篇必讀。 2020年開始的新課改，涉及不少選修課，閱讀材料，這道題還是有促進作用。值得一提，廣東卷上海卷出現(xiàn) “ 研究性學習 ” 題型。 啟 示我們應該長期訓練學生良好的自學能力和培養(yǎng)學生深厚的閱讀理解功力。 從 2020年福建省質(zhì)檢數(shù)學試卷特點評價，研究命題走勢 2020年省質(zhì)檢數(shù)學試卷 難度適中，題目富有新意，完全符合我省 2020年考試說明的要求，據(jù)不完全統(tǒng)計，文、理科全省平均分分別約為 ，難度系數(shù)分別為 ,標準差 。根據(jù)許多高三師生反映，今年省質(zhì)檢數(shù)學試卷有以下特點： （ 1）突出主干知識與數(shù)學思想方法的考查。 （ 2）重視知識產(chǎn)生的背景，還原數(shù)學本質(zhì)，強化應用意識，符合新課程理念。例如文科試卷第 19題 ，創(chuàng)設開設選修課選擇多媒體教室的問題情境；理科試卷第 18題，關注的是一個實驗學科的實驗考查方案，這兩道題都富有時代感，頗有新意。理科第 20題，是一個很有創(chuàng)意的新題，該題巧妙地把數(shù)列 知識運用在學生熟悉的網(wǎng)絡環(huán)境 游戲的背景 下，突出考查考生的實際應用能力和把信息化為數(shù)學問題的能力，而難度不大。 （ 3）突出考查運算技能。不同層次的學生可以選擇不同的解題方法，體現(xiàn)不同的運算能力和水平。 （ 4）試卷難易梯度明顯，有利于發(fā)揮學生的聰明才智，主要體現(xiàn)在三個方面，首先從選擇題、填空題到解答題，每種題型的難度遞增。這給考 生做題提供了方便，只需順著題目往下做就可以了。此外， 3 這次考題的一個特色就是每個解答題均設置了 2個 — 3個小問題，每小題的難度也是遞增的。這給不同層次的學生都有相應的得分機會。 （ 5）拉大文理科的差距，符合文理科學生的實際情況，有利于保護文科學生學習數(shù)學的積極性。整張卷共 22道題，文科與理科僅有 3道題目相同，其中兩道選擇題，一道填空題。 從近年來全國及各省、市高考數(shù)學試卷的共同特點，研究命題走勢 （ 1）植根現(xiàn)行教材，突出考查雙基 高考命題講究“源于教材，高于教材”，“源于教材”就是取材于教材，而“高 于教材”則是命制出有所提高的、更合乎考綱要求的試題．這就要在教材與考綱之間選擇合適的命題點進行命題若所選的命題點與教材過近，則命出的試題難度會偏低；若所選的命題點較接近考綱，則命出的試題難度會有所增加。 例 1（ 2020年全國卷 II 理科第 19題）數(shù)列 {an}前 n 項和記為 Sn，已知 a1＝ 1， an+1==nsnn 2?（ n＝l， 2， 3，??）， 證明：（ I）數(shù)列 {nsn }是等比數(shù)列； （Ⅱ） Sn+1=4an（答案：略） 評析：本題與人教版第 一冊（上），第三章數(shù)列的復習參考題三 B 組第 5題“在數(shù)列 {an}中， an=1，an+1=3Sn（ n≥ 1），求證： a2,a3,? an是等比數(shù)列”接近。 例 2（ 2020 年天津卷理科笫 18 題）已知 un＝ an+an1b+an2b2+?? +abn1+bn（ n∈ N*， a＞ 0， b＞ 0）． （ I）當 a＝ b 時，求數(shù)列｜ un丨前 n 項和 sn； （ II）求1lim ??? nnn uu , 答案：（ I）當 a＝ 1 時， 2 )3( ?? nnsn；當 a≠ 1 時，2212)1( 2)2()1( a aaanansnnn ? ???????? . （Ⅱ）當 a＝ b 或 a＞ b＞ 0 時，1lim ??? nnn uu =a；當 b＞ a＞ 0 時，1lim ??? nnn uu =b) 評析：本題與人教版第一冊（上〉，第三章數(shù)列的復習參考題三 B 組第 7 題“利用等比數(shù)列前 n項和公式證明 an+an1b+an2b2+?? +abn1+bn = ba ba nn ?? ?? 11 ，其中 n∈ N*， a,b 是不為 0 的常數(shù)， a≠ b.”極其相似。 又如， 2020 年四川卷，全卷 22 題中，文理各有十多道題來源于人教版教材的例、習題。 試題 背景的取向也注意靠近教材和考生的生活實際，讓考生處于一個較為平和、熟悉的環(huán)境中，以增強解題信心．這些根植于教材的題目背景新穎、運算量不大．解答這些題目，要求考生在理解并掌握教材內(nèi)容的基礎上運用它來解決相關問題，能較好地考查考生的雙基的狀況，有利于引導中學數(shù)學教學克服“題海戰(zhàn)術”和“大運動量”重復訓練的傾向，向全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)的方向發(fā)展。 （ 2）把握重點知識 ， 凸現(xiàn)思想方法 重點知識是支撐學科知識體系的主要內(nèi)容，近年來的高考數(shù)學試卷都保持了較高的比例，并達到了必要的考查深度，構成數(shù)學試卷的主體，數(shù)學思想方 法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，是從某些具體的數(shù)學認識過程中提煉出來，并被往后的大量的數(shù)學實踐所反復證實其正確性的一些觀點，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是數(shù)學的靈魂，掌握了它就能駕馭知識，形成能力。加強對學生進行數(shù)學思想方 4 法的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育的要求，在重點考查學生最基本、最通用的數(shù)學規(guī)律和數(shù)學技能的同時，突出時數(shù)學思想方法的考查是近年來數(shù)學高考命題改革的又一個發(fā)展趨勢，各地數(shù)學試卷每年幾乎涉及了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合與分離、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、無限與有限和特殊與一般等基本數(shù)學思想，換元、消元、配方、設參 數(shù)、平移、放縮、向量、概率統(tǒng)計、求導、比較、分析、綜合、反證和歸納等基本數(shù)學方法，內(nèi)容豐富，形式多樣。 例 3（ 2020 年四川卷理科第 20 題）已知數(shù)列 {an}，其中 a1＝ 1， a2＝ 3， 2an＝ an+1+an1（ n≥ 2）。記數(shù)列｜ an 丨的前 n 項和 Sn，數(shù)列 {lnSn}前 n 項和 Un。 （ I）求 Un； （ II）設 Fn(x)= nU xnne n 22)!(2(x0),Tn(x)= )(39。1 xFnk k??[其中 Fk’ (x)為 Fk(x)的導函數(shù) ]，計算 1)(lim??? nnn TxT = 1， 0x≤ 1 21x,x1 評析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎知識，以及對數(shù)運算、導數(shù)運算和極限運算的能力，同時考查分類討論的思想方法。 對數(shù)學思想和方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時注意了與數(shù)學知識相結(jié)合通過對數(shù)學知識的考查，可以反映考生對數(shù)學思想和方法理解和掌握的程度；考查中是從學科整體意義和思想價值立意，注重了對通性通法的考查，淡化了特殊技巧，這樣可以更有效際檢測考 生對中學數(shù)學知識中所蘊含的數(shù)學思想和方法的掌握程度。 例 4（ 2020 年湖北卷文、理科第 10 題）關于 x的方程（ x21） 2|x21|+k=0，給出以下四個命題。 ① 存在實數(shù) k，使得方程恰有 2 個不同的實根。 ② 存在實數(shù) k，使得方程恰有 4 個不同的實根。 ③ 存在實數(shù) k，使得方程恰有 5 個不同的實根。 ④ 存在實數(shù) k，使得方程恰有 8 個不同的實根。 其中假命題的個數(shù)是 （ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 解析：令 t=f(x)=|x21|,k=g(t)=t2