【正文】 21x,x1 評析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及對數(shù)運算、導(dǎo)數(shù)運算和極限運算的能力，同時考查分類討論的思想方法。加強對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方 4 法的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育的要求，在重點考查學(xué)生最基本、最通用的數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)技能的同時，突出時數(shù)學(xué)思想方法的考查是近年來數(shù)學(xué)高考命題改革的又一個發(fā)展趨勢，各地數(shù)學(xué)試卷每年幾乎涉及了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合與分離、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、無限與有限和特殊與一般等基本數(shù)學(xué)思想，換元、消元、配方、設(shè)參 數(shù)、平移、放縮、向量、概率統(tǒng)計、求導(dǎo)、比較、分析、綜合、反證和歸納等基本數(shù)學(xué)方法，內(nèi)容豐富，形式多樣。 例 2（ 2020 年天津卷理科笫 18 題）已知 un＝ an+an1b+an2b2+?? +abn1+bn（ n∈ N*， a＞ 0， b＞ 0）． （ I）當(dāng) a＝ b 時，求數(shù)列｜ un丨前 n 項和 sn； （ II）求1lim ??? nnn uu , 答案：（ I）當(dāng) a＝ 1 時， 2 )3( ?? nnsn；當(dāng) a≠ 1 時，2212)1( 2)2()1( a aaanansnnn ? ???????? . （Ⅱ）當(dāng) a＝ b 或 a＞ b＞ 0 時，1lim ??? nnn uu =a；當(dāng) b＞ a＞ 0 時，1lim ??? nnn uu =b) 評析：本題與人教版第一冊（上〉，第三章數(shù)列的復(fù)習(xí)參考題三 B 組第 7 題“利用等比數(shù)列前 n項和公式證明 an+an1b+an2b2+?? +abn1+bn = ba ba nn ?? ?? 11 ，其中 n∈ N*， a,b 是不為 0 的常數(shù)， a≠ b.”極其相似。 （ 5）拉大文理科的差距，符合文理科學(xué)生的實際情況，有利于保護文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。 （ 4）試卷難易梯度明顯，有利于發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，主要體現(xiàn)在三個方面，首先從選擇題、填空題到解答題，每種題型的難度遞增。例如文科試卷第 19題 ，創(chuàng)設(shè)開設(shè)選修課選擇多媒體教室的問題情境；理科試卷第 18題，關(guān)注的是一個實驗學(xué)科的實驗考查方案，這兩道題都富有時代感，頗有新意。 啟 示我們應(yīng)該長期訓(xùn)練學(xué)生良好的自學(xué)能力和培養(yǎng)學(xué)生深厚的閱讀理解功力。據(jù)調(diào)查，高一高二有七篇閱讀材料，多數(shù)連教師都不看。如理科卷里第 12題新定義 “ 距離 ” 。兩道解答題考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法。 2020年理科卷二小一大，二小題出的是概率統(tǒng)計型應(yīng)用題，一大出的是函數(shù)型應(yīng)用題。 2020年新教材新增內(nèi)容，文理科約占 45分 左右 ( 包括立體幾何的解答題用空間向量求解 ) ，比 2020 年略有降低。 （ 4）三角函數(shù)概念對文科生的要求有所降低，更加凸顯了三角函數(shù)的工具性作用，既然將三角函數(shù)作為一個解題工具，只要能夠用、用得來就達到目的了，沒必要單獨搞一些復(fù)雜而沒有蘊涵著重要數(shù)學(xué)思想的三角運算。培養(yǎng)和提高學(xué)生的運算能力已成為數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍關(guān)注的問題之一。 1．從 2020年《考試大綱》的變化看命題的走勢 （ 1）在知識要求中，增加了知識相關(guān)背景的認識，要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，應(yīng)了解知識的背景，如導(dǎo)數(shù)概念的某些背景（如瞬時速度，加速度，平滑曲線的切線等），認識到數(shù)學(xué)知識來源于生活實際而又高于生活，成為一些規(guī)律，反過來我們又可以把這些規(guī)律運用到實際生活中去，因此這里所謂的了解知識的背景，還應(yīng)該指在生括中運用數(shù)學(xué)。 現(xiàn)在已經(jīng)沒有意義，我們的問題是：如何在高考復(fù)習(xí)中，始終保持明確的目標、清醒的頭腦和有效的對策；能夠?qū)Ω呖紡?fù)習(xí)的 課程資源做出正確的判斷、恰當(dāng)?shù)娜∩岷秃侠淼倪\用；在繁茂 蕪 雜 的 信息中看到高考命題的基本規(guī)律，在知識與能力、數(shù)學(xué)知識與教 學(xué)活 動的經(jīng)驗、基本能力和創(chuàng)新意識、穩(wěn)定和創(chuàng)新等諸多 矛盾的 沖突中達到平衡，在把考綱要求、命題規(guī)律轉(zhuǎn)化為教學(xué)方 式的過程中 表 現(xiàn) 出自由、和諧、開放和 創(chuàng) 造的狀 態(tài)。高考復(fù)習(xí)是一個引人注目的話題，又是一個老生常談的話題。 “年年歲歲話相似，歲歲年年題不同”。 省質(zhì)檢過后， 2020 年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)已進入第三輪，即回歸基礎(chǔ)，查缺補漏，把握規(guī)律，強化記憶，進入考試最佳狀態(tài)。其實這一點在 2020 年高考中已經(jīng)有很多體現(xiàn)（如北京卷理科第 8題“三岔路口”問題和江蘇卷笫 18 題“帳篷”問題等 ），只不過今年將其更加明確化，我們復(fù)習(xí)時更應(yīng)該留意數(shù)學(xué)試題在生活中的背景，以便考場上對這些背景不“陌生”?？季V中“能根據(jù)問題的條件和目標，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑”比起往年多了三個字 —— 和目標，這也是我們平時解答題目時所強調(diào)的一種推理思想 —— 盯著目標，朝著目標前進。 從 2020年福建省自主命題的變化，研究命題變化走勢 2 （ 1） 設(shè)法減少滿分卷人數(shù) 2020年數(shù)學(xué)高考， 15． 6萬理科生中，滿分只有 11人， 1萬人不到 1人。2020年新教材新增內(nèi)容，文理科約占 40分左右 ( 包括立體幾何的解答題用空間向量求解，函數(shù)用導(dǎo)數(shù)求解 )， 分值有走低的趨勢。這道應(yīng)用題與 “ 燃油漲價 ” 有關(guān)，是 2020年值得關(guān)注的社會熱點。 這是 2020年高考對應(yīng)用題和導(dǎo)數(shù)考查值得足夠關(guān)注的顯著變化和發(fā)展趨勢。值得一提全國有 10卷出現(xiàn) “ 新信息遷移題 ” 。只有 %的學(xué)生能每篇必讀。 從 2020年福建省質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷特點評價，研究命題走勢 2020年省質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷 難度適中，題目富有新意，完全符合我省 2020年考試說明的要求，據(jù)不完全統(tǒng)計，文、理科全省平均分分別約為 ，難度系數(shù)分別為 ,標準差 。理科第 20題，是一個很有創(chuàng)意的新題，該題巧妙地把數(shù)列 知識運用在學(xué)生熟悉的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境 游戲的背景 下，突出考查考生的實際應(yīng)用能力和把信息化為數(shù)學(xué)問題的能力，而難度不大。這給考 生做題提供了方便，只需順著題目往下做就可以了。整張卷共 22道題，文科與理科僅有 3道題目相同，其中兩道選擇題，一道填空題。 又如， 2020 年四川卷，全卷 22 題中，文理各有十多道題來源于人教版教材的例、習(xí)題。 例 3（ 2020 年四川卷理科第 20 題）已知數(shù)列 {an}，其中 a1＝ 1， a2＝ 3， 2an＝ an+1+an1（ n≥ 2）。 對數(shù)學(xué)思想和方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時注意了與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合通過對數(shù)學(xué)知識的考查，可以反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度；考查中是從學(xué)科整體意義和思想價值立意，注重了對通性通法的考查，淡化了特殊技巧，這樣可以更有效際檢測考 生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。 ③ 存在實數(shù) k，使得方程恰有 5 個不同的實根。 把數(shù)學(xué)定位于思維型的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要通過知識的教學(xué)教給同學(xué)如何想問題，在想問題的過程中就會涉及到思維策略和思維方法．考試大綱提出在考查知識的同時，考查數(shù)學(xué)的思想方法十分重要。原來在數(shù)學(xué)思想方法中間提到過一個分類討論，現(xiàn)在稱之為分類與整合。如何先做出一個大小關(guān)系的有效估計，那就可以把問題的計算量大大減少．意味著不僅要會“分”，而且要會“合”，要善于從整體上把握“分”與“合”的聯(lián)系。 例 9（ 2020福建卷理科第 16 題）把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題：若函數(shù) f（ x）＝ 3+log2x的圖象與 g（ x）的圖象關(guān)于＿＿＿對稱，則函數(shù) g（ x）＝＿＿＿。 （答案：（ I） h（ x） = 12?xx ,x∈ (? ,1)∪ (1,+? ) 1,x=1 （Ⅱ）（－∞， 0］∪［ 4，＋∞）．（ III） f（ x）＝ sir2x＋ cos2x， α=2? 或 f（ x）＝ 1＋ 2 2 sin2x, α=2?等，證明略） 評析：本題由兩個常規(guī)的初等函數(shù) y＝ f（ x）、 y＝ g（ x）定義出一個新的復(fù)合函數(shù) h（ x），考查考生加工信息，調(diào)動儲存，制定合理解題思路的能力。 創(chuàng)新是一份高考試題的亮點與魅力，但是作為高考試題，也不能盲目創(chuàng)新。就試題的內(nèi)容而言，均與概率、線性規(guī)劃、函數(shù)、方程、不等式等知識有關(guān)，大部分蘊含 著最優(yōu)化原理，這都是對學(xué)生起長遠作用的、基本的數(shù)學(xué)知識和技能：就能力要求而言，均需要學(xué)生能將實際問題抽象出來，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并用已有的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法去解決；就思想性而言均是與生產(chǎn)、市場經(jīng)濟息息相關(guān)，且具有教育意義的現(xiàn)實問題。 評析：本題主要考查利用新增內(nèi)容中的相互獨立事件、互斥事件、對立事件等概率的計算方法，考查運用概率知識解決實際問題的能力。 例 13 設(shè) y=f（ t）是某港口水的深度 y（米）關(guān)于時間 t（時）的函數(shù)，其中 0≤ t≤ 24．下表是該港口某一天從 0 時至 24 時記錄的時間 t 與水深 y 的關(guān)系： 經(jīng)長期觀察，函數(shù) y=f(t)的圖像可以近似地看成函數(shù) y＝ k＋ 4sin（ ω t+φ ）的圖像。這道題很有典型性。但是用這個題目給出的五根木棒構(gòu)成三角形，不可能出現(xiàn)等邊三角形的精況，就需要通過合理的估算，得出結(jié)論。 （ 6）關(guān)注學(xué)科整合，重視知識銜接 學(xué)科知識的整合既是數(shù)學(xué)改革的方向，也是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)及創(chuàng)新精 神的有效途徑． — 方面，數(shù)學(xué)本身是一個結(jié)構(gòu)縝密的有機整體，各部分知識間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，另一方面，數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的工具，在各個學(xué)科都有著廣泛的應(yīng)用。 例 17（ 2020 年湖北卷理科笫 22 題）已知不等式 21 +31 +… +n1 ＞ 21 ［ log2n］，其中 n 為大于 2 的整數(shù)，［ log2n］表示不超過 log2n 的最大整數(shù)。 高考命題講究“考查潛能”，高等數(shù)學(xué)無疑是“考查潛能”的沃土 。 例 19（ 2020 年上海卷文、理科第 11 題）教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是＿＿＿．（答案：用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)） 評析：本題一是有人文背景 ，二是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的新課標的理念． 其次，命題改革有意識地關(guān)注考生在情感、態(tài)度和價值觀方面的表現(xiàn)如 2020年和 2020 年在福建卷、天津卷中，均出現(xiàn)了一行“祝各位考生考試順利！”的文字，讓考生感到高考試題有選拔功能的同時，有了人情味，這有利于減輕考生的緊張情緒，多了一份關(guān)懷與和諧。另外，附加題重現(xiàn)高考試卷，充分體現(xiàn)了“以人為本”的考試理念，為能力較強的考生提供了展示自我的舞臺，代表了課程與評價改革的良好發(fā)展方向。 ① 概念性強 數(shù)學(xué)是由概念命題所組成的邏輯系統(tǒng)，概念是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)當(dāng)中每一個術(shù)語、符號和習(xí)慣用語都有著具體的內(nèi)涵。最后再完成一個證明題，當(dāng)然后面的兩個題，要求是比較高的，但就教學(xué)來講，這道題的題干和第一個問題是不是給我們一個啟示：學(xué)數(shù)學(xué)，思考數(shù)學(xué)問題，概念是非常重要的。這一過程蘊含著怎樣才是正確的思考和解決問題的原則：轉(zhuǎn)化必須要保持與原來的問題等價；轉(zhuǎn)化要使問題變得越來越簡單，這三個思路中，甲是錯誤的，而丙雖然沒有錯誤，但是不可?。眠@樣的情景設(shè)置的方式，強調(diào)了拿到題目以后，應(yīng)該首先考慮怎樣選擇思路。但題目沒有數(shù)量積的已知條件，因此將這兩個向量長度的大小關(guān)系各自取平方，進而導(dǎo)出向量的數(shù)量積，這一思路，學(xué)生可以理解，但按照這個思路，后續(xù)的運算量就成了典型的“小題大做”．把握這個不等關(guān)系的實質(zhì)，首先要理解 t 和向量 e 數(shù)乘的幾何意義，從而歸結(jié)為線外一點與直線上各點 的連線中，丨 a 一 e 丨最短，只有 a 一 e 才是向量 e所在直線的垂線．不能只從計算的角度去認識它，而要考慮它隱含的幾何特征，這個題的得分率很低．原因就是學(xué)生在看到這種題之后，覺得跟熟悉的題型不一樣，就不知道應(yīng)該從什么地方下手。 b，那么 a＋ b 與 ab 的夾角的大小是 . 這道考題， 給了用兩個三角形式表示的向量，然后問這兩個向量和與這兩個向量差的夾角．下面問了一些考生，大多數(shù)都是從計算兩者的數(shù)量積入手，再除以他們的長度，求出夾角的余弦，事實上如果注意向量的幾何特征，就會發(fā)現(xiàn)這兩個向量是起點在原點，終點在單位圓上，它們所形成的平行四邊形是個菱形，而 a＋ b 與 a 一 b 恰是菱形的兩條對角線．互相垂直，不需要做任何的計算就能得出結(jié)論。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF上移動，若 CM=BN＝ a（ o＜ a＜ 2 ）。 從高考命題、常規(guī)思路與題源分析，研究命題走勢 命題從哪里產(chǎn)生呢？ （ 1）課本是試題的基本來源，是高考命題的主要依據(jù)，大多數(shù)試題的產(chǎn)生都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工和發(fā)展的結(jié)果； （ 2）歷屆高考題成為新高考題的借鑒，特別是全國題，它的發(fā)展變化在各省市命題中起引領(lǐng)作用； （ 3）課本與課程標準的交集成為新高考題的創(chuàng)生地帶，不能忽視課程改革背景下新理念、新內(nèi)容對命題者的影響； （ 4）高等數(shù)學(xué)的基本思想、基本問題為高考題的命制提供背景，這既是高考考查潛能的需要 ，也是命題者學(xué)術(shù)背景使然； （ 5）當(dāng)包括向量、導(dǎo)數(shù)等新增內(nèi)容在內(nèi)的考查內(nèi)容常規(guī)化后，竟賽題將成為一個參考。 例 31（ 2020 年江西卷理科第 12 題｝某地一年內(nèi)的氣溫 Q（ t）（單位：℃）與時間 t（月份）之間的關(guān)系如圖 1所示，已知該年的平均氣溫為 10℃，令 C（ t）表示時間段 [0， t］的平均氣溫， C（ t）與 t 之向的函數(shù)關(guān)系用下列圖晚表示，則正確的應(yīng)該是（ ） 注意到后幾個月的氣溫單調(diào)下降，則從 o 到 12 月 前的某一刻，平均氣溫應(yīng)大于 10℃，故選擇支 B不對； 6 月前的平均氣溫應(yīng)小于 10℃，故選擇支 C 不對；又該年的平均氣溫為 10℃