【文章內容簡介】 有的價值，因此，它也是命題改革的一個難點。 （ 6）關注學科整合，重視知識銜接 學科知識的整合既是數(shù)學改革的方向，也是培養(yǎng)學生良好的思維品質及創(chuàng)新精 神的有效途徑． — 方面，數(shù)學本身是一個結構縝密的有機整體，各部分知識間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，另一方面，數(shù)學作為自然科學的工具，在各個學科都有著廣泛的應用。設置一些能體現(xiàn)數(shù)學間相互聯(lián)系的問題，合理地整合學科內知識或將數(shù)學知識與其他學科進行有機地融合，要求考生在較大的知識背景中利用它何來綜合地分析問題和解決問題，有利于考生展示自身的綜合素質和綜合能力．同時，隨著教育事業(yè)的發(fā)展，多數(shù)學生都要進人高校學習，近年來的試題重視了對高中與大學銜接的知識與能力的考查，一是引導高中教學做好高中與大學的銜接，二是對學生升入高校繼 續(xù)學習應具備的基本素質進行考查，使高校學習有一個基本的保證。 例 16 （ 2020年全國卷 I 理科第 22 題）（ I）設函數(shù) f(x） =xlog2x+（ 1x） log2（ l－ x）（ 0＜ x＜ 1），求 f（ x）的最小值； （ II）設正數(shù) P1， P2， P3， … p2n滿足 P1+P2+P3+? +P2n＝ 1，證明 P1log2P1+ P2log2P2+ P3log2P3+… + P2nlog2P2n≥ n （答案：（ I） f（ x）的最小值為 1．（Ⅱ）用數(shù)學歸納法求證，證明略。） 評析：本題的背景是高等數(shù)學的下凸函數(shù)及琴生不等式，主 要考查考生整合函數(shù)、方程、不等式等基礎知識的能力及分析問題和解決問題的能力。 例 17（ 2020 年湖北卷理科笫 22 題）已知不等式 21 +31 +… +n1 ＞ 21 ［ log2n］，其中 n 為大于 2 的整數(shù)，［ log2n］表示不超過 log2n 的最大整數(shù)。設數(shù)列 {an}的各項為正，且滿足 a1＝ b（ b＞ 0）， an≤11???nnanna＝⒉ ⒊⒋?178。 （ I）證明 an＜][log2 2 2 nb b?,n＝⒊⒋⒌?； （Ⅱ）猜測數(shù)列 {an}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； 9 （ III）試確定一個正整數(shù) N，使得當 n＞ N 時，對任意 b＞ 0，都有 an51 （答案：（ I）證明略．（ II）有極限，且 0lim ??? nn a。（Ⅲ） N＝ 1024．） 評析：本題的背景是高等數(shù)學中發(fā)散的調和級數(shù)與高斯函數(shù)．巧妙的整合了對數(shù)、數(shù)列、函數(shù)、不等式、極限等基礎知識，尤其是用不等式 表示數(shù)列的遞推式，可謂匠心獨具。 高考命題講究“考查潛能”，高等數(shù)學無疑是“考查潛能”的沃土 。 但是，命題時也不宜將高等數(shù)學全盤托出，否則會有失高考的公平性，對中學數(shù)學的教學工作也會帶來誤導，因而要在初等數(shù)學與高等數(shù)學之間選擇恰當?shù)拿}點命題，才會給高考帶來積極的意義。 （ 7）變革考試理念，彰顯人文精神 傳統(tǒng)的考試過分關注甄別、遴選功能，人為制造緊張氛圍，使考場如戰(zhàn)場，“硝煙味”特別濃．針對這一弊端，教育部考試中心及有自主命題權的省、直轄市的數(shù)學命題改革重點凸現(xiàn)以下三個方面： 首先，著眼于考試理念的變革，力求 發(fā)揮考試的診斷、改善、激勵等正面導向作用，突出試題的人文價值功能。 例 18（ 2020 年重慶卷文科第 16 題）毛澤東在《送瘟神》中寫到“坐地日行八萬里”，巳知地球的體積大約是火星的 8 倍，則火星的大圓周長約＿＿萬里．（答案： 4） 評析：本題和地理、文學有一定的聯(lián)系，從科學的角度說明詩詞歌賦是有實際生活基礎的，體現(xiàn)了數(shù)學的人文精神。 例 19（ 2020 年上海卷文、理科第 11 題）教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現(xiàn)出解析幾何的本質是＿＿＿．（答案：用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質） 評析：本題一是有人文背景 ，二是體現(xiàn)了數(shù)學文化的新課標的理念． 其次，命題改革有意識地關注考生在情感、態(tài)度和價值觀方面的表現(xiàn)如 2020年和 2020 年在福建卷、天津卷中，均出現(xiàn)了一行“祝各位考生考試順利！”的文字，讓考生感到高考試題有選拔功能的同時，有了人情味，這有利于減輕考生的緊張情緒，多了一份關懷與和諧。 第三，在命題的立意上，從單純關注教師的教轉到對教和學的雙向關注，使試題在反映考生必要的水平結構和進一步學習所需要的能力結構基礎上，既能切實考查考生的實際水平，又能在單位時間內讓考生盡展所能。 例 20（ 2020年全國卷文科第 22 題 ）（ 1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖 1， 2），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等．請你設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖 l、圖 2 中，并作簡要說明； （ 2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小； （ 3）（附加題）如果給出的走一塊任意三角形紙片（如圖 3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖 3 中，并作簡要說明． ［答案：（ l）如圖（ l），沿正三角形＝邊中點連線折 起，可拼得一個正三棱錐；如圖（ 2），在正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊產(chǎn)長為三角形邊長的 41 ，有一組對角為直角．余下部分按虛線折起，可組成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底．（ 2） V 柱 ＞ V 錐 （ 3）如圖（ 3），分別連接三角形的內心與各頂點，得到三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直三棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可以拼接成直三棱柱的上 底，余下部分按虛線折起，成為一個直三棱柱，即可得到一個直三棱柱模型。］ 10 評析：本題將具有“智力游戲”色彩的拼圖問題移植于高考題中，人手容易、深入較難，在難度設置上，分三個層次逐步遞進，讓考生拾級而上，在探究，的同時體驗設計的智趣，呼應了數(shù)學課程改革的新理念，具備濃厚的研究性學習的味道，在第二、三個層次上，逼過開放性設問，鼓勵考生大膽探索、標新立異．在研究性學習已經(jīng)成為教改潮流的今天，倡導以試驗、研究的方法來處理幾何問題，考查考生的探究能力和空間想象能力，起到了“一箭雙雕”的作用，必將成為今后高考幾何命題 的新導向。另外，附加題重現(xiàn)高考試卷，充分體現(xiàn)了“以人為本”的考試理念，為能力較強的考生提供了展示自我的舞臺，代表了課程與評價改革的良好發(fā)展方向。這樣，考生在考場中不單是在接受考驗，同時也是一種自我展示，不僅能真切感受到數(shù)學的工具作用和人文價值，而且能體驗到探究之后成功的樂趣，增強進一步學習的動力和信心，從而達到以考促學的目的。 2020 年和 2020 年數(shù)學高考各地的試卷都較好地體現(xiàn)了基本題型與綜合題型的匹配，能力考查深度與教學實際的相關程度等問題，形成了較為合理的布局，發(fā)揮了試卷的整體效在內容上著重考查主干知識而不刻意追求知識體系的覆蓋面；在難度分布上，文科易、中、難題題分之比約為 5： 4： 1，理科約為 5： 3： 2，試卷難度一般在 ，并且難點分散，試卷往往只設置 3～ 4 個難點，即使壓軸題也采取“竹節(jié)式”命題的方式，設計了若干個遞進的層次。如 例 21（ 2020 年廣東卷第 20 題） A是由定義在［ 2， 4］上且滿足如下條件的函數(shù) ? （ x）組成的集合：①對任意 x∈ [l， 2]，都有 ? （ 2x）∈（ 1， 2）；②存在常數(shù) L（ 0＜ L＜ l），使得對 任意的 x1,x2∈［ 1，2］，都有丨 ? （ 2x1）－ ? (2x2）丨≤ L｜ x1 一 x2丨 （ I）設 ? （ x）＝ 31 x? ,x∈「 2,4］ ,證明： ? （ x）∈ A； （ II）設 ? （ x）∈ A，如果存在 x0∈（ 1， 2），使得 x0＝ ? （ 2x0），那么這樣的 x0 是唯一的； （Ⅲ）設 ? （ x）∈ A，任取 x1∈（ 1， 2） ,令 xn＋ l＝ ? （ 2xn） ,n＝ 1， 2，??，證明：給定正整數(shù) k，對任意的正整數(shù) p，成立不等式丨 xk+pxk|≤ LLk??1 1 ｜ x1x2｜（答案：略，） （ 8）強調數(shù)學特點，關注數(shù)學實質 考試大綱的說明重申數(shù)學學科的特點是高度的抽象性，結論的確定性和應用的廣泛性，并提出數(shù)學學科的特點應該成為高考數(shù)學命題的 基礎，在命題中應該充分體現(xiàn)這些特點，才能充分發(fā)揮高考數(shù)學的選拔功能。 ① 概念性強 數(shù)學是由概念命題所組成的邏輯系統(tǒng)，概念是基礎，數(shù)學當中每一個術語、符號和習慣用語都有著具體的內涵。這些特點反映在考試中就要求考生在解題的時候，要透徹理解概念的含義，弄清不同概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。 例 22 已知 f(x)= (3a1)x+4a,x1,是（ ∞， +∞）上的減函數(shù)，那么 a 的取值范圍是（ ） logax (A)（ 0， 1） (B)(0, 31 ) (C)[71 ， 31 ） （ D） [71 ， 1） 這是年北京卷的一道考題．給出了一個分段函數(shù)，在 x小于 1 的是個一次函數(shù)，而在 x大于等于 1的時候是一個以 a為底的對數(shù)函數(shù)，然后題目給出函數(shù)在負無窮到正無窮整個實數(shù)集上是減函數(shù)，求參數(shù) a 的取值范圍．毫無疑問，此題考查每個同學都應熟悉的單調函數(shù)的概念，這道題放在卷子的第 5 題的位置上，是一道容 易題，考生下來也沒有覺得這道題有什么難的地方．但沒有想到這道題的得分率不足 0． 5，相對難度接近于一道難題，這是不是反映出我們在教學中，概念教學有弱化的現(xiàn)象， 11 例 23 在數(shù)列｛ an｝中，若 a1， a2是正整數(shù)，且 an＝ {anlan2}， n＝ 3， 4， 5，?，則稱 {an}為“絕對差數(shù)列”。 （ 1）舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）； （ 2）若“絕對差數(shù)列”丨 an丨中， a20＝ 3， a21=0，數(shù)列｜ bn 丨滿足 bn＝ an＋ an+1+an+2,n=1,2,3… ，分別判斷當 n→∞時， an 與 bn 的極 限是否存在，如果存在，求出極限值； （ 3）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項． 此題一開始就提出了一個教材和大綱里沒有見過概念：絕對差數(shù)列，先給出了絕對差數(shù)列的定義，要求考生在理解這個定義的基礎上，舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”來討論他們無限變化的趨勢。最后再完成一個證明題，當然后面的兩個題，要求是比較高的，但就教學來講，這道題的題干和第一個問題是不是給我們一個啟示：學數(shù)學，思考數(shù)學問題，概念是非常重要的。 ② 充滿思辨性 這個特點源于數(shù)學的邏輯性，系統(tǒng)性和 抽象性．數(shù)學是思維型的學科，為了正確解答數(shù)學問題，要求考生具有一定的觀察基礎和推斷能力． 例 24 三個同學對問題“關于“的不等式 x2＋ 25＋ |x3－ 5x2 丨≥ ax在［ 1， 12］上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說：“把不等式變形為左邊含變量 x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”． 丙說：“把不等式兩邊看成關于 x的函數(shù)，做出函數(shù)圖像”。 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，可得 a 的取值范圍是＿＿＿， 這是上海卷的一道考題 ，這個題的情景設置不多見，提出問題之后，不是讓學生馬上做題，算出結論，而是給出了三種思路，讓考生去辨析。這一過程蘊含著怎樣才是正確的思考和解決問題的原則：轉化必須要保持與原來的問題等價；轉化要使問題變得越來越簡單，這三個思路中，甲是錯誤的，而丙雖然沒有錯誤，但是不可取．用這樣的情景設置的方式，強調了拿到題目以后，應該首先考慮怎樣選擇思路。 例 25 函數(shù) f(x)=?? ?191n |nx|的最小值為 ( ) (A) 190 (B)171 (C)90 (D)45 這是 一個難以與某一具體知識對上號的題目，題目的結構很簡單：這是一個 x的函數(shù)，而函數(shù)的解析式是 19 個絕對值的和，要求確定這個函數(shù)的最小值．這個題目對中學生來講，比較陌生，要求把握住求個函數(shù)的結構特點，然后通過簡化，建立一個模型，找出規(guī)律，最后解決問題不是讓學生機械照搬某種題型和固定的模式去解題。 ③ 量化突出 這里所說的量化，主要是要求學生在運算當中，考查對算理運算法則的理解程度、靈活運用的能力，以及準確嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。 例 26 已知向量 a≠ e， |e|=1，對任意 t∈ R，恒有丨 ate 丨≥丨 ae 丨 ,則（ ） （ A） a⊥ e (B) a⊥ (ae) (C) e⊥ (ae) (D) (a+e)⊥ (ae) 有些資料是這樣分析的：四個選項要求判斷向量之間的垂直，為了判斷向量之間的垂直關系，必須提供數(shù)量積為零的條件。但題目沒有數(shù)量積的已知條件，因此將這兩個向量長度的大小關系各自取平方，進而導出向量的數(shù)量積，這一思路，學生可以理解，但按照這個思路，后續(xù)的運算量就成了典型的“小題大做”．把握這個不等關系的實質，首先要理解 t 和向量 e 數(shù)乘的幾何意義，從而歸結為線外一點與直線上各點 的連線中，丨 a 一 e 丨最短，只有 a 一 e 才是向量 e所在直線的垂線．不能只從計算的角度去認識它，而要考慮它隱含的幾何特征，這個題的得分率很低．原因就是學生在看到這種題之后，覺得跟熟悉的題型不一樣，就不知道應該從什么地方下手。