幾類常見(jiàn)的不可數(shù)集合證明-wenkub.com
2024-08-29 13:37 本頁(yè)面
【正文】 Real collection。, )2()1( nkxxx kkk ?? 則 A 為可數(shù)集 . (8) 代數(shù)數(shù)的全體成一可數(shù)集 . 不可數(shù)集的性質(zhì)： (1) 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 . (2) 任意區(qū)間 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ,0,0, bababa 均具有連續(xù)基數(shù) c .（這里 ba? ） . (3) 設(shè) ,...,..., 21 nAAA 是一列互不相交的集合 ,它們的基數(shù)均為 c ,則它們的和集 的 基數(shù)也為 c . (4) 實(shí)數(shù)列全體 E∞的基數(shù)為 c . (5) n 維歐幾里得空間 nR 的基數(shù)為 c . (6) 設(shè) M 是任意的一個(gè)集合 ,它的所有子集作成新的集合 ? 則 ? ? M . (7) 若用 c 表示全體實(shí)數(shù)所成集合 R 的基數(shù) ,用 a 表示全體正整數(shù)所成集合N 的基數(shù) ,則 c ? a . (8) 設(shè)有 c 個(gè)（ c 表示連續(xù)基數(shù)）集的并集 ,若每個(gè)集的基數(shù)都是 c ,則其和集的基數(shù)也是 c . 2 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 實(shí)數(shù) 包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù) .其中無(wú)理數(shù)就是 無(wú)限不循環(huán)小數(shù) ,有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù) .通俗地認(rèn)為 ,包含所有 有理數(shù) 和無(wú)理數(shù)的集合就是 實(shí)數(shù) 集 . 18 世紀(jì) ,微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái) .但當(dāng)時(shí)的實(shí)數(shù)集并沒(méi)有精確的定義 .直到 1871 年 ,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義 .定義是由四組公理為基礎(chǔ)的： 加法公理 ； 乘法公理 ； 序公理 ； 完備公理 ； 符合以上四組公理的任何一個(gè)集合都叫做實(shí)數(shù)集 ,實(shí)數(shù)集的元素 就是 實(shí)數(shù) . 定理 全體實(shí)數(shù)所成之集合 R 是一個(gè)不可數(shù)集合 . 長(zhǎng)春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 證法一 用 反證法 證明 .因?yàn)閷?shí)數(shù)集合與 ? ?1,0 是有一一對(duì)應(yīng)的 ,故只需說(shuō)明? ?1,0 不可數(shù)就可以了 . 因?yàn)?f ： ? ?1,0 → R 是雙射函數(shù) ,令 S ={x |x ∈ R (0x 1)} ,若能證 S 是不可數(shù)集 ,則 R 也必為不可數(shù)集 . 假設(shè) S 是可數(shù)的 ,則 S 必可表示為 ： S ＝ { 1S , 2S ,…} ,其中 iS 是 ? ?1,0 區(qū)間的任意實(shí)數(shù) . 設(shè) iS ＝ .....0 321 yyy ,其中 iy ∈ ? ?9,...,2,1,0 ,設(shè) .......0 11312111 naaaaS ? , .......0 22322212 naaaaS ? , .......0 33332313 naaaaS ? , ???????? 其次 ,我們構(gòu)造一 個(gè)實(shí)數(shù) r = ....0 321 bbb 使 ．， 1121 ????? jjjjj aab ,....2,1?j . 這樣 ,r 與所有實(shí)數(shù) ,...,..., 21 nSSS 不同 ,這證明了 r ? S ,與假設(shè) 產(chǎn)生矛盾 ,因此 S 是不可數(shù)的 ,即 R 是不可數(shù)集 . 在第 二 種證明方法之前先來(lái)回顧一下閉區(qū)間套定義以及定理 . 定義 設(shè)有一閉區(qū)間列 ? ?? ?, nn ba 具有如下性質(zhì) : (1)? ? ? ? ；， ...21, 11 ?? ?? nbaba nnnn (2) ? ? 0lim ???? nnn ab 則稱這閉區(qū)間列 ? ?? ?, nn ba 為一個(gè)閉區(qū)間套 ,或簡(jiǎn)稱區(qū)間套 . 定理 若 ? ?? ?nn ba , 是一區(qū)間套 ,則存 在唯一的 ，R?? 使得 ?? ?na , ?nb ， ）（ ,...2,1?n ,即 ）（ ,...2,1??? nba nn ? . 下面我們利用 閉區(qū)間套 定義和定理來(lái)證明實(shí)數(shù)集合是不可數(shù)集合 . 長(zhǎng)春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 證法 二 用 閉區(qū)間套定理 證明 . 假設(shè) ??1,0 是 可數(shù) 集 ,則可設(shè) ??1,0 =? ?,...,..., 21 naaa 記 0I =??1,0 ,在 0I 內(nèi)作一閉區(qū)間 1I ,使其長(zhǎng)度 |1I |21 且 ?1a 1I ；然后又在 1I 內(nèi)作一閉區(qū)間 2I ,使得 | 2I |221且 2a ? 2I .一般說(shuō)來(lái)，設(shè)已經(jīng)作好了一個(gè)包含一個(gè)閉區(qū)間： 0I ? 1I ? ? ? nI , |iI |i21,ia ? iI ( ni ， ...21? ), 取 1?nI ? nI ,且滿足 | 1?nI |121?n, 1?na ? 1?nI .
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