【正文】 在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，Q和R的選擇應(yīng)該很據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行。圖619 仿真框圖子系統(tǒng)如下：圖620 子系統(tǒng)框圖運(yùn)行結(jié)果如圖621所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。階躍響應(yīng)曲線如圖618所示：圖618 階躍響應(yīng)曲線從圖618可知，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯改善，上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間以及超調(diào)量都滿足最初設(shè)計(jì)要求。Bc=B。0 0 n 0。階躍響應(yīng)如圖617所示圖617 m=4500、n=110時(shí)階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)m=4500，n=110時(shí)，系統(tǒng)的上升時(shí)間，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量，編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=4500。n=110圖615 m=4000。n=110圖611 m=110。n=60圖67 m=110。)結(jié)果為：k = p = e = + + 此時(shí)求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：K=其響應(yīng)曲線如圖64所示：圖64 m=n=1時(shí)階躍響應(yīng)曲線從圖64可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標(biāo)的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負(fù)值）；另一方面過渡時(shí)間和上升時(shí)間都很大，必須重新校正。legend(39。ylabel(39。)。r:39。[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。Cc=C。0 0 0 0]。編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=1。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖63所示，上圖是小車坐標(biāo)x的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度Φ的階躍響應(yīng)曲線，所以必須加入校正裝置。0 0 1 0]。 。0 0。輸出的被控量分別是小車的坐標(biāo)x和倒立單擺的垂直角度Φ。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)，R成為一個(gè)標(biāo)量數(shù)（一般可直接選R=1（3）Q的選擇不唯一。根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即：u*=R1BTPx=Kx式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（Riccati）代數(shù)方程，即：PA+ATP+PB1RBP+Q=0則最優(yōu)反饋增益K為：K=Q1BTP Q、R的選擇原則由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用u，除了求解ARE方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的。輸出量Φ的超調(diào)量小于20176。圖61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖其中小車的質(zhì)量為M=，倒立單擺的質(zhì)量為m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量u=F是施加在小車上的外力，四個(gè)狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo)x，x的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度Φ，Φ的一階導(dǎo)數(shù)。由于原系統(tǒng)不滿足動(dòng)態(tài)性能要求，希望主導(dǎo)極點(diǎn)自然不會(huì)在原系統(tǒng)的根軌跡上。所以超前校正裝置函數(shù)為：Gc(s)=1++ 設(shè)計(jì)總結(jié)當(dāng)性能指標(biāo)以時(shí)域特征量給出時(shí)，采用根軌跡法進(jìn)行校正比較方便。（2）校正裝置中極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響：增加開環(huán)極點(diǎn)，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在S平面向左移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞。用拖動(dòng)附加零極點(diǎn)的方法觀察復(fù)平面上的根軌跡，讓其根軌跡在阻尼范圍內(nèi)。 Gs=tf(num,den)。（8）設(shè)計(jì)超前網(wǎng)絡(luò)時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)期望的性能指標(biāo)確定系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的理想位置，然后通過選擇校正網(wǎng)絡(luò)的零、極點(diǎn)來改變根軌跡的形狀，使得理想的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于校正后的根軌跡上。（6）估計(jì)在期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益?？芍苯釉谄谕拈]環(huán)極點(diǎn)位置下方（或在頭兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的左側(cè)）增加一個(gè)相位超前網(wǎng)絡(luò)的實(shí)零點(diǎn)。根軌跡超前校正的主要步驟為：（1）依據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標(biāo)，求出主導(dǎo)極點(diǎn)的期望位置。單純增大K值將會(huì)使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復(fù)平面S的右半平面去。若期望主導(dǎo)極點(diǎn)在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對零、極點(diǎn)，使零點(diǎn)位置位于極點(diǎn)右側(cè)。相位滯后校正可以明顯地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但會(huì)使動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程變緩；而相位滯后超前校正則把兩者的特性結(jié)合起來，用于動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)。（3）PID控制通過積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應(yīng),是綜合了PI控制與PD控制長處并去除其短處的控制。Ti=。Td=。Td=。均不滿足已知條件。Td=。Td=。該環(huán)節(jié)產(chǎn)生的控制量與信號變化速率有關(guān)，因此對于信號無變化或者變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。for i=1:length(Td)Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0])。 PID控制Simulink建立的仿真模型為：圖410 PID控制的仿真建模將Kp和Ti的值固定，令Kp=50，Ti=G=tf(1,[1,2,25])。PI控制可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的誤差度。step(G_c),hold onend axis([0,20,0,2]) axis([0,12,0,])仿真結(jié)果如圖48所示：圖48 波形圖3將圖48放大圖49 波形圖3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析： Kp=50，隨著Ti值的加大，系統(tǒng)的超調(diào)量減小，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。 PI控制器PI控制器的傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)Simulink建立的仿真模型為：圖47 PI控制的仿真建模M文件：kp=50。p=[1:3000:6000]。（1）運(yùn)行程序：G=tf(1,[1,2,25])。但不可否認(rèn)PID也有其固有的缺點(diǎn)。 PID控制具有以下優(yōu)點(diǎn)（1）原理簡單，使用方便，PID參數(shù)Kp，Ki和Kd可以根據(jù)過程動(dòng)態(tài)特性變化，PID參數(shù)就可以重新進(jìn)行調(diào)整與設(shè)定。三種方法各有其特點(diǎn)，其共同點(diǎn)都是通過試驗(yàn)，然后按照工程經(jīng)驗(yàn)公式對控制器參數(shù)進(jìn)行整定。它主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過理論計(jì)算確定控制器參數(shù)。從頻域角度看，PID控制通過積分作用于系統(tǒng)的低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而微分作用于系統(tǒng)的中頻段，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。與PI控制器相比，PID控制器除了同樣具有提高系統(tǒng)穩(wěn)定性能的優(yōu)點(diǎn)外，還多提供了一個(gè)負(fù)實(shí)部零點(diǎn)。PI控制器在與被控對象串聯(lián)時(shí)，相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加了一個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，同時(shí)也增加了一個(gè)位于s左半平面的開環(huán)零點(diǎn)。對于單位反饋系統(tǒng)，0型系統(tǒng)響應(yīng)實(shí)際階躍信號的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益K近視成反比。 總體方案設(shè)計(jì)圖43閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖將控制器分別設(shè)計(jì)成P、PI、PID三種控制器，并比較觀察其各自特點(diǎn)。 振鈴現(xiàn)象的消除根據(jù)前面分析的結(jié)果，為了消除振鈴，我們將控制器設(shè)置為：Dz=()1z1則Simulink仿真程序如圖36所示：圖36 仿真程序此時(shí)我們觀察修正后的控制器在單位階躍輸入作用下的輸出控制量波形，如圖37所示，我們發(fā)現(xiàn)，控制器的輸出不再以接近2T的周期大幅度上下擺動(dòng)，振鈴現(xiàn)象被消除。,39。Dz=Dz1/(1Sz)。Sz=c2d(Ss,T,39。variable39。zoh39。inputdelay39。以N=2時(shí)為例，數(shù)字控制器的形式為：當(dāng)遠(yuǎn)小于T時(shí)，有嚴(yán)重的振鈴現(xiàn)象，產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的極點(diǎn)為式中的1+(1eT/T蟿)(z1+z2) ^( _故消除振鈴現(xiàn)象后，D(z)的形式為：Dz=(1eT/T蟿)(1eT/T1z1)K(1eT/T1)(1z1)(32eT/T蟿) 大林算法具體設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)大林控制器Gs=tf([1],[1,1],39。將D(z)的分母進(jìn)行分解可得：由上式，z=1處的極點(diǎn)不會(huì)引起振鈴現(xiàn)象。 （3）解決辦法：令數(shù)字控制器中產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的極點(diǎn)（左半平面上接近1的極點(diǎn)）的因子中的z=1，就可以消除振鈴現(xiàn)象。要求：用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)；在 Simulink 仿真環(huán)境畫出仿真框圖及得出仿真結(jié)果，畫出數(shù)字控制；繪制并分析數(shù)字控制器的振鈴現(xiàn)象；對振鈴現(xiàn)象進(jìn)行消除；得出仿真結(jié)果并進(jìn)行仿真分析；程序清單及簡要說明；撰寫設(shè)計(jì)報(bào)告（列出參考文獻(xiàn)，以及仿真結(jié)果及分析）。 然而，進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn)雖然在采樣時(shí)刻系統(tǒng)輸出與所跟蹤的參考輸入一致，但在兩個(gè)采樣時(shí)刻之間，系統(tǒng)的輸出存在著紋波或振蕩。Ge=subs(Ge,[b1,b2,b3,b4],B)。g5=subs(Ge,z,)1。g2=subs(diff(Gc,1),z,1)。numd=sym2poly(N1)dend=sym2poly(D1)運(yùn)行結(jié)果：numd =+47 * dend =+46 * simulink仿真：圖211 控制系統(tǒng)框圖圖212 子系統(tǒng)框圖圖213 參數(shù)選擇圖214 仿真波形圖單位速度輸入下無波紋的數(shù)字控制器M文件：syms z a0 b1 。 %解出Gc待定系數(shù)g4=subs(Ge,z,)1。 %初步定出Ge、Gc形式g1=subs(Gc,z,1)1。Dwz=Gc/Ge/Gz[N,D]=numden(simplify(Dwz))。[b1j,b2j,b3j,b4j]=solve(g3,g4,g5,g6)。 %解出Gc待定系數(shù)g3=subs(Ge,z,)1。 %初步定出Ge、Gc形式g1=subs(Gc,z,1)1。 %解出Ge待定系數(shù)Gz=*z^1*(1+*z^1)*(*z^1)*(*z^1)*(1+*z^1)/((1z^1)^2*(*z^1)*(*z^1)*(*z^1))Dz=Gc/Ge/Gz[N1,D1]=numden(simplify(Dz))。Gc=subs(Gc,[a0],a0j)。Gc=(z^1)*(1+*z^1)*a0。variable39。%連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)hz=c2d(hs,39。np=[1 9 14]。式（29）說明，無紋波最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)不僅應(yīng)為的多項(xiàng)式，而且應(yīng)包含G(z)的全部零點(diǎn)。如果整個(gè)系統(tǒng)以U(z)為輸出量，設(shè)這時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為。為此，必須改進(jìn)設(shè)計(jì)方法，使設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)滿足無紋波的條件。然而，如果進(jìn)一步用改進(jìn)的z變換法來研究所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題。式（24）表明了離散系統(tǒng)中，為了使過渡過程較快地結(jié)束應(yīng)符合的條件。在典型輸入信號作用下，經(jīng)過最少拍，使輸出量采樣時(shí)刻的數(shù)值能完全跟蹤參考輸入量的數(shù)值，跟蹤誤差為零的系統(tǒng)稱為最少拍系統(tǒng)。對滯后大的對象有很好的效果。PID控制的結(jié)構(gòu)比較簡單，但三個(gè)系數(shù)有著比較明顯的意義：比例控制其直接響應(yīng)與當(dāng)前的誤差信號，一旦發(fā)生誤差信號，則控制其立即發(fā)生作用以減少偏差，Kp的值增大則偏差將減小，然而這不是絕對的，考慮根軌跡分