【正文】 七、參考文獻(xiàn)[1] 曹承志 著. 《微型計(jì)算機(jī)控制新技術(shù)》 [2] 肖詩(shī)松 著.《計(jì)算機(jī)控制——基于MATLAB實(shí)現(xiàn)》 [3] 黃忠霖 著.《控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真實(shí)訓(xùn)》 [4] 胡壽松 著.《自動(dòng)控制原理》 64。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該規(guī)律的有效性與實(shí)用性，同時(shí)也顯示出了LQR控制器較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)性能。圖621 示波器運(yùn)行結(jié)果 設(shè)計(jì)總結(jié)通過(guò)對(duì)LQR設(shè)計(jì)方法中加權(quán)矩陣Q和R的選擇，不僅滿足了倒立擺系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，而且又就加權(quán)矩陣Q和R對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響進(jìn)行了研究與分析，找出了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與二者之間的選擇規(guī)律；當(dāng)Q不變而R減小時(shí)，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間與超調(diào)量減小，上升時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差增大；當(dāng)R不變而Q變大時(shí)，調(diào)整時(shí)間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時(shí)減小，但上升時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差卻同時(shí)增大。 調(diào)試Simulink仿真用Simulink進(jìn)行仿真，框圖如圖619所示。綜上所述，基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制，通過(guò)求解代數(shù)Riccati方程，得到的狀態(tài)反饋矩陣K，可以使系統(tǒng)的各種狀態(tài)獲得漸進(jìn)穩(wěn)定特性。%輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng)step(Ac,Bc,Cc,Dc)得到以下結(jié)果：，%；*10^16s。Cc=C。%求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài)[k,p,e]=lqr(A,B,Q,R)%求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程Ac=[(AB*k)]。0 0 0 0]。0 0 0 0。n=110。此時(shí)狀態(tài)反饋矩陣k =（ ）。n=110 圖616 m=4500。n=500 圖614 m=3000。n=500 圖612 m=1000。n=510 圖610 m=500。n=110 圖68 m=210。n=10 圖66 m=60。校正方法就是加大加權(quán)矩陣Q的值。擺桿傾角39。小車(chē)位移39。grid。響應(yīng)39。)。xlabel(39。Inverted Pendulum LQ Step Response39。,T,y2)。plot(T,y1,39。y1=Y(:,1)。U=ones(size(T))。Dc=D。Bc=B。R=[1]。0 0 n 0。n=1Q=[m 0 0 0。首先選擇Q=C鈥?*C，然后根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)。圖63 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線（2）線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣Q。%階躍響應(yīng)step(A,B,C,D,1,t)系統(tǒng)的特征值p = 0系統(tǒng)有一個(gè)位于右半平面的極點(diǎn)，故不穩(wěn)定。D=[0]。C=[1 0 0 0。0。B=[0。0 0 0 1。然后根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)情況與期望性能指標(biāo)之間的差距，確定校正手段，編程如下： %系統(tǒng)狀態(tài)方程A=[0 1 0 0。由以上數(shù)據(jù)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：（1）分析原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)。 詳細(xì)設(shè)計(jì)已知倒立擺模型為y=10000010xx桅桅+00u其中小車(chē)的質(zhì)量為M=，倒立單擺的質(zhì)量為m=，小車(chē)的摩擦系數(shù)為b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量u=F是施加在小車(chē)上的外力，四個(gè)狀態(tài)變量分別是小車(chē)的坐標(biāo)x，x的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度Φ，Φ的一階導(dǎo)數(shù)。這表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r(shí)，可以有多種Q值的選擇，其中總有一個(gè)對(duì)角線形式的Q。（2）通常選用Q和R為對(duì)角線矩陣，實(shí)際應(yīng)用中，通常將R值固定，然后改變Q的數(shù)值，最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過(guò)仿真或?qū)嶋H比較后得到。而Q、R選擇無(wú)一般規(guī)律可循，一般取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，常用的所謂試行錯(cuò)誤法，即選擇不同的Q、R代入計(jì)算比較結(jié)果而確定。圖62 控制框圖 基本理論知識(shí)設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：二次型性能指標(biāo)函數(shù)：J=120鈭?xTQx+uTRudt其中：加權(quán)陣Q和R是用來(lái)平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，Q是半正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，R是正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣。（）。輸出的被控量分別是小車(chē)的坐標(biāo)x和倒立單擺的垂直角度Φ。六、單級(jí)倒立擺的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)要求某倒立單擺系統(tǒng)如圖61所示，其狀態(tài)方程已知。使超前網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)落在原系統(tǒng)主導(dǎo)實(shí)數(shù)極點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)除外) 附近，以構(gòu)成偶極子，使已校正系統(tǒng)根軌跡形狀改變，向左移動(dòng)，以增大系統(tǒng)的阻尼和帶寬，并使希望主導(dǎo)極點(diǎn)落在已校正系統(tǒng)的根軌跡上，從而滿足性能指標(biāo)要求。串聯(lián)超前校正的基本出發(fā)點(diǎn)，是先設(shè)置一對(duì)能滿足性能指標(biāo)要求的共扼主導(dǎo)極點(diǎn)，稱(chēng)為希望主導(dǎo)極點(diǎn)。根軌跡法校正的優(yōu)點(diǎn)是根據(jù)根平面上閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布位置，可直接估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。圖53 校正系統(tǒng)的參數(shù)截圖圖54校正后系統(tǒng)的根軌跡圖、系統(tǒng)伯德圖及閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線 分析校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能圖55 校正后的階躍響應(yīng)曲線容易看出，超調(diào)量18% 20%，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間Ts = 。（3）校正裝置中零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響：增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在S平面向左移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善。（1）校正裝置中增益對(duì)系統(tǒng)性能的影響：可以改變開(kāi)環(huán)增益的大小，從而改善穩(wěn)態(tài)誤差。慢慢拖動(dòng)小方塊，觀察下方的阻尼比和自然頻率，直到滿足要求。 設(shè)計(jì)根軌跡校正器根據(jù)20%，則 根據(jù)ts=，則我們可以知道，要想使系統(tǒng)的根軌跡通過(guò)期望區(qū)域，必須使根軌跡向左彎曲，在S左半平面增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)可以使根軌跡向左彎曲，所以我們?cè)趯?shí)軸上增加一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，使得根軌跡向左彎曲。 G=feedback(Gs,1)。den=[1,2,0]。 詳細(xì)設(shè)計(jì) 建立校正前系統(tǒng)模型因?yàn)殚_(kāi)環(huán)比例系數(shù)Kv鈮?10(1/:s) ，得。（7）利用根軌跡設(shè)計(jì)相位超前網(wǎng)絡(luò)時(shí)，超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可表示為： Gcs=s+zs+p其中|z||p|。計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。利用校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的相角，使得系統(tǒng)在期望主導(dǎo)極點(diǎn)上滿足根軌跡的相角條件。（5）校正網(wǎng)絡(luò)極點(diǎn)的確定。（4）校正網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)的確定。（2）觀察期望的主導(dǎo)極點(diǎn)是否位于校正前的系統(tǒng)根軌跡上。此即相當(dāng)于相位滯后校正。為了使閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在原位置不動(dòng)，并滿足靜態(tài)指標(biāo)要求，則可以添加上一對(duì)偶極子，其極點(diǎn)在其零點(diǎn)的右側(cè)。如果系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)若在系統(tǒng)的根軌跡上，但是在該點(diǎn)的靜態(tài)特性不滿足要求，即對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K太小。如果適當(dāng)選擇零、極點(diǎn)的位置，就能夠使系統(tǒng)根軌跡通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)s1，并且使主導(dǎo)極點(diǎn)在s1點(diǎn)位置時(shí)的穩(wěn)態(tài)增益滿足要求。如果系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)往往不在系統(tǒng)的根軌跡上，由根軌跡的理論，添加上開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)可以使根軌跡曲線形狀改變。如果性能指標(biāo)以單位階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、超調(diào)量、阻尼系統(tǒng)、穩(wěn)態(tài)誤差等時(shí)域特征量給出時(shí)，一般采用根軌跡法校正。相位超前校正主要用于改善閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度影響較小。從頻域角度看，PID控制通過(guò)積分作用于系統(tǒng)的低頻段，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而微分作用于系統(tǒng)的中頻段，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。（2）PI控制器消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。Td=。step(G_c),hold on 圖413 波形圖5此時(shí)Ts=＜，σ%=%＜20%，此時(shí)Kp=55。Gc=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0])。Ti=。時(shí)G=tf(1,[1,2,25])。Ti=?？蛇m當(dāng)增大Kp，增大Ti。step(G_c),hold on圖412 波形圖4 調(diào)節(jié)時(shí)間 Ts=＞2s , σ%=（）/1=%＞20% 。Gc=tf(Kp*[Ti*Td,Ti,1]/Ti,[1,0])。Ti=。時(shí)， G=tf(1,[1,2,25])。Ti=。 按照得出的結(jié)論，調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)?Kp，Ti，Td值，使得階躍響應(yīng)曲線的超調(diào)量σ%20%,過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts2s。因此微分環(huán)節(jié)主要提高系統(tǒng)的反應(yīng)速度。G_c=feedback(G*Gc,1)。Td=[::]。 Kp=50。例如，流量調(diào)節(jié)系統(tǒng)。但是對(duì)于滯后較大的對(duì)象，比例積分調(diào)節(jié)太慢，效果不好。Ti越小，積分速度越快，積分作用就越強(qiáng)，系統(tǒng)震蕩次數(shù)較多。相反，當(dāng)Ti的值逐漸減小時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快。G_c=feedback(G*Gc,1)。Ti=[1:3:10]。隨著Kp增大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差減小，調(diào)節(jié)應(yīng)精度越高，但是系統(tǒng)容易產(chǎn)生超調(diào)，并且加大Kp只能減小穩(wěn)態(tài)誤差，卻不能消除穩(wěn)態(tài)誤差，其缺點(diǎn)是存在靜差，主要適用于負(fù)荷變化不顯著，工藝指標(biāo)要求不高的對(duì)象。for i=1:length(p)G_c=feedback(p(i)*G,1)。step(G_c),hold onEnd運(yùn)行結(jié)果：圖45波形圖1（2）運(yùn)行程序：G=tf(1,[1,2,25])。p=[::1]。即：在PID控制中，令Ti→無(wú)窮，Td→0。PID在控制非線性、時(shí)變、偶合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不缺點(diǎn)的復(fù)雜過(guò)程時(shí)，效果不是太好；最主要的是：如果PID控制器不能控制復(fù)雜過(guò)程，無(wú)論怎么調(diào)參數(shù)作用都不大。（3）魯棒性強(qiáng)，即其控制品質(zhì)對(duì)被控對(duì)象特性的變化不太敏感。（2）適應(yīng)性強(qiáng)，按PID控制規(guī)律進(jìn)行工作的控制器早已商品化，即使目前最新式的過(guò)程控制計(jì)算機(jī)，其基本控制功能也仍然是PID控制。利用該方法進(jìn)行 PID控制器參數(shù)的整定步驟如下：(1)首先預(yù)選擇一個(gè)足夠短的采樣周期讓系統(tǒng)工作；(2)僅加入比例控制環(huán)節(jié)，直到系統(tǒng)對(duì)輸入的階躍響應(yīng)出現(xiàn)臨界振蕩，記下這時(shí)的比例放大系數(shù)和臨界振蕩周期；(3)在一定的控制度下通過(guò)公式計(jì)算得到PID控制器的參數(shù)。但無(wú)論采用哪一種方法所得到的控制器參數(shù)，都需要在實(shí)際運(yùn)行中進(jìn)行最后調(diào)整與完善。PID控制器參數(shù)的工程整定方法，主要有臨界比例法、反應(yīng)曲線法和衰減法。這種方法所得到的計(jì)算數(shù)據(jù)未必可以直接用，還必須通過(guò)工程實(shí)際進(jìn)行調(diào)整和修改。PID控制器參數(shù)整定的方法很多，概括起來(lái)有兩大類(lèi)：一是理論計(jì)算整定法。PID控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。PID控制通過(guò)積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應(yīng)，是綜合了PI控制與PD控制長(zhǎng)處并去除其短處的控制。因此在提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)方面提供了很大的優(yōu)越性。PI控制器與被控對(duì)象串聯(lián)連接時(shí)，可以使系統(tǒng)的型別提高一級(jí)，而且還提供了兩個(gè)負(fù)實(shí)部的零點(diǎn)。位于原點(diǎn)的極點(diǎn)可以提高系統(tǒng)的型別，以消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而增加的負(fù)實(shí)部零點(diǎn)則可減小系統(tǒng)的阻尼程度，PI控制器通常用來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。 比例積分(PI)控制比例積分(PI)控制具有比例加積分控制規(guī)律的控制稱(chēng)為比例積分控制器，即PI控制，PI控制的傳遞函數(shù)為：其中，Kp 為比例系數(shù)，Ti稱(chēng)為積分時(shí)間常