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【正文】 多，更相減損， 求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯為： ：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2 約簡；若不是，執(zhí) （ 1） 行第二步。 ：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減 （ 2） 小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 例 2 用更相減損術(shù)求 98 與 63 的最大公約數(shù) . 分 析： （略） 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別： （ 1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主， 計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少， 特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別 較明顯。 （ 2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為 0 則得到，而更相減損術(shù) 則以減數(shù)與差相等而得到 秦九韶算法與排序 秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an1xn1+….+a1x+a0 求值問題 f(x)=anxn+an1xn1+….+a1x+a0 =( anxn1+an1xn2+….+a1)x+a0 =(( anxn2+an1xn3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an 1)x+an2)x+...+a1)x+a0 求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即 v1=anx+an1 然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即 v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 ...... vn=vn1x+a0、 這樣，把 n 次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求 n 個一次多項式的值的問題。 兩種排序 方法 、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序 直接插入排序 基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以 后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較， 確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置． 將該位置 以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中． （由于算法簡單，可 以舉例說明） 冒泡排序 基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù) ,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比較第 1 個數(shù)和第 2 個數(shù) ,大數(shù)放前 ,小數(shù)放后 .然后比較第 2 個數(shù)和第 3 個數(shù) ......直到比 較最后兩個數(shù) .第一趟 結(jié)束 ,最小的一定沉到最后 .重復(fù)上過程 ,仍從第 1 個數(shù)開始 ,到最后第 2 個數(shù) ...... 由于在 排序過程中總是大數(shù)往前 ,小數(shù)往后 ,相當(dāng)氣泡上升 ,所以叫冒泡排序 . 進位制 概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù) 概念：進位制 字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為 n，即可稱 n 進位制，簡稱 n 進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制， 通常使用 10 個阿拉伯?dāng)?shù)字 09 進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表 示。比如：十進數(shù) 57，可以用二進制表示為 111001，也可以用八進制表示為 7用十六進 制表示為 39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。 一般地，若 k 是一個大于一的整數(shù)，那么以 k 19 為基數(shù)的 k 進制可以表示為： an an ?1...a1a0( k ) (0 an k , 0 ≤ an ?1 ,..., a1 , a0 k ) ， 而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示 ,如 111001(2)表示二進制數(shù) ,34(5)表示 5 進 制數(shù) 第二章 簡單隨機抽樣 統(tǒng)計 1．總體和樣本 總體：在統(tǒng)計學(xué)中 , 把研究對象的全體叫做總體． 個體：把每個研究對象叫做個體． 總體容量：把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量． 為了研究總體 的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分： 研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量。 ．． ．．．． 2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨 機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等） ，樣本的 每 個單位完全獨立， 彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。 簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基 礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。 3．簡單隨機抽樣常用的方法： （ 1）抽簽法； ⑵ 隨機數(shù)表法； ⑶ 計算機模擬法；⑷ 使用統(tǒng)計軟件直接抽取。 在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中， 主要考慮： ①總體變異情況； ② 允許誤差范圍； ③ 概率保證程度。 4．抽簽法 : （ 1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號； （ 2）準備抽簽的工具，實施抽簽 ， ， ， （ 3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查 例：請調(diào)查 你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。 5．隨機數(shù)表法： 例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取 10 位同學(xué)參加某項活動。 系統(tǒng)抽樣 1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣） ： 把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。 第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。 K（抽樣距離） =N（總體規(guī)模） /n（樣本規(guī)模） 前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機的，即不存在某種與研究 變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的 特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距 離重合。 2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低， 實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單 元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。 分層抽樣 1．分層抽樣（類型抽樣） ： 先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危? 然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦 法抽取一個子樣本， 最后， 將 這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。 兩種方法： 1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。 2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最 后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。 2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體 中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。 分層標準： （ 1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。 （ 2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間 異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分 層變量。 （ 3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。 3．分層的比例問題： （ 1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取 子樣本的方法。 （ 2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采 用該方法， 主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。 如果要用樣本資 料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù) 恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。 用 樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 本均值： x = x1 + x 2 + L + x n n ．樣本標準差： s = s2 = ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 n 3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣 本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。 雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差 20 并不是總體的真正的分布、 均值和標準差，而只是一個估計，但這種 估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時， 它們確實反映了總體的信息。 4． （ 1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變 （ 2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù) k，標準差變?yōu)樵瓉淼? k 倍 （ 3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間 ( x ? 3s, x + 3s ) 的應(yīng)用； “去掉一個最高分，去掉一個最低分 ”中的科學(xué)道理 兩個變量的線性相關(guān) 概念 : （ 1）回歸直線方程 （ 2）回歸系數(shù) 2．最小二乘法 3．直線回歸方程的應(yīng)用 （ 1）描述 兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存 的數(shù)量關(guān)系 （ 2）利用回歸方程進行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量 x）代入回歸方程對預(yù)報量（即 因變量 Y）進行估計，即可得到個體 Y 值的容許區(qū)間。 （ 3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定 Y 值的變化，通過控制 x 的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控 制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中 NO2 的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可 通過控制汽車流量來控制空氣中 NO2 的濃度。 4．應(yīng)用直線回歸的注意事項 （ 1）做回歸分析要有實際意義； （ 2）回歸分析前 ,最好先作出散 點圖； （ 3）回歸直線不要外延。 第三章 — 隨機事件的概率及概率的意義 基本概念： 基本概念： 概 率 （ 1）必然事件：在條件 S 下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S 的必然事件； （ 2）不可能事件：在條件 S 下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S 的不可能事件； （ 3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件 S 的確定事件； （ 4）隨機事件：在條件 S 下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件 S