勾股定理證明方法精選-資料下載頁
2024-11-16 04:32本頁面
【正文】 拉斯的證明方法（相傳）：一說采用拼圖法，一說采用定理法。做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個正方形。從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等。a2+b2+41/2ab = c2+41/2ab，整理即可得到。定理法就是幾何原本當中的證法：設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。 中國《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》當中都有相關(guān)問題的記載。周髀算經(jīng)的證明方法：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩?！薄跃氐膬蓷l邊畫正方形（勾方、股方），根據(jù)矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環(huán)繞復制形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方 三個正方形。驗算勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積后為弦方，再是大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積后為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等于 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。趙爽弦圖或許是中國人最著名的一種證法。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為ba，則面積為（ba）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（ba）2 = c2?；喓蟊憧傻茫篴2 + b2= c2亦即：c=√（a2 + b2）可見，中國古人主要采取拼圖法進行證明。后來美國總統(tǒng)加菲爾德也曾采用拼圖法，利用面積巧妙的證明了勾股定理，他用了兩個全等的直角三角形拼成一個梯形，利用面積法進行證明，非常巧妙。 其他方法最快：射影定理法，利用相似形來證明。面積思想：利用三角形五心的性質(zhì)，利用面積來證明。綜上所述，勾股定理的證明是人類智慧的結(jié)晶。
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