平面向量基本定理(教學設計)-資料下載頁
2024-11-15 04:09本頁面
【正文】 邊是三角形這個數(shù)學對象的三個類似于向量的“基底”的元認知，明確有關三角形（忽略了位置）的問題均可以轉化為關于三角形的三條邊的問題。希望能將問題1中“事物元分解”的觀點遷移到數(shù)學對象的認識中來，并由此引出向量的分解與基底表示的探討。師生活動：讓學生思考討論，教師幫助學生總結出結論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構成三角形的要素（元），而三角形是三元對象”。任何數(shù)學對象都有確定它的基本要素（元），可以通過探究如何用這些要素表示數(shù)學對象，達到理解并把握這些數(shù)學對象的目的。問題3：取一個與數(shù)軸方向相同的向量記為a，那么與數(shù)軸平行的所有向量與向量a有什么關系？意圖：回顧共線向量定理，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對“一元數(shù)學對象”的認識，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。師生活動：引導學生回顧共線向量定理，教師重新解析共線向量定理的意義與作用。問題4：取一個與數(shù)軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？ 意圖：明確任意一個方向上的全體向量均構成“一維向量空間”，為探究選取兩個不同方向的向量作平面向量的基底作準備。師生活動：學生思考問題4與問題3的同異點與聯(lián)系，教師解析這個問題的意義與作用。問題5：對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個力？意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。師生活動：學生說，教師引導并表述結論。問題6：取一個與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來嗎？意圖：得出平面向量基本定理的內(nèi)容。師生活動：教師引導，學生獨立探究，教師在學生的探究所獲得的結論的基礎上，總結出平面向量基本定理。問題7：利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？如圖在中, , 與相交于, 求證:.解析：設向量的終點共線，故有，則，同時，由三個。所以，從而所以。意圖：這個問題是一個相當簡單的問題，用相似三角形之間的比例關系就可以解決。這里的目的，是以這個熟悉而且簡單的問題，讓學生感受平面向量基本定理的重要作用，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。師生活動：教師啟發(fā)引導學生思考，給出解決這一問題的嚴謹過程，給學生一個利用向量解決問題的示范。教師引導學生總結上述解決問題的方法的步驟，一方面使學生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數(shù)量及其運算的引進，使得我們的算法更容易表達和操作了；另一方面為今后學習算法留下案例，引導學生從算法的角度思考并解決問題。此處要再配一些題目，訓練學生以學會用基底表示非基底向量。問題8：如果一個問題中沒有向量（結合問題7中的平面幾何問題考慮），但可以考慮用向量來解決它，你會按怎樣的步驟來實現(xiàn)？意圖：加深對平面向量基本定理的理解，將向量方法總結為一個算法。師生活動：學生先思考，讓學生發(fā)表意見，教師總結出向量方法的算法步驟。問題9：你能結合問題問題2與平面向量基本定理，談談你的認識嗎？ 意圖：進行本節(jié)課的小結。師生活動：學生先談，教師給出總結：世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個示范，它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們關注更多的是基底是什么，如何將有關向量用基底表示出來。當向量用基底表示后，一個向量與其它向量的區(qū)別就在于基底前的系數(shù)的區(qū)別，這使問題中的各種關系在轉化為向量間的關系后，又進一步地轉化為有序數(shù)組之間的關系，從而可以利用數(shù)量的運算來研究問題，使問題的解決更容易，更徹底。七、評價設計：1．如圖所示，D、E、F分別是的重心，請將有什么關系？ 的邊BC、CA、AB的中點，G是表示出來，并探究、之間、用、2．請用向量的方法，探究三角形內(nèi)部的其它一些特殊點的性質
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