第六講勾股定理及其證明-資料下載頁
2024-11-05 01:47本頁面
【正文】 初二十四班秦煜暄第五篇：勾股定理證明方法勾股定理證明方法勾股定理的種證明方法(部分)【證法1】(梅文鼎證明)做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，使D、E、.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90176。，∴∠BED+∠GEF=90176。，∴∠BEG=180186。―90186。=∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90186。.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=∠CBD=∵∠BDE=90186。，∠BCp=90186。，BC=BD=a.∴，則,∴.【證法2】(項明達證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba)，使E、A、‖BC，⊥pQ，垂足為M。再過點F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90186。，Qp‖BC，∴∠MpC=90186。，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90186。，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90186。.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90186。，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90186。，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90186。，∠BCA=90186。，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba)，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DFDE=ba，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90186。，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90186。,∴∠ABG+∠CBJ=90186。,∵∠ABC=90186。,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積∴，勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。證明這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級數(shù))來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。
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