【正文】 用思路。已經學過的證明兩直線垂直的方法有如下二個：（1）兩直線垂直的定義（2）一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。（即證明兩條直線的夾角等于90o而得到。）例如圖，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求證：CD⊥AB。分析：這是一個與例14同樣結構的圖形，但證明的目標卻是兩條直線垂直。證明CD⊥AB，根據“一條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條?！庇钟捎谝阎獥l件EF⊥AB，只要證明EF//CD，要證EF//CD，結合圖形，只要證明∠2=∠DCB，因為∠1=∠2，只需證明∠DCB=∠1，而∠DCB與∠1是一對內錯角，因而根據平行線的性質，就需證明DG//BC，要證明DG//BC根據平行線的判定方法只需證明∠3=∠B，而這正是題設給出的條件，整個推理過程經過以下幾個層次：∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2（1）平行線判定（2）平行線性質CD⊥AB（3）平行線判定性質（4）垂直定義證明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠1=∠DCB（兩直線平行，內錯角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代換），∴DC//EF（同位角相等，兩直線平行），有括號部分的五步也可以用以下證法：接DC//EF（同位角相等，兩直線平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。）已經學過的證明三點共線的方法在前面的幾講中已分析過，若證明E、O、F三點共線，通常采用∠EOF=180o，利用平角的定義完成三點共線證明。此方法不再舉例。五、一題多解。例已知如圖，∠BED=∠B+∠D。求證：AB//CD。法（一）分析：要證明AB//CD，從題設中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在“三線八角”，又不存在與AB、CD同時平行的第三條直線或與AB、CD同時垂直的直線，這樣就無法利用平行線公理的推理或平行線的判定方法來證明兩條直線平行。能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和AB、CD中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到AB//CD。根據平行公理，經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣的直線是存在的。接下來的問題是：過哪一點作這條平行線，考慮題設中的已知條件，三個角的關系圍繞著E點展開的，因而選擇E點作AB的平行線是較為理想的位置。證明：過點E作EF//AB，∴∠B=∠1（兩直線平行，內錯角相等），∵∠BED=∠1+∠2（全量等于部分之和），∴∠2=∠BED∠1（等式性質），又∵∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠D=∠BED∠B（等式性質）∴∠2=∠D（等量代換）∴EF//CD（內錯角相等，兩直線平行），∵EF//AB（作圖），∴AB//CD（平行于同一直線的兩直線平行）。說明：在光憑題設條件無法直接證得結論時，在圖中添置新的線，以構成一個條件充分的圖形，從而得出所求證的結論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫圖時，輔助線用虛線畫出。法（二）分析：如果在E點的另一側添置AB的平行線（如圖），同樣可以憑此證得結論，但是由于所取的角的位置不同，推理的依據過程也有所不同。證明：過點E作EF//AB（如圖），∴∠B+∠1=180o（兩直線平行，同旁內角互補），∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定義），∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代換），∴∠D+∠2=360o（∠B+∠1）（等式性質）=360o180o（等量代換）=180o∴EF//CD（同旁內角互補，兩直線平行），∵EF//AB（作圖），∴AB//CD（平行于同一直線的兩條直線平行）。注意：在添置輔助線EF時，只能過E點作直線EF平行于直線AB、CD中的一條，而不能同時平行于AB和CD。從另一個方面考慮這個命題，仍然是這個圖形如果我們交換題設和結論部分：即已知AB//CD，能否得到∠BED=∠B+∠D的結論，仍然像例16法（一）那樣添置AB的平行線EF，可得到∠B=∠BEF，又由于AB//CD，則EF//CD。于是又有∠D=∠DEF，很顯然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED?？芍?，交換原命題的題設和結論部分，仍然得到一個真命題。北 京 四 中池塘中的水浮蓮有一種水生植物水浮蓮，生長速度很快，每晝夜能長一個新的水浮蓮。就是說，一晝夜能一變二，兩晝夜后，就成4棵，這樣一天一天地增多。有一個小的池塘，放進1棵水浮蓮，20天后，就長滿了整個池塘。如果開始時放進2棵水浮蓮，幾天可以長滿池塘？是10天嗎？想一想，你會得出正確答案的！答案：19天．因為水浮蓮的繁殖速度是經過一天，就一變二，放進1棵，第二天就變成了2棵?，F(xiàn)在第一天放進2棵，就相當于放1棵經過一晝夜繁殖后池塘中的棵數。經過19天后，池溏也同樣滿了。放進1棵到池塘，其生長狀況是：1，2，4，8，16，32，64，…，放進2棵后的生長狀況是2，4，8，16，32，64，128，…，從比較可以看出，放進2棵，只相當于提早了一天。北 京 四 中平行線的性質考點掃描:會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補等性質進行推理和計算．名師精講:平行線的性質是指在兩條直線平行的前提條件下，能夠得到的與圖形有關的位置及數量關系．平行線的性質有：（1）平行線永遠不相交（定義）；（2）兩直線平行，同位角相等（性質公理）；（3）兩直線平行，內錯角相等（性質定理1）；（4）兩直線平行，同旁內角互補（性質定理2）．平行線的判定和平行線的性質不能混淆，應分清定理（或公理）的條件結論：（1）判定定理說的是滿足了什么條件（性質）的兩條直線是互相平行的．（2）性質定理說的是如果兩條直線平行，它具有什么性質．由此可見，判定定理與性質定理是因果關系倒置的兩類定理（稱為“互逆”定理）．中考典例:1．（北京海淀區(qū)）已知：如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110176。，則∠ECD的度數等于（）A、110176。B、70176。C、55176。D、35176?？键c：平行線的性質，角平分線評析：因為∠A與∠ACD是同旁內角，又AB∥CD，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，可知∠A+∠ACD=180176。．當∠A＝110176。時，∠ACD=70176。．又CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35176。，故應選D．2．（福建福州）如圖，已知：l1//l2，∠1=100176。，則∠2=．考點：平行線的性質評析：∠1與∠3是同位角，根據“兩直線平行，同位角相等”的性質：可知∠1=∠3=100176。．又∠2與∠3是鄰補角，所以∠2=180176。–100176。=80176。真題專練:1．（山西?。┤鐖D，直線a、b被直線c所截，且a//b，若∠1=118176。，則∠2的度數為_________．⑴2．（龍巖市）如圖AB∥CD，若∠ACD=69176。，則∠CAB= __________3．（蘇州市）如圖AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，ED平分∠BEF, 若∠1=72176。，則∠2=_______（3）4．（仙桃市）如圖直線L1∥LL3分別與L1，L2相交,則∠1與∠2的關系為（）（4）A、∠1=∠B、∠1+∠2=180176。C、∠1+∠2=90176。D、∠1+∠2=360176。5．（鎮(zhèn)江市）如圖l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 則∠α等于（）A：60176。B：90176。C：120176。D：150176。6．（臨沂市）如圖AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3=（）A、180176。B、360176。C、540176。D、720176。7．（呼和浩特市）如圖DE∥BC，EF∥AB，圖中與∠BFE互補的角共有（A、3個B、2個C、5個D、4個答案： 62176。111176。54176。BC）B（提示：過E作EF∥AB（或連結AC）利用平行線間的同旁內角互補可知∠1+∠AEF=180176?！?+∠CEF=180176。∴∠1+∠2+∠3=360176。；D（提示：圖中∠∠∠∠4都與∠BFE互補）．