階段性測試題9-資料下載頁
2025-11-29 07:11本頁面
【導讀】2．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±3x，焦點坐標為，(4,0)，則雙曲線方程為。則ba＝3且a2＋b2＝16，解得a2＝4，b2＝12.＝3x，即3x－y＝0，若直線不經(jīng)過原點，在設直線方程為xa＋ya＝1，即x＋y＝a，把點P(1,3). ∴曲線表示雙曲線，又∵25＋9－k＝c2，∴焦距相等．選A.點的坐標為，代入雙曲線方程得1a2－4＝1，所以a2＝15，c2＝15＋1＝65，e2＝c. P到準線的距離為PB，則PB＝l1：4x－3y＋6＝0的距離為PA，＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，8．以O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個焦點的橢圓上存在一個點M，滿足|MF1→|＝2|MO→|＝2|MF2→。＝252－1＝46，所以四邊形的面積為S＝2S△ABC＝2×12×|AC|×|BM|＝2×12×10×26＝。[解析]如圖S四邊形PACB＝S△PCA＋S△PCB＝2S△PCA＝12×|PA|×|AC|＝|PA|，所以四邊形PACB. C(1,1)到直線l：3x－4y＋11＝0的最短距離|PC|min＝|3－4＋11|5＝2，所以|PA|＝3，即四邊形
【正文】 0，－ 2)， F2(0,2)的距離之和為 8， ∴ 軌跡 C為以 F1， F2為焦點的橢圓， c＝ 2,2a＝ 8， a＝ 4， ∴ b＝ 2 x212＋y216＝ 1. 方法二：由題意知 x2＋ ?y＋ 2?2＋ x2＋ ?y－ 2?2＝ 8， 移項得 x2＋ ?y＋ 2?2＝ 8－ x2＋ ?y－ 2?2， 兩邊平方，得 x2＋ (y＋ 2)2 ＝ x2＋ (y－ 2)2－ 16 x2＋ ?y－ 2?2＋ 64， 整理得 2 x2＋ ?y－ 2?2＝ 8－ y， 兩邊平方得 4[x2＋ (y－ 2)2]＝ (8－ y)2， 展開，整理得 x212＋y216＝ 1. (2)∵ l過 y軸上的點 (0,3)，若直線 l是 y軸，則 A， B兩點是橢圓的頂點， ∵ OP→ ＝ OA→ ＋ OB→ ＝ 0， ∴ P與 O重合，與四邊形 OAPB是矩形矛盾， ∴ 直 線 l的斜率存在 ． 設 l方程為 y＝ kx＋ 3， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由????? y＝ kx＋ 3，x212＋y216＝ 1， 消去 y得 (4＋ 3k2)x2＋ 18kx－ 21＝ 0， 此時， Δ＝ (18k)2－ 4(4＋ 3k2)(－ 21)0恒成立， 且 x1＋ x2＝－ 18k4＋ 3k2， x1x2＝－ 214＋ 3k2， ∵ OP→ ＝ OA→ ＋ OB→ ， ∴ 四邊形 OAPB是平行四邊形 ． 若存在直線 l，使得四邊形 OAPB是矩形，則 OA⊥ OB， 即 OA→ OB→ ＝ 0， ∵ OA→ ＝ (x1， y1)， OB→ ＝ (x2， y2)， ∴ OA→ OB→ ＝ x1x2＋ y1y2＝ 0， 即 (1＋ k2)x1x2＋ 3k(x1＋ x2)＋ 9＝ 0， (1＋ k2)(－ 214＋ 3k2)＋ 3k(－ 18k4＋ 3k2)＋ 9＝ 0， 解得 k2＝ 516，則 k＝ 177。 54 . ∴ 存在直線 l： y＝ 177。 54 x＋ 3，使得四邊形 OAPB是矩形 ． 21． (本小題滿分 14分 )在平面直角坐標系 xOy中 ， 已知橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)的離心率 e＝ 23， 且橢圓 C上的點到 Q(0,2)的距離的最大值為 3. (1)求橢圓 C的方程 ； (2)在橢圓 C上 ， 是否存在點 M(m， n)， 使得直線 l： mx＋ ny＝ 1 與圓 O： x2＋ y2＝ 1相交于不同的兩點 A， B， 且 △ OAB 的面積最大 ？ 若存在 ， 求出點 M 的坐標及相對應的 △ OAB的面積 ； 若不存在 ， 請說明理由 ． [解析 ] (1)因為 e＝ 23＝ ca＝ a2－ b2a ， 所以 a2＝ 3b2，即橢圓 C的方程可寫為 x23b2＋y2b2＝ 1. 設 P(x， y)為橢圓 C上任意給定的一點， |PQ|2＝ x2＋ (y－ 2)2＝－ 2(y＋ 1)2＋ 6＋ 3b2≤ 6＋ 3b2， y∈ [－ b， b]， 由題設知存在點 P1滿足 |P1Q|＝ 3， 則 9＝ |P1Q|2≤ 6＋ 3b2，所以 b≥ 1. 當 b≥ 1時，由于 y＝－ 1∈ [－ b， b]， 此時 |PQ|2取得最大值 6＋ 3b2， 所以 6＋ 3b2＝ 9? b2＝ 1， a2＝ 3. 故所求橢圓 C的方程為 x23＋ y2＝ 1. (2)存在點 M滿足要求，使 △ OAB的面積最大 ． 假設存在滿足條件的點 M，因為直線 l： mx＋ ny＝ 1與圓 O： x2＋ y2＝ 1相交于 不同的兩點 A， B，則圓心 O到 l的距離 d＝ 1m2＋ n21. 因為點 M(m， n)在橢圓 C上，所以 m23 ＋ n2＝ 1m2＋ n2，于是 0m2≤ 3. 因為 |AB|＝ 2 1－ d2＝ 2 m2＋ n2－ 1m2＋ n2 ， 所以 S△ OAB＝ 12| AB|d＝ m2＋ n2－ 1m2＋ n2 ＝23|m|1＋ 23m2≤23|m|2 123m2＝ 12 當且僅當 1＝ 23m2時等號成立，所以 m2＝ 32∈ (0,3] 因此當 m＝ 177。 62 ， n＝ 177。 22 時等號成立， 所以滿足要求的點 M的坐標為 ( 62 ， 22 )， ( 62 ，－ 22 )， (－ 62 ， 22 )或 (－ 62 ，－ 22 )，此時對應的三角形的面積均達到最大值 12.
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