【正文】 y2＝ 4x得 k2x2－ 2(k2＋ 2)x＋ k2＝ 0. 已知 A(xA， yA)，設(shè) B(xB， yB)， 則 xA＋ xB＝ 2?k2＋ 2?k2 ， xAxB＝ 1. 由拋物線的性質(zhì)知 AB＝ xA＋ xB＋ 2＝ 4＋ 4k2＝ 163 ， 得 k＝ 177。 54 x＋ 3，使得四邊形 OAPB是矩形 ． 21． (本小題滿分 14分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ， 已知橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)的離心率 e＝ 23， 且橢圓 C上的點到 Q(0,2)的距離的最大值為 3. (1)求橢圓 C的方程 ； (2)在橢圓 C上 ， 是否存在點 M(m， n)， 使得直線 l： mx＋ ny＝ 1 與圓 O： x2＋ y2＝ 1相交于不同的兩點 A， B， 且 △ OAB 的面積最大 ？ 若存在 ， 求出點 M 的坐標(biāo)及相對應(yīng)的 △ OAB的面積 ； 若不存在 ， 請說明理由 ． [解析 ] (1)因為 e＝ 23＝ ca＝ a2－ b2a ， 所以 a2＝ 3b2，即橢圓 C的方程可寫為 x23b2＋y2b2＝ 1. 設(shè) P(x， y)為橢圓 C上任意給定的一點， |PQ|2＝ x2＋ (y－ 2)2＝－ 2(y＋ 1)2＋ 6＋ 3b2≤ 6＋ 3b2， y∈ [－ b， b]， 由題設(shè)知存在點 P1滿足 |P1Q|＝ 3， 則 9＝ |P1Q|2≤ 6＋ 3b2，所以 b≥ 1. 當(dāng) b≥ 1時，由于 y＝－ 1∈ [－ b， b]， 此時 |PQ|2取得最大值 6＋ 3b2， 所以 6＋ 3b2＝ 9? b2＝ 1， a2＝ 3. 故所求橢圓 C的方程為 x23＋ y2＝ 1. (2)存在點 M滿足要求，使 △ OAB的面積最大 ． 假設(shè)存在滿足條件的點 M，因為直線 l： mx＋ ny＝ 1與圓 O： x2＋ y2＝ 1相交于 不同的兩點 A， B，則圓心 O到 l的距離 d＝ 1m2＋ n21. 因為點 M(m， n)在橢圓 C上，所以 m23 ＋ n2＝ 1m2＋ n2，于是 0m2≤ 3. 因為 |AB|＝ 2 1－ d2＝ 2 m2＋ n2－ 1m2＋ n2 ， 所以 S△ OAB＝ 12廣東高考 )若實數(shù) k 滿足 0k9， 則曲線 x225－y29－ k＝ 1 與曲線x225－ k－y29＝ 1 的( ) A． 焦距相等 B． 實半軸長相等 C． 虛半軸長相等 D． 離心率相等 [答案 ] A [解析 ] ∵ 0k9， ∴ 09－ k,25－ k0， ∴ 曲線表示雙曲線， 又 ∵ 25＋ 9－ k＝ c2， ∴ 焦距相等 ． 選 A . 6． 已知拋物線 y2＝ 4x的準(zhǔn)線與雙曲線 x2a2－ y2＝ 1 交于 A、 B兩點 ， 點 F是拋物線的焦點 ，若 △ FAB為直角三角形 ， 則該雙曲線的離心率為 ( ) A． 2 B． 3 C． 2 D． 6 [答案 ] D [解析 ] 拋物線 y2＝ 4x的焦點為 (1,0)，準(zhǔn)線方程為 x＝－ 1，設(shè)直線 x＝－ 1與 x軸的交點為 C，則 FC＝ 2，因為 △ FAB 為直角三角形，所以根據(jù)對稱性可知， AC＝ FC＝ 2，則 A點的坐標(biāo)為 (－ 1,2)，代 入雙曲線方程得 1a2－ 4＝ 1，所以 a2＝ 15， c2＝ 15＋ 1＝ 65， e2＝ c2a2＝ 6，所以離心率 e＝ 6. 7． 已知直線 l1： 4x－ 3y＋ 6＝ 0 和直線 l2： x＝－ 1， 拋物線 y2＝ 4x上一動點 P到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是 ( ) A． 3 55 B． 2 C． 115 D． 3 [答案 ] B [解析 ] 因為拋物線的方程為 y2＝ 4x，所以焦點坐 標(biāo) F(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x＝－ P到準(zhǔn)線的距離為 PB，則 PB＝ l1： 4x－ 3y＋ 6＝ 0的距離為 PA， 所以 PA＋ PB＝ PA＋ PF≥ FD，其中 FD為焦點到直線 4x－ 3y＋ 6＝ 0的距離，又因為 FD＝ |4－ 0＋ 6|32＋ 42＝ 105 ＝ 2， 所以距離之和最小值是 2，選 B． 8． 以 O為中心 ， F1， F2為兩個焦點的橢圓上存在一個點 M， 滿足 |MF1→ |＝ 2|MO→ |＝ 2|MF2→|， 則該橢圓的離心率為 ( ) A． 33 B． 23 C． 63 D． 2 55 [答案 ] C [解析 ] 過 M作 x軸的垂線，交 x軸于 N點，則 N點坐標(biāo)為 (c2， 0)，并設(shè)