【導(dǎo)讀】點P(x,y)在第一象限?點P(x,y)在第四象限?點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上?個變量x與y，對于x的每一個確定的值，對于一個函數(shù)，如果當(dāng)自變量x＝a時，m>0，m－2>0，解得m＞2.類型之二關(guān)于x軸，y軸及原點對稱的點的坐標(biāo)特征。在數(shù)軸上表示為：.1．坐標(biāo)系中的圖形平移的坐標(biāo)變化與作圖；

　　

【正文】 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a 、 b 、 c 為常數(shù)， a ≠ 0) 函數(shù) a 0 a 0 最值 拋物線有最低點，當(dāng) x ＝－b2 a時， y 有最小值， y最小值＝4 ac － b24 a 拋物線有最高點，當(dāng) x ＝－b2 a時， y 有最大值， y最大值＝4 ac － b24 a 二次項系 數(shù) a 的 特性 ??????a 的大小決定拋物線的開口大?。??????a 越大，拋物線的開口越小， ??????a 越小，拋物線的開口越大 常數(shù)項 c 的意義 c 是拋物線與 y 軸交點的縱坐標(biāo)，即 x ＝ 0 時， y ＝ c 第 14講 ┃ 考點聚焦 考點 4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式 方法 適用條件及求法 1. 一般式 若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為 y ＝ax2＋ bx ＋ c ，將已知三個點的坐標(biāo)代入，求出 a 、 b 、 c 的值 2. 頂點式 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值( 或最小值 ) ，設(shè)所求二次函數(shù)為 y ＝ a ( x － h )2＋ k ，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將關(guān)系式化為一般形式 3. 交點式 若已知二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個交點的坐標(biāo)為 ( x1， 0) ，( x2， 0) ，設(shè)所求 二次函數(shù)為 y ＝ a ( x － x1)( x － x2) ，將第三點( m ， n ) 的坐標(biāo) ( 其中 m 、 n 為已知數(shù) ) 或其他已知條件代入，求出待定系數(shù) a ，最后將關(guān)系式化為一般形式 第 14講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 二次函數(shù)的定義 命題角度： 二次函數(shù)的概念 ． 若 y ＝ ( m ＋ 1) x m 2 － 6 m － 5 是二次函數(shù)， 則 m ＝ ( ) A ． 7 B ． － 1 C ． － 1 或 7 D ．以上都不對 A [ 解析 ] 讓 x 的次數(shù)為 2 ，系數(shù)不為 0 ，列出方程與不等式解答即可 ． 由題意得： m2－ 6 m － 5 ＝ 2 ，且 m ＋ 1 ≠ 0. 解得 m ＝ 7 或－ 1 ，且 m ≠ － 1 ， ∴ m ＝ 7 ，故選 A. 第 14講 ┃ 歸類示例 利用二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)中自變量的最高次數(shù)是 2 ，且二次項的系數(shù)不為 0. ? 類型之二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第 14講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 二次函數(shù)的圖象及畫法； 2. 二次函數(shù)的性質(zhì) ． 第 14講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 用配方法把二次函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 變成 y ＝ ( x － h )2＋ k 的形式； ( 2 ) 在直角坐標(biāo)系中畫出 y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 的圖象； ( 3 ) 若 A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) 是函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 圖象上的兩點，且 x1 x21 ，請比較 y y2的大小關(guān)系 ( 直接寫結(jié)果 ) ； ( 4 ) 把方程 x2－ 4 x ＋ 3 ＝ 2 的根在函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 的圖象上表示出來 ． 第 14講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 根據(jù)配方法的步驟進(jìn)行計算 ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 得出拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo)列表，注意拋物線與 x 軸、 y 軸的交點及對稱點等特殊點的坐標(biāo)，不要弄錯 ． ( 3 ) 開口向上，在拋物線的左邊， y 隨 x 的增大而減小 ． ( 4 ) 拋物線 y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 與直線 y ＝ 2 的交點的橫坐標(biāo)即為方程 x2－ 4 x ＋ 3 ＝ 2 的兩根 ． 第 14講 ┃ 歸類示例 解： ( 1) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 ＝ ( x2－ 4 x ＋ 4) ＋ 3 － 4 ＝ ( x － 2)2－ 1. ( 2) 由 ( 1) 知圖象的對稱軸為 直線 x ＝ 2 ，頂點坐標(biāo)為 (2 ，－1) ，列表： x ? 0 1 2 3 4 ? y ? 3 0 － 1 0 3 ? 描點作圖如下圖． ( 3) y1 y2， ( 4) 如圖，點 C 、 D 的橫坐標(biāo) x x4即為方程 x2－ 4 x ＋ 3 ＝ 2的根． 第 14講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 求二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)有兩種方法： ① 配方法， ② 頂點公式法，頂點坐標(biāo)為????????－b2 a，4 ac － b24 a. ( 2 ) 畫拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的草圖，要確定五個方面，即 ① 開口方向； ② 對稱軸； ③ 頂點； ④ 與 y 軸交點； ⑤ 與 x 軸交點 ． ? 類型之三 二次函數(shù)的表達(dá)式的求法 第 14講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 一般式，頂點式，交點式； 2. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式 ． 已知拋物線經(jīng)過點 A ( － 5 ， 0) 、 B (1 ， 0) ，且頂點的縱坐標(biāo)為92，求二次函數(shù)的關(guān)系式． [ 解析 ] 根據(jù)題目要求，本題可選用多種方法求解析式． 第 14講 ┃ 歸類示例 解： 解法一：拋物線與 x 軸的兩個交點為 A ( － 5 ， 0) 、 B (1 ， 0) ，由對稱性可知，它的對稱軸為直線 x ＝－ 5 ＋ 12＝－ 2 ， ∴ 拋物線的頂點為 P??????－ 2 ，92，已知拋物線上的三點 A ( － 5 ， 0) 、B (1 ， 0) ， P??????－ 2 ，92，設(shè)一般式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，把 A ( － 5 ， 0) 、 B (1 ，0) 、 P??????－ 2 ，92代入 ，得????? a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，25 a － 5 b ＋ c ＝ 0 ，4 a － 2 b ＋ c ＝92， 解得???????a ＝－12，b ＝－ 2 ，c ＝52， ∴ 所求拋物線的解析式為 y ＝－12x2－ 2 x ＋52. 第 14講 ┃ 歸類示例 解法二 ：由解法一知拋物線的頂點為 P??????－ 2 ，92，可設(shè)頂點式 y ＝ a ( x ＋ 2 )2＋92，把 x ＝ 1 ， y ＝ 0 代入得 0 ＝ a ( 1 ＋ 2 )2＋92， ∴ a ＝－12. ∴ y ＝－12( x ＋ 2 )2＋92， 即 y ＝－12x2－ 2 x ＋52. 第 14講 ┃ 歸類示例 解法三 ：由解法一知拋物線過點 P??????－ 2 ，92， ∵ A ( － 5 ， 0) ， B (1 ， 0) 是拋物線與 x 軸的交點，設(shè) 交點式 y ＝ a ( x ＋ 5 ) ( x － 1) ， 把 x ＝－ 2 ， y ＝92代入得 a ( － 2 ＋ 5) ( － 2 － 1) ＝92， ∴ a ＝－12. ∴ y ＝－12( x ＋ 5) ( x － 1) ，即 y ＝－12x2－ 2 x ＋52. 第 14講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 當(dāng)已知拋物線上三點求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用一般式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ) ； ( 2 ) 當(dāng)已知拋物線頂點坐標(biāo) ( 或?qū)ΨQ軸及最大或最小值 ) 求關(guān)系式時，一般采用頂點式 y ＝ a ( x － h )2＋ k ； ( 3 ) 當(dāng)已知拋物線與 x 軸的交點坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式時，一般采用交點式 y ＝ a ( x － x1)( x － x2) ． 第 15講 ┃ 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) (二 ) 第 15講 ┃ 考點聚焦 考點聚焦 考點 1 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 拋物線 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 與 x 軸 的交點個數(shù) 判別式 b2－ 4 ac 的符號 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有實根 的個數(shù) 2 個 0 兩個 ________ 實根 1 個 ＝ 0 兩個 ________ 實根 沒有 0 ________ 實根 不相等 相等 沒有 第 15講 ┃ 考點聚焦 考點 2 二次函數(shù) y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 的圖象特征與 a 、b 、 c 及判別式 b 2 － 4 ac 的符號之間的關(guān)系 項目 字母 字母的符號 圖象的特征 a 0 開口向上 a a 0 開口向下 b ＝ 0 對稱軸為 y 軸 ab 0( b 與 a 同號 ) 對稱軸在 y 軸左側(cè) b ab 0 ( b 與 a 異號 ) 對稱軸在 y 軸右側(cè) 第 15講 ┃ 考點聚焦 c ＝ 0 經(jīng)過原點 c 0 與 y 軸正半軸相交 c c 0 與 y 軸負(fù)半軸相交 b2－ 4 ac ＝ 0 與 x 軸有唯一交點 ( 頂點 ) b2－ 4 ac 0 與 x 軸有兩個不 同交點 b2－ 4 ac b2－ 4 ac 0 與 x 軸沒有交點 當(dāng) x ＝ 1 時， y ＝ a ＋ b ＋ c 當(dāng) x ＝－ 1 時， y ＝ a － b ＋ c 當(dāng) a ＋ b ＋ c 0 ，即 x ＝ 1 時， y 0 特殊 關(guān)系 當(dāng) a － b ＋ c 0 ，即 x ＝－ 1 時， y 0 第 15講 ┃ 考點聚焦 考點 3 二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 用配方法化成 y ＝ a ( x － h )2＋k ( a ≠ 0) 的形式，而任意拋物線 y ＝ a ( x － h )2＋ k 均可由拋物線 y ＝ax2平移得到，具體平移方法如圖 15 － 1 ： 圖 15 － 1 第 15講 ┃ 考點聚焦 [ 注意 ] 確定拋物線平移后的關(guān)系式最好利用頂點式，利用頂點的平移來研究圖象的平移 ． 第 15講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 二次函數(shù)與一元二次方程 命題角度： 1 ． 二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系； 2 ． 圖象法解一元二次方程； 3 ． 二次函數(shù)與不等式 ( 組 ) ． 拋物線 y ＝ x 2 － 4 x ＋ m 與 x 軸的一個交點的坐標(biāo)為(1 ， 0) ，則此拋物線與 x 軸的另一個交點的坐標(biāo)是 ________ ． (3， 0) 第 15講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 把 ( 1 ， 0 ) 代入 y ＝ x2－ 4 x ＋ m 中，得 m ＝ 3 ，所以，原方程為 y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 ， 令 y ＝ 0 ，解方程 x2－ 4 x ＋ 3 ＝ 0 ，得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 3 ， ∴ 拋物線與 x 軸的另一個交點的坐標(biāo)是 ( 3 ， 0 ) ． ? 類型之二 二次函數(shù)的圖象的平移 第 15講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 二次函數(shù)的圖象的平移規(guī)律； 2. 利用平移求二次函數(shù)的圖象的 表達(dá) 式． [ 2021 泰安 ] 將拋物線 y ＝ 3 x2向上平移 3 個單位，再向左平移 2 個單位，那么得到的拋物線的 表達(dá) 式為 ( ) A ． y ＝ 3( x ＋ 2)2＋ 3 B ． y ＝ 3( x － 2)2＋ 3 C ． y ＝ 3( x ＋ 2)2－ 3 D ． y ＝ 3( x － 2)2－ 3 A 第 15講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 由 “ 上加下減 ” 的原則可知，將拋物線 y ＝ 3 x2向上平移 3 個單位所得拋物線的解析式為： y ＝ 3 x2＋ 3 ； 由 “ 左加右減 ” 的原則可知，將拋物線 y ＝ 3 x2＋ 3 向左