小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)解決問題典型例題-資料下載頁
2025-10-19 12:11本頁面
【正文】 等式也成立。由①，②知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（1）本題證明命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第①步成立，則成立是推理的基礎(chǔ)，第②步成立，是推理的依據(jù)（即成立，??，從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立）。中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2，時(shí)命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃危O(shè)法另一方面，第①步中，驗(yàn)證3等；第②步中，證明用上歸納假設(shè)。，并證明你的結(jié)論。對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求解析：取。令所以取，得，而，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）（2）假設(shè)時(shí)，已證結(jié)論正確時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，所以即時(shí)，結(jié)論也成立，由（1）（2）可知，對(duì)一切都有，故a的最大值為25。：解析：方法一：令（1）（2）假設(shè)能被9整除。，能被9整除。能被9整除，則∴由（1）（2）知，對(duì)一切方法二：（1）（2）若∴時(shí)也能被9整除。，能被9整除。，原式，能被9整除。，命題均成立。能被9整除，能被9整除，則時(shí)由（1），（2）可知，對(duì)任何點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。：解析：（1）當(dāng)（2）設(shè)則當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，能被整除。，命題顯然成立。能被整除。由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被故時(shí)命題成立。，命題成立。整除，由（1）（2）可知，對(duì)，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成解析：①②假設(shè)當(dāng)個(gè)部分。時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立。時(shí)，個(gè)圓將平面分成時(shí)，個(gè)部分，第k+1個(gè)圓交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成故個(gè)部分，即時(shí)，命題成立。命題成立。個(gè)部分。由①，②可知，對(duì)點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。解析：當(dāng)時(shí)，由，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)對(duì)于，使等式的一切自然數(shù)都成立？并證明你，得當(dāng)時(shí)，由，得猜想。，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)①當(dāng)②假設(shè)那么當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。成立，恒成立?！喈?dāng)時(shí)，等式也成立。的自然數(shù)n，等式都成立。，使等式成立。與n的關(guān)系式，猜想由①②知，對(duì)一切故存在函數(shù)點(diǎn)評(píng)：（1）歸納、猜想時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足條件的的關(guān)系未必對(duì)任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。，即（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出。
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