函數(shù)解答題-構(gòu)造函數(shù)證明不等式-資料下載頁
2025-10-18 14:53本頁面
【正文】 用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)的值域例若x為任意實數(shù)，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實數(shù)22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數(shù)的奇偶性xx2xx 證明：設(shè)f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱x∵當(dāng)x0時，12當(dāng)x故當(dāng) x≠0時,恒有f(x)即：xx[小結(jié)]本題運用了比較法，實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論。第五篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式構(gòu)造函數(shù)巧解不等式湖南 黃愛民函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運用函數(shù)的性質(zhì)來解題，是一種制造性的思維活動。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。一、構(gòu)造函數(shù)解不等式例解不等式 810+x35x0 3(x+1)x+1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較煩。但注意到8102323x+5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)+=()+5()3x+1x+1x+1(x+1)f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)+5()x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤+1x+122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價于x，解x+1x+1之得：－1＜x＜2或x＜－2。例解不等式1x2+20 x+11x21tan2a=cos2a于是可構(gòu)造三分析：由x206。R及的特征聯(lián)想到萬能公式1+x21+tan2a角函數(shù)，令x=tanα(p2ap2)求解。1tan2a解：令x=tanα(a)0，從 222tana+1pp1pp3而2sin2asina10222。sina1∴a∴tanα＞,∴x＞26233。3二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問題。例3已知不等式11112+++loga(a1)+對大于1的一切自然數(shù)nn+1n+22n123恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)712∴f(n)loga(a1)+對大于1的一切自然數(shù)n恒121237121成立,必須有l(wèi)oga(a1)+∴l(xiāng)oga(a1)1，而a＞1，∴a1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=∴1＜a＜1+1+5∴a的取值范圍為（1，）。22三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。例已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞1證：把a看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1又∵f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)1f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+10,從而：(b+c)a+bc+10,即證：ab+bc+ca＞1 例已知a+b+n=p，求證：x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2+y2+z2(2xycosa+2yzcosb+2zxcosn)=2x22x(ycosa+zcosn)+y2+z22yzcosb,其中D=4(ycosa+zcosn)24(y2+z22yzcosb)=4(ysinazsinn)2163。0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn。
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