【正文】 用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數的單調性。利用函數的值域例若x為任意實數，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函數的值域，于是構造函數f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。1+x222x2證明：設 y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實數22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數更簡單。例求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數，視參數為變元的函數，然后根據變元函數的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數的奇偶性xx2xx 證明：設f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關于y軸對稱x∵當x0時，12當x故當 x≠0時,恒有f(x)即：xx[小結]本題運用了比較法，實質是根據函數的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數的軸對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。第五篇：構造函數巧解不等式構造函數巧解不等式湖南 黃愛民函數與方程，不等式等聯系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質與函數有關，該題就可考慮運用構造函數的方法求解。構造函數，直接把握問題中的整體性運用函數的性質來解題，是一種制造性的思維活動。因此要求同學們多分析數學題中的條件和結論的結構特征及內在聯系，能合理準確地構建相關函數模型。一、構造函數解不等式例解不等式 810+x35x0 3(x+1)x+1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較煩。但注意到8102323x+5x , 啟示我們構造函數且題中出現+=()+5()3x+1x+1x+1(x+1)f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)+5()x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤+1x+122f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數∴原不等式等價于x，解x+1x+1之得：－1＜x＜2或x＜－2。例解不等式1x2+20 x+11x21tan2a=cos2a于是可構造三分析：由x206。R及的特征聯想到萬能公式1+x21+tan2a角函數，令x=tanα(p2ap2)求解。1tan2a解：令x=tanα(a)0，從 222tana+1pp1pp3而2sin2asina10222。sina1∴a∴tanα＞,∴x＞26233。3二、構造函數求解含參不等式問題。例3已知不等式11112+++loga(a1)+對大于1的一切自然數nn+1n+22n123恒成立，試確定參數a的取值范圍。解：設f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關于n 的增函2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)712∴f(n)loga(a1)+對大于1的一切自然數n恒121237121成立,必須有l(wèi)oga(a1)+∴l(xiāng)oga(a1)1，而a＞1，∴a1＜12123a數。又n≥2∴f(n)≥f(2)=∴1＜a＜1+1+5∴a的取值范圍為（1，）。22三、構造函數證明不等式。例已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞1證：把a看成自變量x，作一次函數f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1又∵f(1)=bc+bc+1=(1b)(1c)1f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0，又一次函數具有嚴格的單調性?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+10,從而：(b+c)a+bc+10,即證：ab+bc+ca＞1 例已知a+b+n=p，求證：x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn 證明：考慮函數f(x)=x2+y2+z2(2xycosa+2yzcosb+2zxcosn)=2x22x(ycosa+zcosn)+y2+z22yzcosb,其中D=4(ycosa+zcosn)24(y2+z22yzcosb)=4(ysinazsinn)2163。0 又x2的系數大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2+y2+z2179。2xycosa+2yzcosb+2zxcosn。