【正文】 得到一個(gè)優(yōu)良的個(gè)體 X，它所對(duì)應(yīng)的表現(xiàn)型 X將達(dá)到或接近于問(wèn)題的最優(yōu)解 *X 。 生物的進(jìn)化過(guò)程主要是通過(guò)染色體之間的交叉和染色體的變異來(lái)完成的。與此相對(duì)應(yīng)，遺傳算法中最優(yōu)解的搜索過(guò)程也模仿生物的這個(gè)進(jìn)化過(guò)程，使用所謂的遺傳算子作用于群體 P(t)中，進(jìn)行上述遺傳操作從而得到新一代群體 P(t+1)。 基于遺傳算法 PID 參數(shù)整定的 算法 設(shè)計(jì) 選擇、交叉和變異是遺傳算法的三個(gè)主要操作算子，它們構(gòu)成了所謂的遺傳操作，使遺傳算法具有了其它傳統(tǒng)方法所沒(méi)有的特性。遺傳算法中包含了如下 5個(gè)基本要素 (l)參數(shù)編碼 。(2)初始群體的設(shè)定 。(3)適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì) 。(4)遺傳操作設(shè)計(jì) 。(5)控制參數(shù)的設(shè)定 (主要是指群體大小和使用遺傳操作的概率等 )。這 5個(gè)要素構(gòu)成了遺傳算法的核心內(nèi)容。遺傳算法的基本處理流程如圖 35所示。 圖 35 遺傳算法的基本流程框圖 從圖可以看出，遺傳算法的運(yùn)行過(guò)程為典型的迭代過(guò)程，其必須完成的工作內(nèi)容和基本步驟 如下 : (一 ) 確定每個(gè)參數(shù)的大致范圍和編碼長(zhǎng)度，進(jìn)行編碼 、解碼 ? 確定每個(gè)參數(shù)的大致范圍 遺傳算法的搜索空間是以 ZieglerNichols法獲得結(jié)果 為中心，向左右兩邊拓展而形成的，這樣可以充分利用 Z一 N法的合理內(nèi)核，減少遺傳算法搜索時(shí)間。如果參數(shù)的優(yōu)化解十分靠近搜索空間的邊界，還要在該解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展空間，進(jìn)行新一輪搜索。綜上所述，其目標(biāo)函數(shù)為 : minJ。 約束條件 : 27 ????????????????????????)1,0()1()1()1()1()1()1(******m inm in???????dddiiipppKKKKKKKKKGMGMPMPM 式（ 318） 其中， PM， GM—— 系統(tǒng)相位裕度和增益裕度 。 minPM ， minGM —— 系統(tǒng)允許的最小相位裕度和增益裕度。 *** , dip KKK —— 分別為 ZN整定法計(jì)算的 PID參數(shù)。 由 Kp、 Ki、 Kd控制參數(shù)整定知道： 6 9 9 0,7 9 ,2 0 3 7 ??? dip KKK 。 α取為 【 5】 ，則 ]1266,474[],29,10[],380,142[ ??? dip KKK 式（ 319） ? 編碼 編碼是應(yīng)用遺傳算法時(shí)要解決的首要問(wèn)題，也是設(shè)計(jì)遺傳算法時(shí)的一個(gè)關(guān)鍵步驟。編碼方法影響到交叉算子、變異算子等遺傳算子的運(yùn)算方法，大 很大程度上決定了遺傳進(jìn)化的效率。 迄今為止人們已經(jīng)提出了許多種不同的編碼方法。總的來(lái)說(shuō)，這些編碼方法可以分為三大類：二進(jìn)制編碼法、浮點(diǎn)編碼法、符號(hào)編碼法。下面我們從具體實(shí)現(xiàn)角度出發(fā)介紹其中的幾種主要編碼方法。 1. 二進(jìn)制編碼方法： 它由二進(jìn)制符號(hào) 0和 1所組成的二值符號(hào)集。它有以下一些優(yōu)點(diǎn)： 1) 編碼、解碼操作簡(jiǎn)單易行 2) 交叉、變異等遺傳操作便于實(shí)現(xiàn) 3) 符合最小字符集編碼原則 4) 利用模式定理對(duì)算法進(jìn)行理論分析。 二進(jìn)制編碼的缺點(diǎn)是： 對(duì)于一些連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，由于其隨機(jī)性使得其局部搜索能力較差，如對(duì)于一些高精度的問(wèn)題（如上題），當(dāng)解迫近于最優(yōu)解后，由于其變異后表現(xiàn)型變化很大，不連續(xù)，所以會(huì)遠(yuǎn)離最優(yōu)解，達(dá)不到穩(wěn)定。而格雷碼能有效地防止這類現(xiàn)象 2. 格雷碼方法： 格雷碼方法是 這樣的一種編碼方法，其連續(xù)兩個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的編碼值之間僅僅只有一個(gè)碼位是不同的。 格雷碼編碼的主要優(yōu)點(diǎn)是： 1) 便于提高遺傳算法的局部搜索能力 28 2) 交叉、變異等遺傳操作便于實(shí)現(xiàn) 3) 符合最小字符集編碼原則 4) 便于利用模式定理對(duì) 算法進(jìn)行理論分析 由于二進(jìn)制編碼基本上達(dá)到精度要求，而且便于遺傳操作。故選擇二進(jìn)制編碼。其編碼方法：用長(zhǎng)度為 10位的二進(jìn)編碼串分別表示三個(gè)決策變量 Kp、 Ki、 Kd。10位二進(jìn)制編碼串可以表示從 0— 1023之間的不同的數(shù)。故將 Kp、 Ki、 Kd的定義域離散化為不同離散點(diǎn)。現(xiàn)在取 Kp為例。從式（ 319）可知 Kp最小值是 142，最大值是 380，從離散點(diǎn) 142到離散點(diǎn) 380，依次讓他們分別對(duì)應(yīng)于從 0000000000（ 0）— 1111111111（ 1023）之間的二進(jìn)制編碼。再將分別表示 Kp、 Ki、 Kd的三個(gè) 10位長(zhǎng) 的二進(jìn)制串連接在一起，組成一個(gè) 30位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串，就構(gòu)成了這個(gè) PID參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的染色體編碼方法。 ? 確定解碼方法 解碼時(shí)需要將 30位長(zhǎng)的二進(jìn)制編碼串切斷為三個(gè) 10位長(zhǎng)測(cè)二進(jìn)制編碼串，然后分別將他們轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)代碼，分別記為 y y y3。依據(jù)個(gè)體編碼方法和對(duì)定義域的離散化方法可知，將代碼 yi轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞康?Kp、 Ki、 Kd解碼公式如下： ）、取 dipm i nm i nm a x KKK(1023)( KKyKKK i ???? 式（ 320） （ 2）初始群體的生成 由于遺傳算法的群體型操作需要，我們必須為遺傳操作準(zhǔn)備一個(gè)由若干初始解組成的 初始群體。初始群體的每個(gè)個(gè)體都是通過(guò)隨機(jī)方法產(chǎn)生的。初始群體也稱作為進(jìn)化的初始代，第一代。 在 MATLAB實(shí)現(xiàn)種群群體有很多種方法，其中一種是先通過(guò) 01間均勻分布的隨機(jī)矩陣 rand生成種群胚體，再通過(guò) round(可對(duì)矩陣元素進(jìn)行四舍五入處理 )命令處理生成第一代群體，稱為種群矩陣，每一行代表一個(gè)染色體，即一個(gè)個(gè)體。 （ 3）適應(yīng)度評(píng)估檢測(cè) 遺傳算法在搜索進(jìn)化過(guò)程中一般不需要其它外部信息，僅用評(píng)估函數(shù)來(lái)評(píng)估個(gè)體或解的優(yōu)劣，并作為以后遺傳操作的依據(jù)。評(píng)估函數(shù)值又稱作適應(yīng)度。 PID 設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù) J為最小，這里我們?nèi)≌`差絕對(duì)值時(shí)間積分目標(biāo)函數(shù)為： 29 utwdttuwtewJ 30 22 )(|)(|( ??? ?? 式（ 321） 將其離散化為： uQi twtsiuwiewJ 30221 ))(|)(|( ??? ?? 式（ 322） 其中 Q根據(jù)采樣周期 ts的大小和調(diào)節(jié)時(shí)間來(lái)確定， e(t)為系統(tǒng)誤差， u(t)為控制器輸出， ut 為上升時(shí)間， 321 , 為加權(quán)值 。 為了避免超調(diào)，采用了懲罰功 能，即一旦產(chǎn)生超調(diào)，將超調(diào)量作為最優(yōu)指標(biāo)的一項(xiàng)，此時(shí)最優(yōu)指標(biāo) 【 4】 為： if ey(t)0 uQi twtsieywiuwiewJ 30 4221 |))(|)(|)(|( ???? ?? 式（ 323） 上式中 4w 為權(quán)值，而且 14 ww?? ， ey(i)=yout(i)yout(i1),yout(i)為被控對(duì)象輸出。取 1 0 0,0 0 ,9 9 4321 ???? w 。 同時(shí)為了保證使系統(tǒng)具有一定的魯棒性，還必須使系統(tǒng)滿足最小相位和增益裕度條件。由于遺傳操作是根據(jù)適應(yīng)度值大小進(jìn)行 的，且適應(yīng)度值是非負(fù)的，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方向應(yīng)對(duì)應(yīng)適應(yīng)度值增加的方向，所以將目標(biāo)函數(shù) J轉(zhuǎn)換為適應(yīng)度函數(shù) f，這里選用下式作為適應(yīng)度值函數(shù) :f=1/J,為了避免趨向于無(wú)窮大，將 J再加上一個(gè)適當(dāng)?shù)募冃?shù)，該純小數(shù)取為 10101 ?? 【 4】 。故適應(yīng)度函數(shù)如下： 10101 1 ???? Jf 式（ 324） (4) 設(shè)計(jì)遺傳算子 ? 選擇 （也叫 復(fù)制 ） 選擇或復(fù) 制操作的目的是為了從當(dāng)前群體中選出優(yōu)良的個(gè)體，使它們有機(jī)會(huì)作為父代為下一代繁殖子孫。判斷個(gè)體優(yōu)良與否的準(zhǔn)則就是各自的適應(yīng)度值。 選擇操作是對(duì)自然界 適者生存 的模擬。評(píng)價(jià)值（目標(biāo)函數(shù)值）較大的個(gè)體有較高的概率生存，即在下一代群體中再次出現(xiàn)。一種常用的選擇方法是按比例選擇，即若個(gè)體 i的適應(yīng)值（目標(biāo)函數(shù)值）是 fi，則個(gè)體 i在下一代群體中復(fù)制（再生）的子代個(gè)數(shù)在群體中的比例將為 ： fi/∑fi 。 其中， ∑fi 示指所有個(gè)體適應(yīng)值之和。若當(dāng)前群體與下一代群體的個(gè)數(shù)均維 30 持在 n，則每一個(gè)體 i在下一代群體中出現(xiàn)的個(gè)數(shù)將是： n*fi/∑fi=fi/f 。 其中 f=∑fi/n 是群體評(píng)價(jià)的平均值。 fi /f的值不一定是一個(gè)整數(shù)。為了確定個(gè)體在下一代中的確切個(gè)數(shù)，可將 fi/f的小數(shù)部分視為產(chǎn)生個(gè)體的概率。如，若 fi/f為 ，則個(gè)體 i有 70％的可能再生 2+1=3個(gè)，而有 30％的可能只再生 2個(gè) 。 ? 交換（也叫交叉） 交換可分為兩步進(jìn)行 :首先對(duì)配對(duì)庫(kù)中的個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)配對(duì) 。其次，在配對(duì)個(gè)體中隨機(jī)設(shè)定交叉段，配對(duì)個(gè)體彼此交換部分信息。 串長(zhǎng)為 30，交換操作將隨機(jī)選擇一個(gè)交換點(diǎn)（對(duì)應(yīng)于從 1到 20的某個(gè)位置序號(hào)），緊接著兩串交換點(diǎn) 到個(gè)體的第 20位 子 串互換，從而產(chǎn)生了兩個(gè)新串。例如，設(shè)Ａ 1，Ａ 2為 種群矩陣中相鄰兩行，先隨機(jī)選擇交換點(diǎn)，由 rand（ MATLAB中生成01中的隨機(jī)數(shù) ） 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若小于 發(fā)生交換的概率是 Pc（ Pc為事先指定的 0－ 1之間的值，稱為交換率 ） ， 則 兩串交換點(diǎn) 到個(gè)體的第 20位 子串互換，從而產(chǎn)生了兩個(gè)新串 。 交換點(diǎn)被隨機(jī)選擇為 7（串長(zhǎng) 不妨 為 10）。 Ａ 1＝ 1000011111， Ａ 2＝ 1111111011， 交換得新串Ａ 139。，Ａ 239。： Ａ 139。＝ 1000011011， Ａ 239。＝ 1111111111。 當(dāng)然，并非所有選中的串對(duì)都會(huì)發(fā)生交換。 為 了保證本代中最優(yōu)個(gè)體能夠保存到下一代，采用精英選擇策略，將最優(yōu)個(gè)體直接作為下一代個(gè)體。 ? 突變（也叫突變） 另一種遺傳操作是突變，它一般在交換后進(jìn)行。突變操作的對(duì)象是個(gè)體（即串），旨在改變串中的某些位的值，即由 0變?yōu)?1，或由 1變?yōu)?0。并非所有位都能發(fā)生變化，每一位發(fā)生變化的概率是 Pm。 Pm為事先指定的 0－ 1之間的某個(gè)值，稱為突變率。串中每一位的突變是獨(dú)立的，即某一位是否發(fā)生突變并不影響其它位的變化。突變的作用是引進(jìn)新的遺傳物質(zhì)或恢復(fù)已失去的遺傳物質(zhì)。例如，若群體的各串中每一位的值均為 0，此時(shí)無(wú)論如何交換都不能 產(chǎn)生有 1的位，只有通過(guò)突變 。為了保證本代中最優(yōu)個(gè)體能夠保存到下一代，采用精英選擇策略，將最優(yōu)個(gè)體直接作為下一代個(gè)體。 經(jīng)過(guò)選擇、交叉和變異算子作用，形成下一代群體。 (5)確定遺傳算法的運(yùn)行參數(shù)：群體大小 M一般取 20到 100，在充分考慮到種群中個(gè)體的多樣性及控制計(jì)算量，本文確定 M的值是 30。在利用遺傳算法對(duì) PID控制器中的各因子尋優(yōu)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)螖?shù)為 70時(shí)，性能指標(biāo)就不在發(fā)生變化，如圖 36所示。所以，從能夠快速有效獲得最優(yōu)性能指標(biāo)的角度分析，本文確定遺傳算法 終止進(jìn)化代數(shù) G=100,交叉概率為 【 4】 ，變異概率為 【 4】 。 31 參數(shù)編碼種群 1計(jì)算適配值迭代次數(shù)k 100遺傳操作復(fù)制交叉變異種群 2解碼尋優(yōu)結(jié)束種群 1 種群 2是 (6)判斷結(jié)束 圖 36 性能指標(biāo) J的優(yōu)化過(guò)程 當(dāng)群體性能己完成預(yù)定的迭代次數(shù)，則結(jié)束迭代，否則返回上一步，繼續(xù)應(yīng)用遺傳算法。 其流程圖如圖 37： 圖 37 遺傳算法的基本流程圖 32 在 MATLAB環(huán)境中利用 M語(yǔ)言編程 （附錄 1附錄 2） ，得到優(yōu)化處理之后的性能指標(biāo) ： 4 5 1 ,0 0 0 ,9 4 7 ??? dip KKK 。 其仿真結(jié)果如下： 圖 38 基于一般遺傳算法 PID整定的 水箱系統(tǒng)仿真 控制曲線 )2( 3?w 根據(jù)圖 38控制曲線及程序運(yùn)行工作空間相關(guān)數(shù)據(jù)編寫程序 ,可以得到表 32的各個(gè)性能指標(biāo)： 表 32 基于二進(jìn)制編碼 一般 遺傳算法 PID整定仿真控制性能指標(biāo) )2( 3?w 性能指標(biāo) 數(shù)據(jù) 最大液位高度 ymax（ mm） 超調(diào)量（ %） 峰值時(shí)間 tp（ s） 上升時(shí)間 tr（ s） 穩(wěn)定時(shí)間 ts（ s） 穩(wěn)態(tài)誤差（ mm） 0 比較表 3表 32各個(gè)性能指標(biāo)，我們可以 得到以下結(jié)論：遺傳算法得到的性能指標(biāo)在某些方面優(yōu)于 ZN整定法得到的性能指標(biāo)，但穩(wěn)定時(shí)間太長(zhǎng)。這是因 33 為積分系數(shù)太小使上升時(shí)間段的比例閥未處于全負(fù)荷工作狀態(tài)。下文將對(duì)這方面做進(jìn)一步改進(jìn)。 適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)討論 目標(biāo)函數(shù)是由四項(xiàng)和組成，分別是誤差絕對(duì)值的時(shí)間積分，比例閥電壓二次方的時(shí)間積分，超調(diào)量積分，他們的加權(quán)值分別反映了每一項(xiàng)在不函數(shù)所占的分量，故取值結(jié)果直接影響最優(yōu)個(gè)體。若 3w 所取的值較大的話，則上升時(shí)間這一項(xiàng)在性能指標(biāo)所占的比重較大，該性能指標(biāo)側(cè)重于反映 上升時(shí)間，則上升時(shí)間較短的個(gè)體成