【導(dǎo)讀】學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。識(shí)的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過這一系列的方法進(jìn)一步提高我們對(duì)行。列式的認(rèn)識(shí)，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)帶來十分有益的幫助。階法），以及利用范德蒙行列式的結(jié)論等等。關(guān)，逆序數(shù)之和為偶數(shù)符號(hào)為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù)符號(hào)為負(fù)。表示對(duì)所有n級(jí)排列求和.

　　

【正文】 xaxaxaxD???????????????????321113210)( bababaaaaaxbabbababaaaaa????????????32113211101110 bababaaaaaxabbaabaaa???????32313210111 1)( xDDxD ??? 23 ???????????????????????????????????????????????)())()((000)(,)())()((0)(00)()(,13213211321321bfbDDbabababababababababDbxafaDDaaaaaaaaababaaabaaaDax當(dāng)當(dāng) ba abfbafD ???? )()( 利用拉普拉斯展開 例 22 證明： n 級(jí)行列式xaaaaaxxxDnnn ??????? 1221100000100001????????? 證明：利用拉普拉斯展開定理，按第 n 行展開有： nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxaxaxaxaaxxaxaxaaxxxxxaxxxaxxaxxaD?????????????????????????????????????????????????????????????????112222111)1(22)2(212111)1(2)2(121)()1()1()1()1()1()1()1(0000100000100001)()1(10000000000100001)1(100001000000100000)1(100001000000100001)1(??????????????????????????????????????? 以上等式右端的 1?n 級(jí)行列式均為“三角形行列式”。 計(jì)算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計(jì)算行列式的幾種 方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。 3 用 多種方法解題 24 下面 我們運(yùn)用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。 例 23 計(jì)算：xaaaaxaaaaxaaaaxD n????????? 法 1：將第 2,3,?， n 行都加到第 1 行上去，得 xaaaaaaxaanxxaaaaaaxaanxanxanxD n?????????????? 111])1([)1()1()1(?????????? 再將第一行通乘 a? ，然后分別加到第 2,3,? ,n 行上，得 ])1([)(0000000111])1([ 1 anxaxaxaxanxD nn ????????? ???????? 法 2：將 2,3,? ,n 行分別減去第 1 行得 axxaaxxaaxxaaaaxD n???????????????000000 再將第 2,3,? ,n 列都加到第 1 列上去， 便有1)]()1([000000000)1(??????????? nn axanxaxaxaxaaaanxD???????? 法 3：將 nD 添加一行及一列，構(gòu)成 )1( ?n 階行列式 25 xaaaxaaaxaaaD n????????0001? 再將第 2,3,? ,n+1 行 分別減去第 1 行，于是有 令axaxaxaaaD n???????????????0010010011 在 ax? 時(shí)，顯然 0?nD ，在 ax? 時(shí)， 則1)]()1([1000010000101)(1001010100111)(????????????????????nnnnaxanxaxaaxaaxaaxnaaxaxaaxaaxaaxD???????????????? 法 4： 令 axxaaxxaaxxaaaxaxaxaaxaaaaaxaaaaaxDn?????????????????????????????????????????????00000000001111000000)(000)(000)( 26 將右式中第二個(gè)行列式的第 2,3,? ,n 列全加到第 1 列上去，再利用 Laplace 展開，所以得 11 )]()1([)()( ?? ???????? nnnn axanxaxnaaxD 例 24 求證 ?????niiinnnbabbbaaa112121)1(1000100010???????? 證：若記 ),( 21 naaaA ?? ， ),( 21 nbbbB ?? 時(shí)，上述等式可簡記為 ABBzA nn1)1(0 ??? 證法一：把第 2 行乘以 )( 1a? ，第 3 行乘以 )( 2a? ，?，第 1?n 行乘以 )( na? ，全部加到第一行，再對(duì)第 1 行利用拉普拉斯定理展開，注意各項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)為 1111 )1()1( ???? ??? nn ，得證。 證法二：對(duì) n 用歸納法 當(dāng) 1?n 時(shí)，111111 )1(00 baba ??? ，命題成立。 假設(shè)對(duì)于 n 時(shí)命題成立，那么，當(dāng)左下角單位矩陣為 1?n 階 (即 nz )時(shí)，對(duì)最后一行展開， 2111121121212210000101)1(01000001)1(0 DDbbaaaaaaabBzAnnnnnnnn???????????????????????????其中 nnnnnnn babaD 11221 )1()1( ???? ???? ， 而按歸納法假設(shè) ?? ???????? ?????? 1111111122 )1()1()1( nj jjnnj jjnn babaD 證畢。 證法三：利用分塊矩陣的乘法 27 ???????? ?????????? ????????? 0100 nnn z ABABzBzA 兩邊取行列式，得 ABzAABz ABABzA nnnnn 11 )1(0)1(010 ?? ??????? 在演算一個(gè)問題時(shí)，需要仔細(xì)分析已給 的條件，靈活運(yùn)用已經(jīng)知道的性質(zhì)和已經(jīng)掌握的技巧，不要死套公式，這樣就能很快求出答案。 參考文獻(xiàn)： ［ 1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編 .高等代數(shù) .北京 :高等教育 出版社。 ［ 2］劉學(xué)生 ,譚欣 ,王麗燕主編，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題訓(xùn)練 .大連 :大連理工大學(xué)出版社。 [3] 徐帥，陸全，張凱院，呂全義，安曉虹主編 .高等代數(shù)考研教案 .西安 :西北工業(yè)大學(xué)出版社。 ［ 4］楊尚驗(yàn) ,材家壽 .高等代數(shù)重要習(xí)題詳解，安徽 :安徽省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) .1982,3:35— 40。 ［ 5］石福慶 ,陳凱 ,錢輝鏡 .線性代數(shù)輔導(dǎo) .北京 :1985。