【正文】 z≡h180。（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程z≡h180。（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應(yīng)的集合為{ h180。，（pipj?prpspepu?pvpw +h180。），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h180。），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h180。），?，[（u2）pipj?prpspepu?pvpw +h180。]，[（u1）pipj?prpspepu?pvpw +h180。]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然pepu?pvpwh180。＜pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數(shù)2m范圍內(nèi)，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應(yīng)的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh180。＜2m。所以a對應(yīng)pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對應(yīng)pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu1）prpspepu?pvpw+a）對應(yīng)p1p2p3?pt（u2），（3p1p2p3?pt+a）對應(yīng)p1p2p3?p（，?，[（u1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對應(yīng)pipj?prpspepu?pvpw。tu3）所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{（2mpi），（2m2pi）,（2m3pi），（2m4pi），（2m5pi），?，（2mmipi）}∩{（2mpj），（2m2pj）,（2m3pj），（2m4pj），（2m5pj），?，（2mmjpj）}∩?∩{（2mpr），（2m2pr）,（2m3pr），（2m4pr），（2m5pr），?，（2mmrpr）}∩{（2mps），（2m2ps）,（2m3ps），（2m4ps），（2m5ps），?，（2mmsps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。故定理4成立。參考文獻[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版[4]王文才，施桂芬，數(shù)學小辭典（科學技術(shù)文藝出版社）1983年2月第1版 二〇一四年四月十九日 第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第1講)“哥德巴赫猜想”講義（ 1 數(shù)學名家。哥德巴赫首先去萊比錫，拜訪了大數(shù)學家萊布尼茨。萊布尼茨（，16461716）對于數(shù)學的最大貢獻是發(fā)明了微積分。哥德巴赫的到來，使萊布尼茨感到很高興，對于這位朝氣蓬勃的晚輩，萊布尼茨少不了給予指點和教誨。萊布尼茨廣博的學識和高屋建瓴的觀點，也使哥德巴赫終身受益。接著哥德巴赫又到倫敦訪問棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，16671754）是法國人，因躲避宗教迫害移居英國。棣莫弗最擅長的研究領(lǐng)域是概率論，并對此做出了很大的貢獻。概率論是研究偶然性（或者隨機現(xiàn)象）的數(shù)學分支，它的起源與擲骰子賭博的輸贏問題有關(guān)。哥德巴赫對于理論研究和實際問題都很有興趣。后來哥德巴赫去了歐洲其它一些城市，分別見到伯努利家族的幾位成員，其中丹尼爾 ? 伯努利和哥德巴赫關(guān)系密切。16世紀末，伯努利家族的祖輩為躲避宗教迫害，從比利時的安特衛(wèi)普輾轉(zhuǎn)來到瑞士的巴塞爾，在那里繁衍生息。這個家族以經(jīng)商為傳統(tǒng)，也有個別人行醫(yī)，似乎都和數(shù)學沾不上邊。但在一個世紀之后，卻在三代人中出現(xiàn)了八位數(shù)學家，其中幾位有相當大的成就。歐洲的旅行，使哥德巴赫不斷開闊眼界，增長了學識，還在學術(shù)圈里交了不少朋友，收獲頗豐。1724年哥德巴赫回到了故鄉(xiāng)哥尼斯堡，此時的哥德巴赫已經(jīng) 34歲。俄羅斯彼得大帝聽取萊布尼茨的建議，1724年1月頒布諭旨，決定成立圣彼得堡科學院，彼得大帝擬定了科學院章程，其中強調(diào)，科學院的理論研究應(yīng)對與國家實際利益密切相關(guān)的問題做出貢獻，章程中的重要一條是，邀請國外的一些知名學者到科學院工作，以帶動 2 俄羅斯科學的發(fā)展。據(jù)說萊布尼茨還寫信給中國清朝的康熙皇帝，建議成立北京科學院，可惜未被采納。1725年哥德巴赫又到俄羅斯。丹尼爾 ? 伯努利也于1725年來到了圣彼得堡科學院，哥德巴赫就有了共同研究的伙伴，他們時常徜徉在涅瓦河畔，切磋討論數(shù)學問題。1728年歐拉也到了圣彼得堡。此時的歐拉是一位20歲的青年，他是約翰 ? 伯努利的學生，也是約翰的兒子丹尼爾的好朋友。在數(shù)學的歷史上，人們常常將歐拉與阿基米德、牛頓、高斯并列為最偉大的數(shù)學家。由于丹尼爾的關(guān)系，哥德巴赫和歐拉很快就熟悉起來了，涅瓦河畔散步又多了一個伙伴。哥德巴赫比歐拉年長17歲，哥德巴赫欣賞歐拉的聰明和勤奮，歐拉欽佩哥德巴赫見多識廣，他們之間是一種忘年之交。后來歐拉由于身體原因去了德國柏林，哥德巴赫與遠在德國柏林的歐拉一直保持通信，討論各種數(shù)學問題。1742年6月7日在莫斯科的哥德巴赫給柏林的歐拉一封信，同年 6月30日歐拉給哥德巴赫回信。哥德巴赫在信中說：“對于那些雖未切實論證但很可能是正確的命題，我不認為關(guān)注它們是一件沒有意義的事情。即使以后萬一證明它們是錯誤的，也會對于發(fā)現(xiàn)新的真理有幫助。正如你已經(jīng)證明的那樣，費爾馬關(guān)于 Fm給出一列素數(shù)的想法是不正確的，但如果能夠證明 Fm可以用唯一的方式表成兩個平方數(shù)之和的話，那也是一個很了不起的結(jié)果”。當 m ≥ 1 時，F(xiàn)m 是形如 4n+1 的正整數(shù)。由上述費爾馬的一個命題，如果 Fm 是素數(shù)的話，那么 Fm 自然就可以用唯一的方式表成兩個平方數(shù)之和。哥德巴赫的意思是，在無法保證 Fm 是素數(shù)的情況下，看看能否證明弱一點的結(jié)果“ Fm 可以用唯一 3 的方式表成兩個平方數(shù)之和”。歐拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。哥德巴赫在信中又說：“類似地，我也斗膽提出一個猜想：任何由兩個素數(shù)所組成的數(shù)都是任意多個數(shù)之和，這些數(shù)的多少隨我們的意愿而定，直到所有的數(shù)都是 1 為止。例如：4=1+3=1+1+2=1+1+1+1，5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1，6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1，?。哥德巴赫又在頁邊的空白處補充道：“重新讀過上面的內(nèi)容后，我發(fā)現(xiàn)，如果猜想對于n成立，而且n+1可以表成兩個素數(shù)之和的話，那么，可以嚴格地證明猜想對于n+1也成立。證明是容易的。無論如何，看來每個大于2的數(shù)都是三個素數(shù)之和”。這里哥德巴赫把1看成了素數(shù)。下面歐拉也采用這種看法，歐拉在回信中說：關(guān)于每個可以分成兩個素數(shù)之和的數(shù)又可分拆為任意多個素數(shù)之和這一論斷，可由你以前寫信告訴我的一個觀察（即每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和）來說明和證實。如果所考慮的數(shù)n是偶數(shù)的話，那么它是兩個素數(shù)之和。又因為n2也是兩個素數(shù)之和，所以n是三個素數(shù)之和，同理它也是四個素數(shù)之和，如此等等。如果n是奇數(shù)的話，因為n1是兩個素數(shù)之和，所以n是三個素數(shù)之和，因此它可以分拆為任意多個素數(shù)之和。無論如何，我認為“每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和”是一條相當真實的定理，雖然我不能證明它。因為這是私人間的通信，所以其中的說法相當隨意，在數(shù)學上是不嚴格的。后人在數(shù)學上將它們嚴格化，并稱之為“哥德巴赫猜想”。英國數(shù)學家華林(,17361798),在1770年出版的《代數(shù)沉思錄》一書中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想: 4 。,或者是三個素數(shù)之和。標準的現(xiàn)代版本是這樣的:。也可以將它們寫成下面的數(shù)學公式:=p1+p2 , 當N(N≥6)是偶數(shù)。=p1+p2+p3,當N(N≥9)是奇數(shù)。其中pi（i=1，1，3）均為奇素數(shù)。哥德巴赫猜想的表達形式簡潔明了,體現(xiàn)了數(shù)學的優(yōu)美感覺。從乘法來看,素數(shù)是構(gòu)成自然數(shù)的基本元素,在哥德巴赫猜想中,將素數(shù)放到加法的環(huán)境里,實際上是刻畫了加法和乘法的某種關(guān)系,而這兩種運算在數(shù)學中是最基本和最常見的。據(jù)說早在哥德巴赫之前,法國哲學家和數(shù)學家笛卡兒(,15961650)在他的手稿里就有“每個偶數(shù)是至多三個素數(shù)之和”這樣的敘述。雖然歐拉無法預(yù)料素數(shù)理論的發(fā)展,但他深知解決哥德巴赫猜想已經(jīng)遠遠超出他的能力之外。1900年, 從此哥德巴赫猜想不再是孤立的數(shù)學難題,而成了近代數(shù)學重要的一環(huán)。后來的發(fā)展證明,希爾伯特的眼光是非常正確的。參考文獻[1]賈朝華，從哥德巴赫說開去 二〇一四年四月十日 5