【正文】 2m5pr+1），?，（2mmr+1pr+1）}={（pr+1kr+1），（2pr+1kr+1），（3pr+1kr+1），?，[（mr+11）pr+1kr+1]，（mr+1pr+1kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+12）pr+1+hr+1]，[（mr+11）pr+1+hr+1]}；我們令2mmr+2p r+2=hr+2；2mmr+3pr+3=hr+3；?；2mmtpt=ht；同理可得：集合{（2mpr+2），（2m2pr+2）,（2m3pr+2），（2m4pr+2），（2m5pr+2），?，（2mmr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+22）pr+2+hr+2]，[（mr+21）pr+2+hr+2]}；集合{（2mpr+3），（2m2pr+3）,（2m3pr+3），（2m4pr+3），（2m5pr+3），?，（2mmr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+32）pr+3+hr+3]，[（mr+31）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2mpt），（2m2pt）,（2m3pt），（2m4pt），（2m5pt），?，（2mmtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt2）pt+ht]，[（mt1）pt+ht]}。因為前面令2mmr+1pr+1=hr+1，2mmr+2p r+2=hr+2；2mmr+3pr+3=hr+3；?；2mmtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2mpr+1），（2m2pr+1）,（2m3pr+1），（2m4pr+1），（2m5pr+1），?，（2mmr+1pr+1）}對應同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2mpr+2），（2m2pr+2）,（2m3pr+2），（2m4pr+2），（2m5pr+2），?，（2mmr+2pr+2）}對應同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2mpr+3），（2m2pr+3）,（2m3pr+3），（2m4pr+3），（2m5pr+3），?，（2mmr+3pr+3）}對應同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2mpt），（2m2pt）,（2m3pt），（2m4pt），（2m5pt），?，（2mmtpt）}對應同余方程xt≡ht（modpt）。由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因為（p1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M180。=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因為偶數(shù)2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數(shù)2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數(shù)2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數(shù)2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個解；在偶數(shù)2m范圍內，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對應集合{ h180。，（pr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（3pr+1pr+2pr+3?pt+h180。），?，[（v2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h180。]，[（v1）pr+1pr+2p r+3?pt+h180。]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)。顯然集合{ h180。，（pr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h180。），?，[（v2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h180。]，[（v1）pr+1pr+2p r+3?pt+h180。]} 對應同余方程w≡h180。（modpr+1pr+2p r+3?pt）。我們設集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2mpr+1），（2m2pr+1）,（2m3pr+1），（2m4pr+1），（2m5pr+1），?，（2mmr+1pr+1）}∩{（2mpr+2），（2m2pr+2）,（2m3pr+2），（2m4pr+2），（2m5pr+2），?，（2mmr+2pr+2）}∩{（2mpr+3），（2m2pr+3）,（2m3pr+3），（2m4pr+3），（2m5pr+3），?，（2mmr+3pr+3）}∩?∩{（2mpt），（2m2pt）,（2m3pt），（2m4pt），（2m5pt），?，（2mmtpt）}中的任一奇數(shù)均對應同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個解，對于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數(shù)，因為同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M180。=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質定理1可知，e=p1p2p3?prh180。，根據(jù)前面得到的同余方程w≡h180。（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們再設同余方程z≡h180。（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數(shù)2m范圍內，同余方程z≡h180。（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ h180。，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h180。），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h180。），?，[（u2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h180。]，[（u1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h180。]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數(shù)2m的最大正整數(shù)；顯然p1p2p3?prh180。＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而e=p1p2p3?prh180。，所以在偶數(shù)2m范圍內，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh180。＜2m。所以e對應p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu1）對應p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，?，[（u1）tu2）tu3）p1p2p3?pt+e]對應p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數(shù)的總個數(shù)與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2mpr+1），（2m2pr+1）,（2m3pr+1），（2m4pr+1），（2m5pr+1），?，（2mmr+1pr+1）}∩{（2mpr+2），（2m2pr+2）,（2m3pr+2），（2m4pr+2），（2m5pr+2），?，（2mmr+2pr+2）}∩{（2mpr+3），（2m2pr+3）,（2m3pr+3），（2m4pr+3），（2m5pr+3），?，（2mmr+3pr+3）}∩?∩{（2mpt），（2m2pt）,（2m3pt），（2m4pt），（2m5pt），?，（2mmtpt）}中正整數(shù)的總個數(shù)相等。故定理3成立。參考文獻[1]戎士奎，十章數(shù)論（貴州教育出版社）1994年9月第1版[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數(shù)論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數(shù)學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版[4]王文才，施桂芬，數(shù)學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版 二〇一四年四月十九日