課題：兩角差的余弦公式教案說(shuō)明[全文5篇]-資料下載頁(yè)
2025-10-04 18:27本頁(yè)面
【正文】 單位圓 , 并作角 , 和 , 使于點(diǎn) B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和 D的坐標(biāo)分別為,。注意到 , 因此。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是(方法2)如圖所示, 在坐標(biāo)系 的始邊均為 , 交于點(diǎn) C, 角 ,中作單位圓 終邊交。, 并作角 和 , 使角 和于點(diǎn) A,角 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得。由余弦定理得。從而有。注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補(bǔ)充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。在上邊的證明中 , 用余弦定理計(jì)算是三角形的內(nèi)角。因此, 還需大于 的情形。容易驗(yàn)證 , 公式在以上的過(guò)程也可以用勾股定理來(lái)進(jìn)行。(二)在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來(lái)證明和差角的正弦公式。(一)(方法3)如圖所示, , ，為 的邊上的高 ，為邊上的高。設(shè) , 則。從而有 , , 。因此 。注意到 從而有 , , 整理可得。注記：在方法 3 中 , 用 邊上高和與底角 , 相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個(gè)角度來(lái)表示 , 從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對(duì)基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過(guò)程類(lèi)似。利用方法 3 中的圖形 , 我們用類(lèi)似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的(方法 4)如圖所示, , , 則為 的。邊上的高 ，為邊上的高。設(shè)注意到 , 則有,即。從而有。利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個(gè)非常簡(jiǎn)潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。(方法 5)如圖所示 , 則有為 的邊上的高。設(shè) , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。由 得 , 從而有。(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角 , 將會(huì)有下面的幾種證法(方法 6~11)。(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。和。設(shè)設(shè) 的外接,圓直徑,為 d, 則有。所以有。注意到 , 從而。(方法 7)如圖所示 , , , 則為 的邊上的高 , , 則為邊上的高。設(shè)。設(shè) , , ,。, 又從而。整理可得。(方法 8)如圖所示 , 作 設(shè) 。于D, 過(guò) D作 , 則 ,于 F, ,設(shè)于G。, 從而 ,所以。注意到 , 則有。注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算 法來(lái)計(jì)算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。(方法 9)如圖所示 , 設(shè) ,，為 的邊上的高。設(shè) , , 從而有方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。(方法 10)如圖所示 , 設(shè) , 則為 , 從而 的外接圓直徑d, 長(zhǎng)度為d。設(shè) ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線 , 則有(方法 11)如圖所示 , 則。設(shè)為 , 則 的邊上的高。設(shè) , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過(guò)聯(lián)系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來(lái)。方法 12 和 13 便是用這種想法來(lái)證明的。(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設(shè) , , 從而有 , 記 , 作(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長(zhǎng)度為 d。設(shè)。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段 , 借此來(lái)構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角(甚至都是銳角)。因此 , 對(duì)于方法 3~13, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對(duì)任意 任意角也成立。容易驗(yàn)證 , 角 和成立 , 則對(duì)中至少有一個(gè)是軸上角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角)時(shí) , 我們的公式也成立。不妨設(shè) 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有從而同理可證, 公式對(duì)于象限角 3~13 推導(dǎo)的公式推廣到角和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對(duì)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過(guò)程可分為四個(gè)步驟：(1)明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系 和 等式或方程 ；(2)簡(jiǎn)化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問(wèn)題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系和三角函數(shù)與或三角函數(shù)與或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關(guān)系 ；(4)完善解決問(wèn)題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時(shí)還要進(jìn)行分類(lèi)討論。參考文獻(xiàn)：：全面數(shù)學(xué)教育觀與知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)——三個(gè)教學(xué)個(gè)案及分析 , 《開(kāi)放的視野 , 務(wù)實(shí)的努力》, 中央民族大學(xué)出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁(yè)。：全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū) (必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁(yè)。
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