【正文】 向量、共線向量之間的異同．三、解釋應用 ［例 題］如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．相等、平行和共解：都是單位向量．［練習］，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．，那么四邊形ABCD的形狀如何？，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？，點P在點O“東偏北60176。，3cm”處，點Q在點O“南偏西30176。，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120176。角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風的速度．（3）向量四、拓展延伸，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？，那么與數(shù)的運算類比，向量是否也能進行運算？向量加法運算及其幾何意義教材分析引入向量后，考查向量的運算及運算律，是數(shù)學研究中的基本的問題．教材中向量的加法運算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的，在此基礎上抽象概括了向量加法的意義，總結了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則．向量加法的運算律，教材是通過“探究”和構造圖形引導學生類比數(shù)的運算律，驗證向量的交換律和結合律．例2是一道實際問題，主要是要讓學生體會向量加法的實際意義．這節(jié)課的重點是向量加法運算（三角形法則、平行四邊形法則），向量的運算律．難點是對向量加法意義的理解和認識．教學目標、力的合成等實例，認識理解向量加法的意義，體驗數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程．，熟練運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量．，能熟練地運用它們進行向量運算．，由具體到抽象，培養(yǎng)學生的探究能力，使學生數(shù)學地思考問題，數(shù)學地解決問題．任務分析這節(jié)的主要內容是向量加法的運算和向量加法的應用．對向量加法運算，學生可能不明白向量可以相加的道理，產生疑惑：向量既有大小、又有方向，難道可以相加嗎？為此，在案例設計中，首先回顧物理學中位移、力的合成，讓學生體驗向量加法的實際含義，明確向量的加法就是物理學中的矢量合成．在此基礎上，歸納總結向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．向量加法的運算律發(fā)現(xiàn)并不困難，主要任務是讓學生對向量進行探究，構造圖形進行驗證．關于例2的教學，主要是幫助學生正確理解題意，把問題轉化為向量加法運算．教學設計一、問題情境，某物體從A點經B點到C點，兩次位移點的位移結果相同．，的結果，與A點直接到C，表示橡皮筋在兩個力F1，F(xiàn)2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同．位移認為：與合成為等效，力F與分力F1，F(xiàn)2的共同作用等效，這時我們可以與、分力F1與F2某種運算的結果．數(shù)的加法啟發(fā)我們，F(xiàn)分別是位移位移、力的合成可看作數(shù)學上的向量加法．，歸納并抽象概括出向量加法的定義已知非零向量a，b（如圖373），在平面內任取一點A，作向量，則向量叫a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝a，＝.＝b，再作求兩個向量和的運算，叫作向量的加法．這種求向量和的作圖法則，稱為向量求和的三角形法則，我們規(guī)定0＋a＝a＋0＝ａ．，組織學生討論（1）根據(jù)力的合成的平行四邊形法則，你能定義兩個向量的和嗎？（2）當a與b平行時，如何作出a＋b？強調：向量的和仍是一個向量．用三角形法則求和時，作圖要求兩向量首尾相連；而用平行四邊形法則求和時，作圖要求兩向量的起點平移在一起．（3）實數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系，類似地，向量的加法是否也有運算律呢？首先，讓學生回憶實數(shù)加法運算律，類比向量加法運算律．向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗證．向量加法的結合律的驗證則比較困難，教學時，應放手讓學生進行充分探索．最后通過下面的兩個圖形驗證加法結合律．三、解釋應用 ［例 題］，b，就（1）a與b不共線，（2）a與b共線，分別求作向量a＋b． 注：要求寫出作法，規(guī)范解題格式．，常常通過輪船進行運輸．一艘輪船從長江南岸Ａ點出發(fā)，以5km／h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km／h．（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度．（2）求船實際航行的速度的大小與方向（速度的大小保留2個有效數(shù)字，方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度）．［練習］，已知a，b，畫圖表示a＋b．，F(xiàn)2的夾角是直角，合力F與F1的夾角是60176。，｜F｜＝10N，求F1和F2的大?。鰽BC中，…An中，計算四、拓展延伸，b，探索｜a＋b｜與｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”號的條件． ，你可能選擇不同的始點求和．你有沒有想過，選擇不同的始點作出的向量和都相等嗎？你可能認為，這是“顯然”對的，你能證明這個問題嗎？平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是說明同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標表示的基礎，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內容以共線向量為基礎，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質．教學時無須嚴格證明該定理，只要讓學生弄清定理的條件和結論，會用該定理就可以了．向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題．因此，向量是數(shù)學中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關系，而不要求用向量證明幾何命題．平面向量的基本定理的理解是學習的難點，而應用基本向量表示平面內的某一向量是學習的重點．教學目標，會用它來表示平面圖形中任一向量，為向量坐標化打下基礎．、抽象和概括，體驗數(shù)學定理的產生、形成過程，提升學生的抽象和概括能力． ，增強向量的應用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工具之一．任務分析這節(jié)課是在學生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運算的基礎上展開的，為了使學生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學時，常應用構造式的作圖方法，同時采用師生共同操作，增強直觀認識，歸納和總結出任意向量與基本向量的線性組合關系，并且通過適當?shù)木毩暎箤W生進一步認識和理解這一基本定理．教學設計一、問題情景，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來表示，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． ＋λ2e2的向量表示？二、建立模型 （1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0ｂ．（2）設AC，BD交于點O，由向量加法，知以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對角線的相應向量，還可表示一邊對應的向量估計任一向量都可以寫成ａｂ的線性表達．任意改成另兩個不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． ，通過了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學生感悟通過改變λ1，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎上，可自然形成一個更理性的認識———平面向量的基本定理．如圖，設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，ａ是這一平面內的任一向量．在平面內任取一點O，作＝e1，＝e2，＝ａ；過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時有且只有實數(shù)λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內的兩個不平行向量，那么該平面內的任一向量ａ，存在唯一的一對實數(shù)λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底，有序實數(shù)對（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標．三、解釋應用 ［例 題］，e2（如圖383），求作向量－＋3e2． 注：可按加法或減法運算進行．，不共線，＝t（t∈R），用，表示． 解：∵［練習］：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實數(shù)λ1，λ2．：基底｛a，b｝，求實數(shù)ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．＝ｂ，試用a，：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對于平面上任一點O，都有.四、拓展延伸平面向量的正交分解與坐標運算教材分析這節(jié)課通過建立直角坐標系，結合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標表示，這樣使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應關系，然后導出了向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的坐標運算，這就為利用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁，更突出也更簡化了向量的應用．所以，一定要讓學生重點掌握向量的坐標運算，以利于掌握坐標形式下的向量的一些關系式及運用．教學難點是讓學生建立起平面向量的坐標概念．教學目標，領會它的引入過程，進一步體會一一對應的思想意識． ，掌握平面向量的坐標運算，并能應用坐標運算解決一些問題．，領會“沒有運算，向量只是一個?路標?，因為有了運算，向量的力量無限”的說法．任務分析，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標系下點與坐標的一一對應關系，也就容易有在直角坐標平面內的向量與坐標的一一對應．：（1）設i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對應數(shù)對（x，y），所以可以說a＝（x，y）．（2）任一向量ａ可平移成，一一對應點A（x，y），從而可說a＝（x，y）．、數(shù)過渡的基礎上，容易接受由向量到坐標的這種代數(shù)化的過渡．教學設計一、問題情景（如圖）．一個向量也可以分解為兩個互相垂直的向量的線性表達，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關向量問題將變得較為簡單．，每一個點可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示，那么對平面直角坐標內的每一個向量，可否用實數(shù)對來表示？又如何表示呢？二、建立模型，在直角坐標系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．對于平面上一個向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對實數(shù)x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標，記作a＝（x，y）．顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．若把ａ的起點平移到坐標原點，即ａ＝xi＋yj，則，則點A的位置由ａ唯一確定．設＝的坐標就是點A的坐標；反過來，點A的坐標（x，y）也就是的坐標．因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)（即坐標）唯一表示．已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標嗎？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．上述結論可表述為：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標．三、解釋應用 ［例 題］（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標．解：如圖393，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．總結：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標． 思考：能在圖中標出坐標為（x2－x1，y2－y1）的P點嗎？平移到，則P（x2－x1，y2－y1）．（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐標．（2）求ABCD中D點的坐標．放開思考，展開討論，看學生們有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：設D（x，y），∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）．＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比較出對（2）的兩種解法在思想方法上的異同點嗎？（解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想），已知點A（3，2），點B（－2，4），求向量方向和長度．＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．設＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由兩點的距離公式，得設相對x軸正向的轉角為α，則查表或使用計算器，得α＝80176。32′．答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為80176。32′，長度等于．，向量的方向偏離x軸正向約為116176。34′，長度等于2［練習］ ＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標． ＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來表示ｃ．解：設c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點的坐標．解：設點M（x，y）是線段AB的中點（如圖395），則＝（＋）．將上式換為向量的坐標，得（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．，簡稱中點公式．，b，c，若存在不全為0的實數(shù)k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個向量線性相關，試研究三個向量3，－4）是否線性相關．＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關．解法2：由k1＋k2＋k3＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，則＋＋＝0，故三個向量線性相關．