【導(dǎo)讀】表示，能為數(shù)學(xué)活動(dòng)提供探索的平臺(tái)，為數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)提供技術(shù)支持.整合化并在各個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生能力.本文首先將對(duì)《幾何畫板》軟件進(jìn)行系統(tǒng)的介紹，其作圖演示功能、輔助教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)；然后將《幾何畫板》與幾何教學(xué)整合的實(shí)踐，分析教材改進(jìn)教法，幫助學(xué)生理解基本概念，板》探究軌跡問題，更深層次的探究幾何的奧秘.與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)融為一體的效果談一些實(shí)踐方法，在提出了自己的一點(diǎn)看法.

　　

【正文】 軌跡 2 如圖 613，求弦 AB 中點(diǎn) P 的軌跡方程 .” 猜猜看，點(diǎn) P 的軌跡是什么？ 利用幾何畫板演示出來(lái)：拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn) A ，得到點(diǎn) P 的軌跡是一個(gè)小橢圓，并且這個(gè)小橢 圓的 第 17 頁(yè) 共 21 頁(yè) 長(zhǎng)軸是線段 1OF 即半焦距 2c .如 圖 614. 是橢圓，怎樣求這個(gè)小橢圓的方程？ 圖 613 圖 614 弦 AB 中點(diǎn)軌跡 根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點(diǎn)的軌跡方程 ，就應(yīng)該假設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為 (, )xy ，因此先設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (, )xy .要建立點(diǎn) P 的坐標(biāo) (x， y) 滿足的方程，觀察圖形，這里有四個(gè) 點(diǎn)1 1 2 2 1( , ) ( , )A x y B x y P F、 、 、其中點(diǎn) 1F 是定點(diǎn)， A B P、 、 都是動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn) A 是主動(dòng)點(diǎn)，引起點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的原因是由于點(diǎn) A 在橢圓上運(yùn)動(dòng) .因 此要找到點(diǎn) P 與 A B F、 、 這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系 .這是解決問題的關(guān)鍵 . 點(diǎn) P 與 AB、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? .” 如何將 1A B P F、 、 、 這四點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)？ 利用直線的斜率 .直 線 AB 的斜率表示：有21 21 xxyyk ??? ，還有 .如 cxyk ?? 何得到 21 21 xx yy?? ？?? AB、 兩點(diǎn)在哪？滿足什么方程？ 在橢圓上 .滿足 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? .” 快得到下列解法 (經(jīng)過整理 )： 設(shè) 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y P x y， 22 bac ?? ，則 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ， 因?yàn)辄c(diǎn) AB、 都 在橢圓上，則 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? ， 式相減得 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0b x x x x a y y y y? ? ? ? ? ?， 于是有 cx ykya xbyy xxabxx yy ???????????? 2221 212221 21， 化簡(jiǎn)得 1)2()2()2(2222???abcyc cx ， 此即為所求的軌跡方程 . 這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法 —— 設(shè)而不求 .尋找動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系是求軌跡問題的幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì) 中的應(yīng)用 第 18 頁(yè) 共 21 頁(yè) 關(guān)鍵 .還有其它解法沒有？ 經(jīng)過觀察，因?yàn)橹本€ AB 經(jīng)過點(diǎn) 1F ，可以設(shè)直線 AB 的方程為()y k x c??，與橢圓方程聯(lián)立 解方 程組得出 AB、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)??不必解出 AB、 的坐標(biāo)，將直線 AB 的方程為 ()y k x c??代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點(diǎn) AB、 的橫坐 標(biāo)1x，2，正好可以利用韋達(dá)定理得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ，將點(diǎn) AB、 的橫坐標(biāo)都表示為直線 AB 的斜率 k 的函數(shù)，消去參數(shù) k 就行了 . 軌跡 3 如果將弦 AB 的兩端 AB、 分別與橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)12,AA連起來(lái)，則這兩條直線 2AA與1AB的交點(diǎn) C 好象在橢圓的準(zhǔn)線上（ 圖 615） . 采取常規(guī)方法“交軌法”求解 ： 設(shè)直線 2AA、 1AB的方程分別為 1()y k x a??， 2()y k x a??， 將 2AA的方程代入橢圓方程整理得 02)( 2221421322212 ????? bakaxkaxbka , 圖 615 此方程的兩根是 A 、 2A 的橫坐標(biāo) x 與 a ，故可求得 11( , )Ax y 點(diǎn)坐標(biāo)為)2,( 2212 122212 2213 bka kabbka abkaA ???? , 同理可求得 22( , )Bx y 點(diǎn)坐標(biāo)為 )2,(2222 2222222223bka kabbka abkaB ???. 由 A、 F B 三點(diǎn)共線可得11 BFAF kk ?，即 cxycxy ??? 2 21 1， 將 A 、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入并整理得 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( + ) ( ) ( ) ( ) 0a a c k k a c a k k b a c k b c a k? ? ? ? ? ? ? ， 將 axyk ??1 ， axyk ??2 代入上式得 第 19 頁(yè) 共 21 頁(yè) 0))()(()())(()()( 2222222 ???????????? axaxacbaxaxcabyacaycaa ， 分解因式得 0]) ] [)(())([( 222222 ???????? baxbyaaxacaxca ， 因?yàn)橹本€2AA、1BA的交點(diǎn)在橢圓外，所以 0222222 ??? bayaxb ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) 0c x a c a x a? ? ? ? ? ?， 即 cax 2?? . 即為直線2AA、1BA的交點(diǎn)的軌跡方程，而這就是橢圓的準(zhǔn)線方程 . 同樣的道理，直線 2AB與 1AA 的交點(diǎn) D 也在準(zhǔn)線上 .不管 C 、 D 兩點(diǎn)在左準(zhǔn)線上怎樣運(yùn)動(dòng)，1CFD? 是一個(gè)定值 ?90 . 如圖 616 所示 . ”又一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論 . 同學(xué)們利 用上個(gè)問題的解決方法，很快證明了出來(lái) . 圖 616 課后探索：利用幾何畫板，還能探索出什么結(jié)論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡 . 下面是經(jīng)過探究得到的幾條奇形怪狀的曲線： 橢圓弦心三角形三心及垂 足點(diǎn)的軌跡 弦心三角形就是過的橢圓左焦點(diǎn)的弦 AB 與原點(diǎn) O 所構(gòu)成三角形ABO?內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 4 “ABO?的內(nèi)心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線 (如 圖 621 所示 ).” 軌跡 5 “ 的垂心的軌跡是一條‘ ? ’形狀的曲線 (如 圖 622 所示 ).” 圖 621 弦心三角形 內(nèi)心軌跡 圖 622 弦心三角形 垂心軌跡 幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì) 中的應(yīng)用 第 20 頁(yè) 共 21 頁(yè) 軌跡 6“ABO?的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 623 所示 ).” 軌跡 7“ 中，過點(diǎn) A 作 OB 的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’ (如 圖 624 所示 ).” 圖 623 弦心三角形 外心軌跡 圖 624 弦心三角形 垂足軌跡 橢圓弦焦三角形三心 及垂足點(diǎn)的軌跡 弦焦三角形就是過的橢圓左焦點(diǎn)的弦 AB 與右焦點(diǎn)2F所構(gòu)成三角形2ABF?內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 8 如 圖 631 作2ABF?的重心 G ，其軌跡也是一個(gè)橢圓 圖 631 弦焦三角形重心軌跡 以下是解答：設(shè) 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y G x y，則由 2(, )Fco 與 ( , )Gxy 可得 AB 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為)23,23( ycx? ， 因?yàn)? ya xbyy xxabxx yy 2221 212221 21 ?????????， 所以 ccxyyaxb???? )3(212322 ， 第 21 頁(yè) 共 21 頁(yè) 整理得 3 222222 cbyaxb ?? ，即 222 2 22139xyc b ca?? . 軌跡 9 “2ABF?的垂心的軌跡是一條 ? 形狀的曲線 (如 圖 632 所示 ).” 軌跡 10 “2的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 633 所示 ).” 軌跡 11“2ABF?中，過點(diǎn) A 作 2BF 的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形 (如 圖 634 所示 ).” 圖 632 弦焦三角形 垂心軌跡 圖 633 弦焦三角形 外心軌跡 圖 634 弦焦三角形垂足 軌跡 橢圓過兩焦點(diǎn)三角形四心點(diǎn)的軌跡 延長(zhǎng) 2AF 交橢圓于另一點(diǎn) C ，聯(lián) 2BF ，ABC?的重心、內(nèi)心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 12— 15 都是不知名的曲線 (如 圖 641～ 4 所示 ). 圖 641 兩焦點(diǎn)三角形重心軌跡 圖 642 兩焦點(diǎn)三 角形內(nèi)心軌跡 幾何畫板在數(shù)學(xué)課程幾何教學(xué)設(shè)計(jì) 中的應(yīng)用 第 22 頁(yè) 共 21 頁(yè) 圖 643 兩焦點(diǎn)三角形垂心軌跡 圖 644 兩焦點(diǎn)三角形外心軌跡 橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質(zhì) .以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結(jié)論？ 問題的研究，幾何畫板可以稱這數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室 .通過這樣的實(shí)驗(yàn)室，同學(xué)們可以學(xué)會(huì)怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題 .象上面的軌跡問題，找到了主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，問題就不難解 . 事實(shí)證明，《 幾何畫板 》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用， 能有效地激發(fā)學(xué)生的 數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)興趣，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，使學(xué)生 從害怕、厭惡數(shù)學(xué)變成對(duì)數(shù)學(xué)喜愛并樂意學(xué)數(shù)學(xué) ，進(jìn)而通過 做 “ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) ” 去 模擬、驗(yàn)證、 探索 ?? .當(dāng)然，一切優(yōu)秀的教輔軟件，其真正作用的發(fā)揮，都離不開廣大一線教學(xué)工作者在教學(xué)實(shí)踐中孜孜不倦的嘗試、實(shí)踐和反思 .正如《上海市普通中小學(xué)課程方案》（試行稿）寫道：“信息技術(shù)在學(xué)科教育中的應(yīng)用是一項(xiàng)探索性的工作，需要在課程建設(shè)的實(shí)踐中不斷實(shí)驗(yàn)、總結(jié)和研究” .讓我們廣大數(shù)學(xué)教學(xué)同行共同努力，讓數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)有機(jī)整合的鮮花越開越鮮艷 . 總之 ,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中利用《幾何畫板》輔助教學(xué) ,可以創(chuàng)設(shè)更富有啟發(fā)性的教學(xué)情境 ,設(shè)計(jì)學(xué)生動(dòng) 手做數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境 ,能靈活自如地進(jìn)行變式教學(xué) ,提高課堂教學(xué)效果 。還可以啟發(fā)學(xué)生更積極地思考 ,引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和探索 ?使教師的“講”更多地由學(xué)生積極參與的活動(dòng)所代替 .學(xué)生由“聽講”“記筆記”的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式更多地變?yōu)橛^察、實(shí)驗(yàn)和主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)方式 ,從而達(dá)到知識(shí)、能力和素質(zhì)的全面提高 . 致謝 非常感謝劉老師在我大學(xué)的最后學(xué)習(xí)階段 — 畢業(yè)論文設(shè)計(jì)階段給自己的指導(dǎo)，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，他們給了我耐心的指導(dǎo)和無(wú)私的幫助 .為了指導(dǎo)我們的畢業(yè)論文，他們放棄了自己的休息時(shí)間，他們的這種無(wú)私奉獻(xiàn) 的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我向他們表示我誠(chéng)摯的謝意 .同時(shí)，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這四年來(lái)給自己的指導(dǎo)和幫助，是他們教會(huì)了我專業(yè)知識(shí)，教會(huì)了我如何學(xué)習(xí)，教會(huì)了我如何做人 .正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培養(yǎng)出越來(lái)越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 第 23 頁(yè) 共 21 頁(yè) 參考文獻(xiàn) [1]北京師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)研究所 《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》 作者：林君芬 余勝泉 ； [2]浙江教育出版社《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》徐斌艷主編 20xx 年 9 月版； [3]中學(xué)數(shù)學(xué)教育 20xx 年第 3 期 《新課標(biāo)理念下的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》作者：湯文卿； [4]《幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》，忻重義、萬(wàn)福永編著； [5]《利用幾何畫板教解析幾何》，陶維林編著； [6]《幾何畫板范例教程》，陶維林編著； [7]劉勝利 .幾何畫板課件制作教程（第三版） [M].北京：科學(xué)出版