【導(dǎo)讀】微機保護的一個基本問題便是尋找適當?shù)乃惴?，使運算結(jié)果的。精度能滿足工程要求并盡量減少計算。在選擇算法時要考慮兩個重要問題，即計。多的采樣點，相應(yīng)便增加了計算工作量，降低了計算速度。本文對微機保護算法綜合性能分析，確定特定場合下如何合理的進行選擇，靈敏性和可靠性，滿足電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行的要求具有現(xiàn)實指導(dǎo)意義。

　　

【正文】 算法有如下特點： （ 1） 算法需要一個周期的采樣值，響應(yīng)時間至少為 1周期以上； （ 2）計算一次共需 N2 （ N 為采樣點數(shù)）次乘法和 ? ?12 ?N 次加、減法，計算量隨著 N 的增大而增大； （ 3） 算法僅能濾除恒定的直流分量和整數(shù)次諧波分量，不能克 服衰減的直流分量。 從精度來看，由于半波傅氏算法的數(shù)據(jù)窗只有半周，其精度要比全波傅氏算法差。但是，發(fā)生故障后，半波算法在半周后即可計算出真值，響應(yīng)速度快；而全波算法只有在故障發(fā)生一周后才能計算出真值，響應(yīng)速度慢。顯然，傅里葉算法在克服干擾和響應(yīng)速度上存在不足，在提高響應(yīng)速度和減少計算量方面，目前主要從下面四個方面來考慮： （ 1） 盡可能減少采樣點數(shù) N ； （ 2） 選取合適的 N 以使正弦序列盡可能取易于計算的值，從而將乘法運算減少或轉(zhuǎn)化為移位運算； （ 3）對信號模型進行適當?shù)暮?化，忽略信號中的偶次諧波分量，可導(dǎo)出計算量減半和響應(yīng)速度增倍的半波傅里葉算法； （ 4） 利用遞推算法。 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 28 LR? 模型算法 LR? 模型算法 差分法：取兩個不同時刻的電壓、電流、電壓導(dǎo)數(shù) 和電流導(dǎo)數(shù)（差分），則 1 1 1 1 12 1 2 1 2u Ri L Du Ri L D?? 其中： 1u , 2u ， 1i ,2i 是電壓電流在 1t ,2t 時刻的值而 1D , 2D 是電流 1i ,2i 在 1t ,2t 時刻的導(dǎo)數(shù)值 ,RL可求解： 21121221 DiDi iuiuL ??? 21122112 DiDi DuDuR ??? 其中 2,22,2,2121121211S122S11?????????????????????nnnnnnnnnnnniiiiiiuuuuuuTiiDTiiD LR? 模型算法僅用于距離保護。因為線路分布電容產(chǎn)生的影響主要表現(xiàn)為高頻分量，采用低通濾波器可將高頻分量濾除。 LR? 模型算法反映全故障電流電壓，它不需要用濾波器濾除非周期分量（衰減的直流分量），其總延時可以很短。 LR?模型算法同前述各種算法不同，它不是僅反應(yīng)基頻分量，而是在相當寬帶一個頻段內(nèi)都能適用，因此， LR? 模型算法不受頻率變化的影響。 LR? 模型算法在不計線路分布電容時十分有效。 LR? 模型算法同前述各種算法不同，它不是僅反應(yīng)基頻分量，而是在 相當寬帶一個頻段內(nèi)都能適用。 （ 1） LR? 模型算法不需要用濾波器濾除非周期分量（衰減的直流分量），它可以只要求采用低通濾波器，與 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 29 要求有帶通濾波器的其他算法相比，其總延時可以很短，因為低通濾波器的延時要比帶通濾波器短得多。（ 2） LR? 模型算法不受頻率變化的影響采用 LR? 模型， 可先用短數(shù)據(jù)窗的低帶通濾波器濾波后，進行一次粗略但快速的計算，以便快速 切除近處故障；對于 I段保護范圍邊緣的故障， 則再用長數(shù)據(jù)庫的帶通濾波器進行精算濾波后切除故障，這樣就較好解決了速度和精度的矛盾。 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 30 4 隨機模型的算法 傅氏算法的前提是周期函數(shù)，即是信號要是可以分解為基頻的整數(shù)倍頻率分量。在這種情況下，計算結(jié)果精度是很高的，對非主頻的抑制效果也很好，但是當出現(xiàn)衰減直流分量時，輸入信號本身不是周期函數(shù)，此時經(jīng)過按數(shù)據(jù)窗截斷后再延拓成周期函數(shù)，是可以分解成基頻及倍頻，但數(shù)值大小已經(jīng)發(fā)生變化，與原來函數(shù)所含的基頻或相應(yīng)的倍頻數(shù)值己不一樣。采取補償?shù)姆椒?，擬合的方法，可以計算出精確的答案，其原因在于衰減直流分量雖 不是周期分量，但仍屬于精確的模型，可以擬合和補償。電力系統(tǒng)中的中低 壓網(wǎng)絡(luò)和不太長的 KV220 輸電線上短路時，上述條件基本上可以滿足。上述有關(guān)算法是基本上能滿足要求的。但是在較長的 KV220 和 KV500 輸電線上短路，或在有并聯(lián)補償電容的系統(tǒng)中短路時，會產(chǎn)生一些非整數(shù)倍數(shù)的諧波，這些諧波的頻率和幅值大小是隨機的，隨著短路地點，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等參數(shù)不 同而不同。由于這些隨機的頻率分量的存在，使得計算結(jié)果帶來很大的誤差，其大小從百分之幾到百分之幾十不等。在這種情況下，一些適合于隨機模型的算法應(yīng)運而生。下面是較主要的幾種。 最小二乘算法 最小濾波二乘算法原理 最小二乘濾波算法在實用上，最常用的模型是線性化的衰減直流分 量 加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的 諧波分量 。對帶有衰減直流分 量 的周期函數(shù)，或?qū)Ψ侵芷诤瘮?shù)作周期延拓的情況下，這種方法與傅氏算法結(jié)果是 一 樣的。該算法 是 假定輸入信號是由衰減直流分 量 和有限項的 整數(shù) 倍諧波分量組成的，將輸入信號最大限度地擬合于這一函數(shù)模型，并將擬合過程中剩余的部分作為誤差量，使其均方值減到最小。因此，該算法也存在誤差。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量 。 最小二乘算法是將輸入的暫態(tài)電氣量與一個預(yù)設(shè)的含有非周期分量及某些諧波分量的函數(shù)按最小二乘方原理進行擬合 (即使被處理的函數(shù)與預(yù)設(shè)函數(shù)盡可能 逼近，其總方差 E 2或最小均方差 minEN 為最小 )，從而可求出輸 入信號中的基頻及 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 31 各種暫態(tài)分量的幅值和 相角。設(shè)擬合函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?? ??? ??? Nn InRn tnXtnXeXty 1 c o ss in10 ??? (51) 式中， nRX ， InX 分別為 n 次諧波信號的實部和虛部，即 nnRn XX ?cos? ， nnIn XX ?sin? ；nX ， n? 分別為信號的幅值和初相角； 0X ， ? 為衰減非周期分量的起始值和時間常數(shù)。 設(shè)采樣周期為 sT ，將式 (233)用離散采樣值表示為 ? ? ? ? ? ?? ??? ???? Nn sInsRn iTnXiTnXiT seXiy 1 c o ss i n0 ??? (52) 其矩陣形式為 ?? ??XiAiy ? (53) 其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ?? i T sni T sni T si T seiA iT s ????? c o s,s i n,c o s,s i n, ， (54) ? ?TINRNIR XXXXXX , 110 ，?? (55) 式 （ 52） 用指數(shù)形式擬合信號中的非周期分量，將衰減非周期分量項 展開為泰勒級數(shù)，取前三項得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ???? ? Nn sInsRN iTnXiTnXi T sXi T sXiy X 1200 c o ss i n220 ???? (56) 則 ??iA ， X 分別為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?i T sni T sni T si T si T si T siA ???? c o s,s i n,c o s,s i n,2,1 ?? (57) TINRNIR XXXXXXXX ?????? ??? ,,22, 11000 ?? (58) 在上述式中，設(shè) X 的維數(shù)為 m ，當 ,2,1?i ?， k 時，可將此 k 個方程寫成矩陣形式1*1** * kmmk YXA ? (59) mk? ，當 mk? 時，利用偽矩陣可得未知數(shù)的解為 1**1* * kmkm YAX ? 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 32 式中， A? 是 A 的偽逆矩陣 ? ? 1* TTA A A A??? (510) 根據(jù)式 ? ?95? 即可求出 X 向量中的所有元素，但通常在實際應(yīng)用中往往不需要計算所有的未知數(shù)。如對采用二次諧波制動原理的變壓器差動保護只要求計算出基波和二次諧波，因此只需要計算 A? 中的第 4,5,6,7行乘 Y ，即可得 出2211 , IRIR XXXX ，則基波和二次諧波的幅值就可以用以下式計算出： 2,1,22 11 ??? iXXX IRi (511) 當 應(yīng)用于阻抗計算的時候，可將 X 以電壓和電流代入分別計算 A? 的 4,5行乘Y ，即可以求出電流，電壓的幅值為： ? ?UmUUmUUUm UXUXXXU 55445242 s i n,c o s ?? ???? (512) ? ?UIUIII XXXX 5m54m45242m s i nI,c o sII ?? ???? (513) 從而求出保護安裝處至短路點的阻抗為 IIIUIU XX XXXXIUR52425544Re ?????????? (514) IIIUIU XX XXXXIUX52425445Im ?????????? (515) 最小二乘算法性能分析 最小二乘方算法是將輸入的暫態(tài)電氣量與一個預(yù)設(shè)的含有非周期分量及其某些諧波分量的函數(shù)按最小二乘方（或最小 平方誤差）的原理進行擬合，使被處理的函數(shù)與預(yù)設(shè)函數(shù)盡可能逼近，其總方差或最小均方差為最小，從而可求出輸入信號中的基頻及各種暫態(tài)分量的幅值和相角。最小二乘算法有以下兩個特點： （ 1）可以任意選擇擬合預(yù)設(shè)函數(shù)的模型，從而可以消除輸入信號中任意需要消除的暫態(tài)分量（包括衰減的直流分量和各種整數(shù)次甚至分次諧波分量），而這只需要在預(yù)設(shè)模型中包括這些分量即可，因而使這種算法可能獲得很好的濾波性能和很高的精度。同時，可以利用一個預(yù)設(shè)函數(shù)擬合，同時計算輸入信號中各種所需計算的分量。如在變壓器差動保護中，不僅需要計算出基波分量的 大小，有時還需計 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 33 算出二次諧波（作為涌流時制動用）、三次諧波（如作為過勵磁制動用）的大小等。（ 2）最小二乘算法的精度一方面受數(shù)據(jù)窗大小影響，數(shù)據(jù)窗越大，精度越高；另一方面，受選擇的擬合函數(shù)模型影響，模型包含的諧波次數(shù)越多，精度就越高，但表達式也越復(fù)雜，計算量也越大，因而在實用中還需在精度與速度之間仔細權(quán)衡。 最小 二 乘算法從頻域的角度來 說 相當于一 全 零點濾波器。當擬合 函數(shù) 包含有第 j次諧波分量時，相當于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點。常規(guī)最小二乘算法在實際使用時，其擬合模型的選擇應(yīng)與前置低通濾波器相配合，使得未包含 于擬合模型中的高頻分量能夠得到很好抑制，然而，就目前所采用的各類低通濾波器而言，為保證算法具有較好的估計精度，擬合 模型 不得不擴大以包含所有通過低通濾波器的諧波分量，這將使得計算量顯著增加，數(shù)據(jù)窗也較長。因此，最小二乘算法未能在微機距離保護中得到廣泛采用。 卡爾曼濾波算法 卡爾曼濾波算法 原理 卡爾曼濾波是由 Girgis和 Brown首次引入微機保護中。卡爾曼濾波算法，也稱卡爾曼最佳線性估計，是從另一種最小均方估計誤差的角度出發(fā)，以遞推的形式實現(xiàn)。它是從短路的暫態(tài)信號中，通過不斷的“預(yù)測 修正”遞推運算最優(yōu)地估計出基頻相量?？柭鼮V波用在多狀態(tài)變量的估計上，需要矩陣運算，一般的微型機很難滿足速度上的要求，致使卡爾曼濾波在微機距離保護上的應(yīng)用在較長時間里，始終處在理論研究階段。直到超大規(guī)模集成電路技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了 DSP等高性能向量信號處理器時，卡爾曼濾波算法才得以實際應(yīng)用。 卡爾曼濾波算法的基本思想是根據(jù)某一系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程，用估值算法對某個時刻的狀態(tài)進行估計。估計的基本思路是：首先由前一采樣時刻的估計值估計當前的估計值，然后用當前的觀測值對它進行修正，這樣，以遞推方式逐步逼近 真值。 卡爾曼濾波的出發(fā)點是將故障信號中的基波分量看成是有效成分，而將故障信號中的高次諧波、低次諧波分量及衰減非周期分量作為噪聲來處理，從含有噪聲的測量中，通過不斷的預(yù)測修正運算，最優(yōu)地估計出 50Hz電流和電壓相量。這 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 34 種技術(shù)充分發(fā)揮了計算機所具有的記憶、高速運算和邏輯判斷能力，利用參數(shù)變化的隨機性和先驗統(tǒng)計特性，大大地提高了估計的 準確性。 設(shè)有線性系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀 SSS態(tài)方程為： 1111/ ???? ???? kkkkkk xx ? (516) 其系統(tǒng)量測方程為： ? ?1, ???? kvxH kkkk (517) 式中， kx ， kZ 分別為系統(tǒng) n 維狀態(tài)變量和 m 維量測變量。