勾股定理數(shù)學(xué)小論文-資料下載頁
2025-10-04 11:41本頁面
【正文】 互質(zhì)的整勾股數(shù)組。這也是我們中國古代數(shù)學(xué)家的一項杰出成就。無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“?故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！笔裁词恰肮?、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作“商高定理”。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《周髀算經(jīng)》上說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！薄按藬?shù)”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時發(fā)現(xiàn)的。勾股定理的應(yīng)用非常廣泛。我國戰(zhàn)國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災(zāi)，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也?！边@段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)害，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。勾股定理的歷史勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說：“ 數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩39。得到的一條直角邊‘勾39。等于3，另一條直角邊’股39。等于4的時候，那么它的斜邊39。弦39。就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵?！?如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)?。在稍后一點的《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間）（上圖），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）。趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。
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