選修4-5----不等式選講測試題-資料下載頁
2025-10-02 22:28本頁面
【正文】 以直接利用它的結(jié)果來解。第二種類型。設a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間(165。,a),(a,165。)的并集。如圖12所示。–a a圖12 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。課 題：平均值不等式一、引入：定理1：如果a,b206。R，那么a2+b2179。2ab（當且僅當a=b時取“=”）證明：a2+b22ab=(ab)2當a=b時，(ab)2=0252。22253。222。a+b179。2ab 2當a185。b時，(ab)0254。1．指出定理適用范圍：a,b206。R 強調(diào)取“=”的條件a=b。定理2：如果a,b是正數(shù)，那么a+b）179。ab（當且僅當a=b時取“=”證明：∵(a)2+(b)2179。2ab ∴a+b179。2ab即：a+ba+b179。ab 當且僅當a=b時 =ab 22 注意：1．這個定理適用的范圍：a206。R+；2．語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。定理3：如果a,b,c206。R+，那么a3+b3+c3179。3abc（當且僅當a=b=c時取“=”）證明：∵a3+b3+c33abc=(a+b)3+c33a2b3ab23abc=(a+b+c)[(a+b)2(a+b)c+c2]3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+2ab+b2acbc+c23ab] =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)=1(a+b+c)[(ab)2+(bc)2+(ca)2] 2∵a,b,c206。R+ ∴上式≥0 從而a3+b3+c3179。3abc 指出：這里a,b,c206。R+ ∵a+b+c0就不能保證。推論：如果a,b,c206。R+，那么a+b+c3（當且僅當a=b=c時取“=”）179。abc。證明：(3a)3+(3b)3+(3c)3179。33a3b3c222。a+b+c179。33abca+b+c3179。abc3算術(shù)—幾何平均不等式： 222。①．如果a1,a2,L,an206。R+,n1且n206。N+ 則：na1+a2+L+an叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1a2Lan叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)；②．基本不等式： a1+a2+L+an≥na1a2Lan（n206。N*,ai206。R+,1163。i163。n）n這個結(jié)論最終可用數(shù)學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。a+b③．179。ab的幾何解釋：2以a+b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’^AB 則CD2=CACB=ab，a+b從而CD=ab，而半徑179。CD=ab。2課 題：不等式的證明方法之一：比較法課 題：不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法課 題：不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式DAaOCbB 4第五篇：選修45 不等式選講[真題感悟]范文選修45 不等式選講[真題感悟]1．(2013山東卷)在區(qū)間[－3，3]上隨機取一個數(shù)x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率為________．解析 由絕對值的幾何意義知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值為x∈[1，3]，由幾何概型知所求概率為P＝1答案 32．(2013重慶卷)若關于實數(shù)x的不等式|x－5|＋|x＋3|解析 因為|x－5|＋|x＋3|表示數(shù)軸上的動點x到數(shù)軸上的點－3，5的距離之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以當a≤8時，|x－5|＋|x＋3|答案(－∞，8]3．(2013湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________．解析 ∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋1369c2≥3a＋2b＋3c)2＝312.∴a2＋4b2＋ 124．(2013陜西卷)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(aman＋bmbn)2＝mn(a＋b)2＝ 2[考題分析]題型 填空題、解答題難度 低檔 絕對值不等式的求解問題、－121＝＝.3＋363
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