【導(dǎo)讀】進行采樣也能實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)。該理論突破了傳統(tǒng)的以Nyquist定理為基準(zhǔn)的信。號處理方法，實現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時對其進行適當(dāng)?shù)膲嚎s，克服了采樣數(shù)據(jù)量大，為求解一個優(yōu)化問題。維、二維信號進行了重建仿真。

　　

【正文】 t i m e = 1 . 8 0 1 s e c FD R , s a m p = 3 9 . 8 4 3 8 % t i m e = 0 . 7 0 5 s e c 圖 原始圖像與 BP、 OMP、 STOMP_FDR 恢復(fù)對比圖 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 26 頁 圖 從圖像的重構(gòu)質(zhì)量上可以看出， OMP 的重建效果次于 BP 算法 但優(yōu)于STOMP_FDR 算法。但從重建時間來看， OMP 算法次于 STOMP_FDR 但明顯優(yōu)于BP 算法。由此表明： OMP 算法能夠兼顧重構(gòu)時間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實用的重建算法。 結(jié)論 從上面一維信號到二維圖像的壓縮感知重建仿真可以得出以下結(jié)論： （ 1） 正交匹配算法對一維信號有很優(yōu)秀的還原恢復(fù)。 （ 2） 對于二 維圖像信號，正交匹配算法（ OMP）的重構(gòu)不是最好，但它的重建時間比較短，雖然基追蹤（ BP）的還原圖像是最清晰的，但它的重建時間遠遠高于其它兩種算法。而分段正交匹配追蹤 FDR 閾值算法（ STOMP_FDR）雖然時間短，但恢復(fù)圖像效果是其中最差的一個。 （ 3） OMP 算法能夠兼顧重構(gòu)時間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實用的重建算法。所以， 正交匹配追蹤算法對于圖像重建要求不是特別高的場合還是比較通用的。西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 27 頁 結(jié)束語 近年來，信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了一種新的信息采樣理論 —— 壓縮感知。它利用原始圖像或信號的稀疏性先驗知識，通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算 法，可以由少量的觀測值或采樣值對信號進行精確重建。該理論突破了傳統(tǒng)的以 Nyquist 定理為基準(zhǔn)的信號處理方法，實現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時對其進行適當(dāng)?shù)膲嚎s，進一步降低了信號處理的時間和器件成本。目前該領(lǐng)域有很多方面的問題值得研究，其中一個關(guān)鍵部分是重構(gòu)算法，它直接決定著重構(gòu)信號的質(zhì)量及重構(gòu)速度、應(yīng)用效果。尋求有效的重構(gòu)方法也是研究者一直在進行的工作。 本文深入了解了壓縮感知理論及國內(nèi)外現(xiàn)有的重建算法之后，著重對其中的正交匹配追蹤重建算法展開了工作，主要工作總結(jié)如下： 在總結(jié)現(xiàn)有的幾種算法及模型如最小 L0 范數(shù)模型 ， OMP 算法， MP 算法的基礎(chǔ)之上，分別從一維信號和二維可壓縮信號的角度考察 OMP 算法的重建效果及運行時間。利用 Matlab 語言搭建了仿真平臺，對 OMP 算法重建圖像進行了仿真研究。 作為壓縮感知理論的核心，重建算法還有很多問題亟待解決，目前重構(gòu)算法有以下幾個問題： 1）雖然最小 L1 范數(shù)法的重構(gòu)效果很好，但是它的重構(gòu)時間較長，不能應(yīng)用于大規(guī)模的實際問題中。因此需要研究基于最小 L1 范數(shù)算法的快速算法，做到重構(gòu)效果與時間發(fā)的統(tǒng)一。 2）貪婪系列算法雖然計算簡單，實現(xiàn)方便，重建效果也較好，但是它不能直接求解原始的優(yōu)化 問題，在重構(gòu)質(zhì)量上還次于基于最小 L1 范數(shù)的算法。 OMP 算法在原子的選取方面就存在缺陷，因此，在貪婪算法方面還需要繼續(xù)研究。 3）測量矩陣的選取與重構(gòu)算法也密切相關(guān)，測量矩陣的好壞直接影響到重構(gòu)信號的質(zhì)量。我們通常采用高斯隨機矩陣，但是很難硬件實現(xiàn)，不具有實際應(yīng)用的意義。以此尋求好的測量矩陣也是需要進一步研究的方面。 4）該理論只針對可壓縮或者稀疏的信號才有效果，但是大多數(shù)自然信號不具有稀疏性，由正交變換性質(zhì)可知，我們首先需要對信號進行正交變換，然后才能對信號進行下一步的處理。因此正交變換也是壓縮感知中的一個 重要方面。正交變換選取的合適與否直接關(guān)系到信號是否滿足稀疏度的要求，從而會影響到信號是否能被精確重建，因此選取合適的正交變換基也是重建算法需要考慮的一個重要部分。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 28 頁 致謝 時間如梭，轉(zhuǎn)眼畢業(yè)在即。回想在大學(xué)求學(xué)的四年，心中充滿無限感激和留戀之情。感謝母校為我們提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，使我們能夠在此專心學(xué)習(xí)，陶冶情操。值此本科學(xué)位論文完成之際 ， 謹向我的論文指導(dǎo) 老師 致以最誠摯的謝意！ 感謝她 在忙碌的教學(xué)工作中擠出時間來審查、修改我的論文。本文的寫作 是在她 的悉心指點下 ，從論文的選題到體系的安排，從觀點推敲到字句斟酌， 都 凝聚著 她 的心血。 再者，感謝 教過我的所有老師們， 他們 嚴謹細致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣 ； 他們循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。滴水之恩，當(dāng)以涌泉相報，師恩重于山，師恩難報。我只有在今后的學(xué)習(xí)、工作中，以鍥而不舍的精神，努力做出點成績，以 不負恩師的厚望 。 另外，我必須感謝我的父母。言樹之背，養(yǎng)育之恩，無以回報。作為他們的孩子，我秉承了他們樸實、堅韌的性格，也因此我有足夠的信心和能力戰(zhàn)勝前進路上的艱難險阻；也因為他們的日夜辛勞，我才有機會如愿完成自己的大學(xué)學(xué)業(yè)，進而取得進一步發(fā)展的 機會。 最后，我必須感謝我的 朋友 ， 正是因為他們的無私幫助， 我 才 得以順利完成該論文 。西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 29 頁 參考文獻 [1]李樹濤 ,魏丹 .壓縮傳感綜述 .自動化學(xué)報 ,20xx,35(11):13691377. [2]邵文澤 ,韋志輝 ,肖亮等 .壓縮感知基本理論：回顧與展望 .中國科技論文在線 . [3] 金堅 , 谷源濤 , 梅順良 . 壓 縮 采 樣 技 術(shù) 及 應(yīng) 用 . 電 子 與 信 息 學(xué)報 ,20xx,62(2):470475 [4]石光明 .劉丹華 .高大化 .劉哲 .林杰 .王良君 壓縮感知理論及其研究進展 ACTA Electronica Sinica 20xx， 37(5) [5]沙威 .“ 壓縮傳感 ” 引論 . [6]何雪云 ,宋榮芳 ,周克琴 .基于壓縮感知的 OFDM 系統(tǒng)系數(shù)信道估計新方法研究 .南京郵電大學(xué)學(xué)報 ,20xx,30(2):6065 [7]Justin Romberg. Imaging via Compressive Sampling. IEEE Signal Processing Magazine,20xx,1420 [8]張銳 基于 壓縮感知理論的圖像壓縮初步研究 Computer Knowledge And Technology 20xx， 6(4) [9]喻玲娟 .謝曉春 壓縮感知理論簡介 Video Engineering 20xx， 32(12) [10]張春梅 .尹忠科 .肖明霞 基于冗余字典的信號超完備表示與稀疏分解 科學(xué)通報 20xx(06) [11]Joel and Anna Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit， IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY,VOL. 53,NO. 12 [12]DONOHO Y Extensions of pressed sensing 20xx(03) [13]E Candes and J Romberg, Quantitative robust uncentainty principles and optimally sparse depositions[J]. Foundations of Comput Math, 20xx, 6(2): 227254． [14]李小波 .基于壓縮感知的測量矩陣研究 . 北京交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 . 20xx: 6 [15]石光明，劉丹華，高大化 . 壓縮感知理論及研究進展 . 電子學(xué)報 . 20xx, 37(5): 10751076 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 30 頁 附錄 一 源程序清單 程序 1：一維原始信號的生成程序： clc。clear %% K=7。 % 稀疏度 (做 FFT 可以看出來 ) N=256。 % 信號長度 M=64。 % 測量數(shù) (M=K*log(N/K),至少 40,但有出錯的概率 ) f1=50。 % 信號頻率 1 f2=100。 % 信號頻率 2 f3=200。 % 信號頻率 3 f4=400。 % 信號頻率 4 fs=800。 % 采樣頻率 ts=1/fs。 % 采樣間隔 Ts=1:N。 % 采樣序列 x=*sin(2*pi*f1*Ts*ts)+*sin(2*pi*f2*Ts*ts)+*sin(2*pi*f3*Ts*ts)+*sin(2*pi*f4*Ts*ts)。 % 完整信號 plot(x,39。r39。) % 原始信號 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 31 頁 程序 2：一維 重 建 信號的 生成 clc。clear %% 1. 時域測試信號生成 K=7。 % 稀疏度 (做 FFT 可以看出來 ) N=256。 % 信號長度 M=64。 % 測量數(shù) (M=K*log(N/K),至少 40,但有出錯的概率 ) f1=50。 % 信號頻率 1 f2=100。 % 信號頻率 2 f3=200。 % 信號頻率 3 f4=400。 % 信號頻率 4 fs=800。 % 采樣頻率 ts=1/fs。 % 采樣間隔 Ts=1:N。 % 采樣序列 x=*sin(2*pi*f1*Ts*ts)+*sin(2*pi*f2*Ts*ts)+*sin(2*pi*f3*Ts*ts)+*sin(2*pi*f4*Ts*ts)。 % 完整信號 %% 2. 時域信號壓縮傳感 Phi=randn(M,N)。 % 測量矩陣 (高斯分布白噪聲 ) s=Phi*x.39。 % 獲得線性測量 %% 3. 正交匹配追蹤法重構(gòu)信號 (本質(zhì)上是 1范數(shù)最優(yōu)化問題 ) m=2*K。 % 算法迭代次數(shù) (m=K) Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N)。 % 傅里葉正變換矩陣 T=Phi*Psi39。 % 恢復(fù)矩陣 (測量矩陣 *正交反變換矩陣 ) hat_y=zeros(1,N)。 % 待重構(gòu)的譜域 (變換域 )向量 Aug_t=[]。 % 增量矩陣 (初始值為空矩陣 ) r_n=s。 % 殘差值 for times=1:m。 % 迭代次數(shù) (有噪聲的情況下 ,該迭代次數(shù)為 K) for col=1:N。 % 恢復(fù)矩陣的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)39。*r_n)。 % 恢復(fù)矩陣的列向量和殘差的投影系數(shù) (內(nèi)積值 ) end [val,pos]=max(product)。 % 最大投影系數(shù)對應(yīng)的位置 Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]。 % 矩陣擴充 T(:,pos)=zeros(M,1)。 % 選中的列置零（實質(zhì)上應(yīng)該去掉，為了簡單我把它置零） aug_y=(Aug_t39。*Aug_t)^(1)*Aug_t39。*s。 % 最小二乘 ,使殘差最小 r_n=sAug_t*aug_y。 % 殘差 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 32 頁 pos_array(times)=pos。 % 紀錄最大投影系數(shù)的位置 end hat_y(pos_array)=aug_y。 % 重構(gòu)的譜域向量 hat_x=real(Psi39。*hat_y.39。)。 % 做逆傅里葉變換重構(gòu)得到時域信號 %% figure(1) hold on。 plot(hat_x,39。39。) % 重建信號 plot(x,39。r39。) % 原始信號 legend(39。Recovery39。,39。Original39。) norm(hat_x.39。x)/norm(x) % 重構(gòu)誤差