【正文】 n a l西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 22 頁(yè) 也能精確恢復(fù)原始信號(hào)，相對(duì)誤差小在 左右 ，而且具有很好的收斂性。 OMP 算法的 Matlab 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn) 因?yàn)?OMP 算法只能對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)，所以為了實(shí)現(xiàn)對(duì) OMP 的仿真，首先需要將圖片轉(zhuǎn)換為稀疏信號(hào)，如 FFT、 DCT、小波變換等，在本文中采取小波西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 18 頁(yè) 變換，然后將得到的稀疏信號(hào)與測(cè)量矩陣相乘得到測(cè)量值 Y， 然后通過(guò) OMP 算法，根據(jù) Y 精確重建出原始信號(hào)最后經(jīng)過(guò)小波反變換得到原始圖像。 本文后面的仿真就是采用基于壓縮感知的正交匹配追蹤算法來(lái)重建圖像的。因而，在最小化驅(qū)動(dòng)的壓縮感知理論完善工作的基礎(chǔ)上，希望能夠基于稀疏性自適應(yīng)的貪婪迭代和基于多層超先驗(yàn)建模的非凸迭代思想設(shè)計(jì)適于噪聲情形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重建算法。 (2)硬件易實(shí)現(xiàn)的確定性測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)。壓縮感知理論的大部分文獻(xiàn)中，測(cè)量矩陣 ? 都是線性的且設(shè)計(jì)好的 ， 不需根據(jù)觀測(cè)信號(hào)自適應(yīng)地變化。 ? 基礎(chǔ)理論層面： （ 1） 基于非 正交稀疏字典的壓縮感知信號(hào)重建理論。 CS 理論自從被 （美國(guó)科學(xué)學(xué)院院士） ( 創(chuàng)始人 )及 (華裔科學(xué)家， 20xx 年菲爾茨獲獎(jiǎng)得主， 20xx 年被評(píng)為世界上最聰明的科學(xué)家 )等人提出后，在信息論、信號(hào) /圖像處理、醫(yī)療成像、模式識(shí)別、地質(zhì)勘探、光學(xué) /雷達(dá)成像、無(wú)線通信等領(lǐng)域受到 高度關(guān)注，并被美國(guó)科技評(píng)論為 20xx 年度 10 大科技進(jìn)展之一 [14]。然而由于壓縮重構(gòu)算法的計(jì)算量比較大，難以達(dá)到實(shí)時(shí)性要求，因此實(shí)時(shí)高性能壓縮感知成像系統(tǒng)是未來(lái)重要的研究方向?；?ROMP算法和 SAMP算法的突出優(yōu)勢(shì)。 20xx年 Donoho等人提出了分段正交匹配追蹤 (STOMP， Stagewise OMP)算法。 Chen， Donoho和 Saunders指出，求解一個(gè)更加簡(jiǎn)單的 1l 優(yōu)化問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生同等的解(要求 ?和 ? 不相關(guān) )： 1min TX? . CS TA X X Y? ?? ? (式 ) 稍微的差別使得問(wèn)題變成了一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，于是可以方便地化簡(jiǎn)為線性規(guī)劃問(wèn)題，典型算法代表： BP算法．盡管 BP算法可行，但在實(shí)際應(yīng)用中存在兩個(gè)問(wèn)題：第一，即使是常見(jiàn)的圖像尺寸， BP算法的計(jì)算復(fù)雜度也難以忍受，在采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)滿足 M cK? ， ? ?2log / 1c N K??時(shí)，重構(gòu)計(jì)算復(fù)雜度的量級(jí)在 3()ON ；第二，由于 1?范數(shù)無(wú)法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置，所以盡管整體上重構(gòu)信號(hào)在歐氏距離上逼近原信號(hào)，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)一些人工效應(yīng)，如一維信號(hào)會(huì)在高頻出現(xiàn)振蕩。 信號(hào)重構(gòu) 如何設(shè)計(jì)快速重構(gòu)算法，從線性觀測(cè) CSY A X? 中恢復(fù)信號(hào)，是第三步要將解決的問(wèn)題，即信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題。隨機(jī)高斯矩陣具有一個(gè)有用的性質(zhì)：對(duì)于一個(gè) MN? 的隨機(jī)高斯矩陣 ? ，可以證明當(dāng) M≥ cKlog(N／ K)時(shí) T CSA?? ? 在很大概率下具有 RIP性質(zhì) (其中 c是一個(gè)很小的常數(shù) )。從中可以看出，問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定非零系數(shù)的位置來(lái)構(gòu)造出一個(gè)可解的 MK? 線性方程組。 顯然，如果觀測(cè)過(guò)程破壞了 X 中的信息，重構(gòu)是不可能的。 在構(gòu)造冗余字典方面，文獻(xiàn) [7]中提出使用局部 Cosine基來(lái)刻畫(huà)聲音信號(hào)的局部頻域特性；利用 bandlet基來(lái)刻畫(huà)圖像中的幾何邊緣；還可以把其它的具有不同形狀的基函數(shù)歸入字典，如適合刻畫(huà)紋理的 Gabor基、適合刻畫(huà)輪廓的 Curvelet基等等。即在某個(gè)正交基字典里，自適應(yīng)地尋找可以逼近某一種信號(hào)特征的最優(yōu)正交基，根據(jù)不同的信號(hào)尋找最適合信號(hào)特性的一個(gè)正交基，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換以得到最稀疏的信號(hào)表示。 圖 壓縮感知理論 的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程框圖。如果 ? 的非零個(gè)數(shù)比 N 小很多，則表明該信號(hào)是可壓縮的。 CS 理論利用到了許多自然信號(hào)在特定的基 ? 上具有緊湊的表示。此外在壓縮編碼過(guò)程中，大量變換計(jì)算得到的小系數(shù)被丟棄，造成了數(shù)據(jù)計(jì)算和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。 第三章： 正交匹配追蹤重建算法。自從 20xx 年 CS 的提出，在 IEEE 的信號(hào)處理匯刊、信號(hào)處理快報(bào)匯刊、信號(hào)處理雜志、信息論匯刊等國(guó)際知名期刊上開(kāi)始涌現(xiàn)出上百篇關(guān)于 CS 理論與應(yīng)用方面的文獻(xiàn)。 在 20xx 年 Donoho 等人針對(duì)稀疏性信號(hào)，提出了壓縮感知（ Compressive sensing,簡(jiǎn)稱 CS）理論。 Sparse transform。該理論表明，用遠(yuǎn)低于 Nyquist 采樣定理要求的頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣也能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)。s. This theory is under the condition that the signal is pressible or sparse. In this case, using far less than the required sampling frequency of the Nyquist theory to sample the signal is able to accurately reconstruct the theory breaks though the traditional Nyquist sampling theory, which overes a lot of problems such as a great number of sampling data, time wasting, data storage space wasting and so on. As a result, it reduces signal processing cost and device cost. The pressed theory has three key sides: (1) Sparse transformation, for a non sparse signal, we need to find a proper orthogonal basis on which the signal has a sparse representation。如何高效處理這些數(shù)據(jù)并且最大限度的節(jié)省存儲(chǔ)空間 及傳輸成本已成為目前信息領(lǐng)域進(jìn)一步向前發(fā)展的主要瓶頸之一。信號(hào)的稀疏重建與壓縮感知理論有重大的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用前景，已經(jīng)成為信號(hào)領(lǐng)域中一個(gè)新的研究方向 [1]。首先介紹了壓縮感知理論的研究背景及意義，然后介紹了國(guó)內(nèi)外研究背景和現(xiàn)狀，最后整理出全文內(nèi)容的結(jié)構(gòu)安排。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 4 頁(yè) 第二章 壓縮感知理論相關(guān)知識(shí) 壓縮感知理論框架 傳統(tǒng)的信號(hào)采集、編解碼過(guò)程如圖 所示 。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 5 頁(yè) 圖 縮感知理論的編解碼框圖 壓縮感知的基本理論及核心問(wèn)題 壓縮感知，也被稱為壓縮傳感或壓縮采樣，是一種利用稀疏的或可壓縮的信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)的技術(shù) [3]。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，假定這些基是規(guī)范正交的。 Candes證明了只要信號(hào)在某一個(gè)正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率 ? ?MN?? 采樣信號(hào)，而且可以以高概率重構(gòu)該信號(hào)。 Candes和 Tao研究表明，滿足具有冪次速度衰減的信號(hào)，可利用壓縮感知理論得到恢復(fù)，并且重構(gòu)誤差滿足： 62? ( / l o g ) rrE X X C K N ?? ? ? ? (式 ) 其中 r=1/p– 1/2， 0p1. 文獻(xiàn) [6]指出光滑信號(hào)的 Fourier系數(shù)、小 波系數(shù)、有界變差函數(shù)的全變差范數(shù)、振蕩信號(hào)的 Gabor系數(shù)及具有不連續(xù)邊緣的圖像信號(hào)的 Curvelet系數(shù)等都具有足夠的稀疏性，可以通過(guò)壓縮感知理論恢復(fù)信號(hào)。從冗余字典中找到具有最佳線性組合的 K 項(xiàng)原子來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，稱作信號(hào)的稀疏逼近或高度非線性逼近。 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 8 頁(yè) 信號(hào)的觀測(cè)矩陣 如何設(shè)計(jì)一個(gè)平穩(wěn)的、與變換基 ? 不相關(guān)的 MN? 維的觀測(cè)矩陣 ? ，保證稀疏向量 ? 從 N 維降到 M 維時(shí)重要信息不遭破壞，是第二步要解決的問(wèn)題，也就是信號(hào)低速采樣問(wèn)題。對(duì)此，kk ff ?? ????? 112222 即有限等距性質(zhì)（ RIP）給出了存在確定解的充要條件。不相干性越強(qiáng)，互相表示時(shí)所需的系數(shù)越多；反之，相 關(guān)性則越強(qiáng)。 Donoho給出了觀測(cè)矩陣所必需具備的三 個(gè)條件 [9]，并指出大部分一致分布的隨機(jī)矩陣都具備這三個(gè)條件，均可作為觀測(cè)矩陣，如：部分 Fourier集、部分 Hadamard集、一致分布的隨機(jī)投影 (uniform Random Projection)集等，這與對(duì) RIP性質(zhì)進(jìn)行研究得出的結(jié)論相一致。因此，求解式（ )的數(shù)值計(jì)算極不穩(wěn)定而且是 NP難問(wèn)題。該方法針對(duì) BP、 MP和 OMP方法沒(méi)有考慮信號(hào)的多尺度分解時(shí)稀疏信號(hào)在各子帶位置的關(guān)系，是將稀疏系數(shù)的樹(shù)型結(jié)構(gòu)加以利用，進(jìn)一步提升了重構(gòu)信號(hào)的精度和求解的速度。 ROMP算法與 OMP算法的不同之處在于，該算法首先根據(jù)相關(guān)原子挑選多個(gè)原子作為候選集，然后從候選集中按照正則化 原則挑選出部分原子，最后將其并入最終的支撐集，從而實(shí)現(xiàn)了原子的快速、有效選擇。該相機(jī)具有一種全新的相機(jī)結(jié)構(gòu)，使用數(shù)字微鏡陣列完成圖像在偽隨機(jī)二值模型上線性投影的光學(xué)計(jì)算。使其在測(cè)量舉證的作用下，用遠(yuǎn)小于原圖像的數(shù)據(jù)量進(jìn)行計(jì)算得到融合結(jié)果還原為圖像表示，可節(jié)省中間融合所需的計(jì)算量，并且能夠更好地利用原圖像中像素間的內(nèi)在聯(lián)系，是一個(gè)非常值得研究的課題。基于 RIP理論，目前已研制出了一些設(shè)備，有萊斯大學(xué)研制的單像素相機(jī)和 A/I轉(zhuǎn)換器，麻省理工學(xué)院研制的編碼孔徑相機(jī)，耶魯大學(xué)研制的超譜成像儀，麻省理工學(xué)院研制的 MRI RF脈沖設(shè)備，伊利諾伊州立大學(xué)研制的 DNA微陣列傳感器。雖然基于線性投影的壓縮感知理論能夠直接應(yīng)用于自 然圖像這樣的復(fù)雜高維信號(hào)，但是由于沒(méi)有考慮到自然圖像的固有特性，諸如結(jié)構(gòu)多成分性、高階統(tǒng)計(jì)性等 ,對(duì)于自然圖像壓縮采樣本身沒(méi)有特殊的指導(dǎo)作用。目前，基于構(gòu)造方法的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)具有很好的理論支撐，正則化幾何方法、幾何多尺度分析、基于信息論的 “有效編碼假設(shè) ”為其奠定了堅(jiān)實(shí)廣闊的理論基礎(chǔ)。 （ 3） 噪聲情形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重 建算法 [15]設(shè)計(jì)。經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代，該信號(hào)便可以由一些原子線性表示。 OMP的重建算法是在給定迭代次數(shù)的條件下重建，這種強(qiáng)制迭代過(guò)程停止的方法使得 OMP需要非常多的線性測(cè)量來(lái)保證精確重建。 接下來(lái)，取 觀測(cè)向量 M 的長(zhǎng)度為 64，即采樣率 M/N= 對(duì)其進(jìn)行重建。原始信號(hào)進(jìn)行了小波變換后，變得更加稀疏，高頻段的信息基本沒(méi)了，這樣圖像縮小了很多，便于保存與傳輸?；粉櫵惴ň褪腔谝陨显韽亩_(dá)到重構(gòu)和對(duì)白噪聲去噪的目的。仿真如下圖 ： O r i g i n e i m a g e N = 6 5 5 3 6 B P , s a m p = 3 9 . 8 4 3 8 % t i m e = 5 7 . 0 3 8 s e cO M P , s a m p = 3 9 . 8 4 3 8 % t i m e = 1 . 8 0 1 s e c FD R , s a m p = 3 9 . 8 4 3 8 % t i m e = 0 . 7 0 5 s e c 圖 原始圖像與 BP、 OMP、 STOMP_FDR 恢復(fù)對(duì)比圖 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 26 頁(yè) 圖 從圖像的重構(gòu)質(zhì)量上可以看出， OMP 的重建效果次于 BP 算法 但優(yōu)于STOMP_FDR 算法。西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 27 頁(yè) 結(jié)束語(yǔ) 近年來(lái)，信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)了一種新的信息采樣理論 —— 壓縮感知。因此需要研究基于最小 L1 范數(shù)算法的快速算法，做到重構(gòu)效果與時(shí)間發(fā)的統(tǒng)一。正交變換選取的合適與否直接關(guān)系到信號(hào)是否滿足稀疏度的要求，從而會(huì)影響到信號(hào)是否能被精確重建，因此選取合適的正交變換基也是重建算法需要考慮的一個(gè)重要部分。我只有在今后的學(xué)習(xí)、工作中，以鍥而不舍的精神，努力做出點(diǎn)成績(jī)，以 不負(fù)恩師的厚望 。 % 信號(hào)長(zhǎng)度 M=64。 % 采樣序列 x=*sin(2*pi*f1*Ts*ts)+*sin(2*pi*f2*Ts*ts)+*sin(2*pi*f3*Ts*ts)+*sin(2*pi*f4*Ts*ts)。 % 信號(hào)頻率 1 f2=100。 % 測(cè)量矩陣 (高斯分布白噪聲 ) s=Phi*x.39。 % 迭代次數(shù) (有噪聲的情況下 ,該迭代次數(shù)為 K) for col=1:N。*s。 plot(hat_x,39。) norm(hat_x.39。) % 重建信號(hào) plot(x,39。 % 殘差 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 32 頁(yè) pos_array(times)=pos。*r_n)。 % 算法迭代次數(shù) (m=K) Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N)。 % 信號(hào)頻率 3 f4=400。r39。 % 信號(hào)頻率 1 f2=10