【導(dǎo)讀】決實(shí)際問(wèn)題的能力；③工作量的大?。虎苋〉玫闹饕晒皠?chuàng)新點(diǎn)；⑤寫作的規(guī)范程度；狀及地質(zhì)的不連續(xù)性。近十余年來(lái)，邊界元法已有很大發(fā)展，提供了求解煤巖體力學(xué)問(wèn)題。單而效率高的數(shù)值方法。對(duì)煤炭開采具有較大的工程意義和指導(dǎo)作用。本文首先介紹了邊界元的發(fā)展及基本原理，計(jì)算表明在地應(yīng)力與水平方向呈45°時(shí)，巷道變形較為明顯，容易失穩(wěn)，因此，在實(shí)際開挖時(shí)，應(yīng)盡量避免45°角方向開挖深部煤巖層巷道。邊界元法；煤巖體穩(wěn)定性；二維彈性問(wèn)題；間接邊界元法；直接邊界元法；

　　

【正文】 （ ） 代入（ ）式可以得到： 1 ( 1 )( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jVSu p u P Q f Q d V Q u P q t q d S q????(1 )( 。 ) ( ) ( )sij jS t P q u q dS q?? （ ） 對(duì)于待解問(wèn)題的真實(shí)解略去上標(biāo)（ 1），即可寫成 ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jVSu p u P Q f Q d V Q u P q t q d S q???? ( 。 ) ( ) ( )sij jS t P q u q dS q?? （ ） 這就是彈性理論的 Somigliana 等式，對(duì)無(wú)體積力情況則簡(jiǎn)化為： ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jSSu p u P q t q d S q t P q u q d S q???? （ ） 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 13 頁(yè) 由（ ）式我們得到了以下幾種結(jié)論，彈性理論的解的性質(zhì)大都可以這樣確定：邊界各點(diǎn)的位移 iu 與面力 it 全部已經(jīng)確定，則域內(nèi)任意點(diǎn)的位移也都隨之確定。這是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的理論方法，即把邊界上未知的量全部求 解出來(lái)。對(duì)于邊界元的方法我們?cè)谙乱徽逻M(jìn)行討論 本章小結(jié) 通過(guò)推導(dǎo)我們可以看出 建立邊界積分方程，然后對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行推廣，最后介紹Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式，從而對(duì)邊界元方程進(jìn)行理論研究，這樣求解一般問(wèn)題是，求解思路與方法就比較清晰。本章在列出彈性力學(xué)的微分提法即其偏微分方程邊值問(wèn)題的基礎(chǔ)上，介紹利用賦予力學(xué)意義的數(shù)學(xué)公式（即為公式化的力學(xué)規(guī)律）來(lái)推導(dǎo)邊界積分方程：由 Betti 功互等定理出發(fā)，利用 Kelvin 基本解，導(dǎo)出 Somigliana 等式，最終得到彈性力學(xué)的 邊界積分方程。 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 14 頁(yè) 3 幾種常見(jiàn)的邊界元方法 幾種常見(jiàn)的問(wèn)題 下面簡(jiǎn)單介紹幾種邊界元方法適用的問(wèn)題 半平面問(wèn)題 在平面應(yīng)變問(wèn)題的各向同性彈性半平面內(nèi)任意一點(diǎn)作用單位集中力所引起的位移和面力可表示成 Kelvin 解與輔助解之和，即： ( ) ( ) ( ) ( ),s s K s c s s K s cu u u t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 疊加輔助解后滿足半平面的直線邊界無(wú)面力作用的邊界條件。其中下標(biāo) ?? 代表在 P 點(diǎn)作用 x? 方向的單位集中力引起的 Q 點(diǎn) x? 方向的位移分量。 ()scu?? 的具體公式為： ? ?22( ) 2 1111 24() 1 2 1 212 24() 1 2 1 221 24( ) 222( 3 4 ) 2 418 ( 1 ) ( 3 4 ) l n( 3 4 ) 44( 1 ) ( 1 2 )( 3 4 ) 44( 1 ) ( 1 2 )( 3 418 ( 1 ) ( 3 4 ) l nscdscdscdscdR c x c x RuKR R Rr r c x R ruKRRr r c x R ruKRRuKR????? ? ??? ? ????? ????? ? ? ? ? ??????????? ? ? ? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ?2224) 2 4r c x c x rRR??? ?????? （ ） 其中（參看圖 ） 1 1 2 21 / 2 1 / 21121( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )( ) , ( )= ( ) 0 , = ( ) 01= a r c ta n ( ) , =8 ( 1 ) Gdr x Q x P R x Q x Px P x P x P x Pr r r r R Rc x P x x QRKR? ? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ?? ? ????? 相應(yīng)的面力分量為： ( ) (c)=s c stn?? ? ???? （ ） (c)s???? 為與上述位移輔助解對(duì)應(yīng)的應(yīng)力輔助解，其具體公式列出如下： 22 21 1 2( c ) 121112 4 62 ( R + 2c ) 2 ( 1 2 ) 16( 3x + c ) ( 1 2 )= + ssR x x r c x R rKR R R??? ???????????? 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 15 頁(yè) 2 221( c ) ( c )111 2 12 1 22 4 62 2 2 ( 1 2 ) 1612=sssx c x c x R c x RKrR R R???? ????? ? ? ?? ??????? ? ? ????? 2 2 2 2 21 2 2 2( c ) 121222 4 62 ( r +2c ) 2 + 2 ( 1 2 ) 16( x +3c ) ( 1 2 )= +ssR c r x r c x R rKR R R??? ???????? ????? 2221( c )221 1 22 4 62 6 2 ( 1 2 ) 1612ssc x c x x R c x rKrR R R??? ??? ? ? ?? ????? ? ? ? 22 21 2 1( c ) ( c ) 12212 2212 4 62 ( 2 + ) 2 ( 1 2 ) 16( 3x +c ) ( 1 2 ) +sssR c x r x R c x R rKR R R???? ????????? ? ? ???? ? ? 22 221( c ) 1222 2 2 4 62 4 2 2 ( 1 2 )3 1 2 16ssr c x c x R c x RKrR R R??? ????? ? ? ??????? ? ? ????? （ ） 其中 ? ?1 / 4 (1 )K ????。 當(dāng) p 點(diǎn)為半平面邊界線 2Ox 上的點(diǎn)時(shí)，上述由 Kelvin 解和輔助解疊加所得基本解即 Flamant 解，其公式可以寫成： ? ?()1 1 1 139。 2 (1 2 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? ? ?()1 2 1 239。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ? ?()2 1 2 139。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ?()2 2 2 239。 2 (1 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? () 2 ( , , )sF rt r rrn?? ? ?? ??? ? （ ） 其中 39。 1/ (2 )dKG?? 。這種解可用于 2Ox 上有外力作用的部分。 相應(yīng)的邊界積分方程為： 00 039。( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ,s s sC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q p?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )s F s F s FC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ( ) ( )39。39。( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) , 39。s F s Fu p q t q d q t p q u q d q p? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? （ ） 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 16 頁(yè) 其中 0? 為半平面內(nèi)部的邊界，例如空洞邊界， 39。? 為半平面邊界上有面力作用的部分。如圖 以上對(duì)于半平面問(wèn)題的基本解公式都是針對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題給出的，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題只要將公式中的泊松比 ? 改為 39。 / (1 )? ? ???即可。對(duì)于半空間問(wèn)題，如果在板空間的平面邊界有部分受外力作用，也可以做類似處理。 Flamant 問(wèn)題 我們首先建立一個(gè)各向同性的半平面，在這個(gè)半平面上作用一個(gè)集中力 f，這樣的問(wèn)題就是我們所研究的 Flamant 問(wèn)題，這一節(jié)我們就來(lái)用這種方法下的奇異解構(gòu)造邊界方程的邊界元方法。這種問(wèn)題一般應(yīng)用到固體力學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于 Flamant 問(wèn)題的說(shuō)明我們可以通過(guò)右圖可以看出： .Fy 代表沿 z 軸作用的線荷載，而它的單位為 :N/m。這樣的求解問(wèn)題，我們可以看成是平面求解問(wèn)題，很顯然，邊界元法降低 了求解問(wèn)題的維數(shù)。它的求解域?yàn)椋? ,0xy?? ? ? ? ?。 可以得到在 0y? 時(shí) 半平面的應(yīng)力為 : （ ） 位移為（其中 L 是常量） : ? ?yx 22Fu 1 2 a r c ta n2 π G2 y x yx x y????? ?? ? ? ????? ????? ? ?12 2 22yy 2 2 2Fu 2 12 π Gx y yLnL x y????? ? ? ????? ????? （ ） 得到在半平面邊界上，向量 i ji jtn?? 的分量為 : ? ?x yx xyt ????和 y yyt ?? ，的這樣我們可以得到單位外法線向量為 jn ， 而它的兩個(gè)方向的分量分別為為 : 0xn? 和1yn? 。通過(guò)方程 ()我們可以得到，在原點(diǎn) 0xy??不可以求解外，對(duì)于半平面上中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 17 頁(yè) 的任意一點(diǎn)，應(yīng)力大小為 0。也就是說(shuō)，在原點(diǎn)處，半平面受到的力是單一的。也就是前面所說(shuō)的集中力。這樣我們就可以建立下面的函數(shù)： 該函數(shù)定義如下： a r c ta n ta nyyA rc kxx ??? （ ） 為了得到在方程（ ）中位移分量，我們就必須得到反正切函數(shù) arctan /yx的值。 其中 tanyArc x 表示 arctan 的主值，有： / 2 t a n / / 2A rc y x??? ? ? ? （ ） k 由變量 x 和 y 決定，即 : 1 0 , 0001 0 , 0xykxy?????????當(dāng)當(dāng)當(dāng) （ ） 因此 arctan /yx的值位于 ? 和 +? 之間。對(duì)半無(wú)限區(qū)域 0y? ，該函數(shù)的值在 ? 和0 之間， 即有： arctan / 0yx? ??， y? （ ） 特別的，當(dāng) y=0 時(shí)，有： 0 , = 0a r c ta n = 0 0 , = 0xyyx xy????如 果如 果 （ ） 把這些結(jié)果代入（ ）的第一個(gè)方 程可得： ? ?1 2= , 0 , = 04xyu F x yG? ? ?1 2=+ , 0 , = 04xyu F x yG? （ ） 可以看出半平面表面位移在 x 方向的分量為一個(gè)定值，不隨著方向去改變。也就是說(shuō) 0yF ，（如圖 中所示）半平面上的點(diǎn)都會(huì)向著偏離 O 點(diǎn)的方向移動(dòng)。 相面對(duì) ()中的另外的一個(gè)方程進(jìn)行討論，令 =0y ，可以得到 : ? ?1= 。 = 0yyu F L n x L n L yG?? ???? （ ） 在（ ）方程中得到：位移 yu 在力 0yF 作用點(diǎn)為正無(wú)窮大，在遠(yuǎn)離這個(gè)作用點(diǎn)時(shí)越來(lái)越小。從而能夠