【正文】 ................................................................14 半平面問題 ...............................................................................................................14 Flamant 問題 ...........................................................................................................16 幾種常見的方法 ..................................................................................................................18 位勢(shì)問題的邊界元法簡介 ..........................................................................................18 位勢(shì)問題的間接法邊界積分方程 ...............................................................................19 虛應(yīng)力法建立的邊界積分方程 ...................................................................................21 位移間斷法建立的邊界積分方程 ...............................................................................22 本章小結(jié) .............................................................................................................................23 4 案例分析 ......................................................................................................................................24 案例 設(shè)計(jì)及軟件介紹 ..........................................................................................................24 計(jì)算模型 .............................................................................................................................25 參數(shù)設(shè)定及云圖分析 ...........................................................................................................25 .................................................................................................................28 本章小結(jié) .............................................................................................................................35 5 結(jié)論與展望 ...................................................................................................................................36 結(jié)論 ......................................................................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。常規(guī)邊界元的弱點(diǎn)更為明顯，舉例如下：邊界元方法求解問題時(shí)，所需要求解的代數(shù)方程是滿陣，而且是非對(duì)稱的，對(duì)于 1000 個(gè)邊界點(diǎn)的二維問題，大概需要計(jì)算 20xx 個(gè)自由度，這樣對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣就有 20xx0000個(gè)元素，其中元素是雙精度的，因此，每個(gè)系數(shù)矩陣占有 800M 的儲(chǔ)存空間。 1967 年， Rizzo 運(yùn)用了 BettiSomighana 公式建立彈性靜力學(xué)問題的邊界積分公式，指出了邊界位移和面 力的函數(shù)關(guān)系，這是文獻(xiàn)中最早的一篇關(guān)于直接邊界元方法的論文。 1977 年， Brebbia 和Banerjee 重新使用了邊界元法這個(gè)名稱，邊界元法從此有了明確的定義。 邊界元法在非線性問題方面的研究與應(yīng)用已經(jīng)涉及：非彈性力學(xué) (包括塑性、彈粘塑性、彈塑性、蠕變等 )、非彈性動(dòng)力學(xué)、非彈性斷裂動(dòng)力學(xué) 、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性殼體分析、非線性勢(shì)問題、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、含時(shí)間的非線性勢(shì)問題、非線性瞬態(tài)熱分析、材料非線性熱分析、非線性板殼分析、巖土力學(xué)、非線性瞬態(tài)波的傳插、非彈性有限變形等。其中， BEASY 在當(dāng)今邊界元應(yīng)用軟件市場(chǎng)可謂獨(dú)占鰲頭，在英國、美國、法國和日本等國的大學(xué)、研究所和公司得到了一定的應(yīng)用。 我國先后出版了多本有關(guān)邊界元法的專著，其中：面向工科專業(yè)的代表性的有杜慶華等 1989 年在高等教育出版社出版的《邊界積分方程 —— 邊界元法的力學(xué)基礎(chǔ)與工程應(yīng)用》，嵇醒等 1997 年在同濟(jì)大學(xué)出版社出版的《邊界元法進(jìn)展及通用程序》等；面向數(shù)學(xué)專業(yè)的有祝家麟 1991 年在科學(xué)出版社出版的《橢圓邊值問題的邊界元分析》，余德浩 1993 年在科學(xué)出版社出版的《自然邊界元方法的數(shù)值理論》等；與工程密切結(jié)合的有申光憲 20xx 年在科學(xué)出版社出版的《多極邊界元方法和軋制工程》等。 ) ( ) ( ) ( ) ,()sssPqP P q q q d S q P Vn n q??? ? ?????? ? ? ?????? 39。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。在實(shí)際應(yīng)用中 ，這兩組荷載與相應(yīng)的變形狀態(tài)中通常一組是待求的真實(shí)狀態(tài)，而另一組是為求解方便而引起的輔助狀態(tài)。 )sj ijt Q t P Q? ? ? ? ? ? ?, , , ,21 1 2 3 1 28 ( 1 ) ij i j i j j irr r r n r nrn? ? ??? ?????? ? ? ? ? ? ????????? （ ） 代入（ ）式可以得到： 1 ( 1 )( ) ( 。 2 (1 2 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? ? ?()1 2 1 239。 ) ( ) ( ) ( 。 其中 tanyArc x 表示 arctan 的主值，有： / 2 t a n / / 2A rc y x??? ? ? ? （ ） k 由變量 x 和 y 決定，即 : 1 0 , 0001 0 , 0xykxy?????????當(dāng)當(dāng)當(dāng) （ ） 因此 arctan /yx的值位于 ? 和 +? 之間。通過方程 ()我們可以得到，在原點(diǎn) 0xy??不可以求解外，對(duì)于半平面上中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 17 頁 的任意一點(diǎn)，應(yīng)力大小為 0。 ) ( ) ( ) ( 。 中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 14 頁 3 幾種常見的邊界元方法 幾種常見的問題 下面簡單介紹幾種邊界元方法適用的問題 半平面問題 在平面應(yīng)變問題的各向同性彈性半平面內(nèi)任意一點(diǎn)作用單位集中力所引起的位移和面力可表示成 Kelvin 解與輔助解之和，即： ( ) ( ) ( ) ( ),s s K s c s s K s cu u u t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 疊加輔助解后滿足半平面的直線邊界無面力作用的邊界條件。在無窮遠(yuǎn)處，在 p 點(diǎn)，應(yīng)力和位移都是有奇異性的，并且我們所求解的應(yīng)力狀態(tài)為 0，位移也趨于 0，并且應(yīng)力奇異性與集中力相似，在空間域內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn) Q （稱場(chǎng)點(diǎn)）處引起的 jx 方向位移分量。對(duì) 于非自共軛情況，應(yīng)取共軛算子 M 的基本解為權(quán)函數(shù)。 )( ) ( ) ( 。 不難得證，對(duì)于光滑邊界， ( ) 1/2cp? ，而對(duì)角點(diǎn) p 則 ( ) / (4 )cp ??? ， ? 為角點(diǎn)處在域內(nèi)一側(cè)度量的立體角（即內(nèi)角）的弧度數(shù)。 本章設(shè)計(jì)思路：首先建立邊界積分方程，然后對(duì) 一般問題進(jìn)行推廣，最后介紹Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式，從而對(duì)邊界元方程進(jìn)行理論研究。舉辦的依次為：日本的輕井澤（ 1987），北京清華大學(xué)（ 1988），日本東京的八王子（ 1990）北京清華大學(xué)（ 1991），日本北海道的札幌 (1992),上海同濟(jì)大學(xué)（ 1993），日本九州的福岡（ 1995），北京清華大學(xué)（ 1998）。 1988 年， Maekerle 和 Brebbia 在文獻(xiàn)中從軟件的來源、類型、應(yīng)用范圍、前后處中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 5 頁 理、元素庫、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準(zhǔn)備等多方面對(duì) 135 個(gè)邊界元法應(yīng)用軟件進(jìn)行了歸納。 在方法與應(yīng)用領(lǐng)域 : 70 年代以前，邊界元法的研究僅僅限于解決以下幾個(gè)方面的問題：流體力學(xué)、彈性靜力學(xué)、板彎曲問題、波的傳播、勢(shì)問題、斷裂力學(xué)等，而且對(duì)于一些問題的研究也只是初步的嘗試。同年， Symm 將直接邊界元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì) 問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻(xiàn)。同年， Jaswon 對(duì) Laplace 方程由勢(shì)理論建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻(xiàn)。 有優(yōu)點(diǎn)也會(huì)有缺點(diǎn)，邊界元方法在求解問題時(shí)需要知道基本解，也需要建立 Green函數(shù)并且一些問題的基本解釋不知道的，如非線性問題，因此，邊界元方法不能求解。 angle direction roadway excavation of deep coal strata. Key words: boundary element method。角方向開挖深部煤巖層巷道。相對(duì)于邊界元方法而言，比有限元方 法有很多優(yōu)勢(shì)：首先，在解決問題時(shí)，邊界元方法通過降低問題維數(shù)使求解問題更加簡單，比如把比較復(fù)雜的空間問題簡化為平面問題求解，這樣有效地降低了問題的難度。 1960 年，他完成了博士學(xué)位論文，并在其后發(fā)表了兩篇重要論文，提出了有任意形狀障礙的聲波脈沖的瞬態(tài)散射問題的邊界積分方程法。 這些成果對(duì)現(xiàn)代邊界元法的發(fā)展起了重要作用。 Hsiao 等人在邊界元法特別是 有限元和邊界元耦合方法的數(shù)學(xué)理論方面作了許多工作。 1985 年以來邊界元技術(shù)國際會(huì)議在世界各地舉行，它著重于邊界元計(jì)算技術(shù)的研究和應(yīng)用、包括工程應(yīng)用、計(jì)算技術(shù)和工業(yè)應(yīng)用等，為邊界元應(yīng)用軟件的發(fā)展起到促進(jìn)作用。在他的創(chuàng)導(dǎo)下，從 1985 年開始每 3 年舉行一次全國工程中邊界元法敘述會(huì)議。 中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 8 頁 2 邊界元法基礎(chǔ) 概述 本章通過介紹邊界元法的基本思想及其基本公式，結(jié)合地下礦山實(shí)例進(jìn)行模擬計(jì)算與分析，獲得了滿足采礦工程問題需要的、有實(shí)際意義的結(jié)果。 ) ( ) ( ) ( ) ,ss i i isc p p p q q P q q n q d S q p S? ? ? ? ???? ? ? ?? （ ） 其中 ,00( 。得出域內(nèi)解的積分公式為 ( 。 對(duì)于一般問題的推廣 對(duì)于二維域上的一般二階線性偏微分方程： ( ) 0,Lx? ? ? ?? （ ） 其中微分算子 L 為： L A B C?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ ） 即： ( ) , , 0 ,L A B C x A? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ ） 引入權(quán)函數(shù) ? ，按照加權(quán)余量格式，令： ( ) ( , , ) 0L d A B C d? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? （ ） 利用 Gauss 公式可得 ( ) ( , ) ( ) , ( ) , ( ) ,L d A n B n d A n d A B C d? ? ? ?