【正文】 比較復(fù)雜的空間問題簡(jiǎn)化為平面問題求解，這樣有效地降低了問題的難度。 展望 ......................................................................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。角方向開挖深部煤巖層巷道。近十余年來，邊界元法已有很大發(fā)展，提供了求解煤巖體力學(xué)問題的另一種數(shù)值方法，無論是處理復(fù)雜的非線性因素，邊界元法都具有它的特色，是一種簡(jiǎn)單而效率高 的數(shù)值方法。 angle direction roadway excavation of deep coal strata. Key words: boundary element method。邊界積分方程 —— 邊界元方法建立在有限元方法發(fā)展之后，成為了解決實(shí)際工程問題的一種有效而且比較廣泛的數(shù)值模擬理論。 有優(yōu)點(diǎn)也會(huì)有缺點(diǎn)，邊界元方法在求解問題時(shí)需要知道基本解，也需要建立 Green函數(shù)并且一些問題的基本解釋不知道的，如非線性問題，因此，邊界元方法不能求解。 邊界元法的發(fā)展可分如下幾個(gè)時(shí)期： 萌芽與奠基期 ( 1950— 1978 ) 50 年代初期， MuskhelishVili ( 1953 )將積分方程的方法用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析，Kellogg ( 1953 )用積分方程的方法求解 Laplace 的問題，這便是邊界元方法的前身。同年， Jaswon 對(duì) Laplace 方程由勢(shì)理論建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻(xiàn)。 Symm 在 70 年代對(duì)二維勢(shì)問題的邊界積分方程中的積分奇異性問題進(jìn)行了研究，并發(fā)展了計(jì)算軟件。同年， Symm 將直接邊界元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì) 問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻(xiàn)。大量論文和專著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。 在方法與應(yīng)用領(lǐng)域 : 70 年代以前，邊界元法的研究?jī)H僅限于解決以下幾個(gè)方面的問題：流體力學(xué)、彈性靜力學(xué)、板彎曲問題、波的傳播、勢(shì)問題、斷裂力學(xué)等，而且對(duì)于一些問題的研究也只是初步的嘗試。 在應(yīng)用軟件領(lǐng)域 : 邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應(yīng)用要通過計(jì)算程序來實(shí)現(xiàn)。 1988 年， Maekerle 和 Brebbia 在文獻(xiàn)中從軟件的來源、類型、應(yīng)用范圍、前后處中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 5 頁 理、元素庫、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準(zhǔn)備等多方面對(duì) 135 個(gè)邊界元法應(yīng)用軟件進(jìn)行了歸納。 （ 2）方法與應(yīng)用的開拓 隨著邊界元研究的深入，解決各種非線性問題的邊界元法己有不同程度地發(fā)展和完善，邊界元法的應(yīng)用范圍進(jìn)一步拓寬。舉辦的依次為：日本的輕井澤（ 1987），北京清華大學(xué)（ 1988），日本東京的八王子（ 1990）北京清華大學(xué)（ 1991），日本北海道的札幌 (1992),上海同濟(jì)大學(xué)（ 1993），日本九州的福岡（ 1995），北京清華大學(xué)（ 1998）。 巖體工程中邊界元的發(fā)展 巖體工程領(lǐng)域遇到的問題比較適合用邊界元的方法，對(duì)于一般的巖體工程問題，設(shè)定好邊界條件后就可以用邊界元方法進(jìn)行解決，但是，一般情況下，普通的邊界元方法只可以解決理想的彈性問題，并且要求巖體的材料是各向同性的，然而，在實(shí)際情況下，巖石是不能滿足理想狀態(tài)的，因此，邊界元方法不能廣泛的應(yīng)用于巖石工程領(lǐng)域，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，邊界元方法只是在理論領(lǐng)域有了較大的發(fā)展，而在工程實(shí)際應(yīng)用方面相對(duì) 落后，即使有研究實(shí)際工程問題的文獻(xiàn)，也只是簡(jiǎn)單的介紹，所以邊界元的發(fā)展在工程領(lǐng)域較慢。 本章設(shè)計(jì)思路：首先建立邊界積分方程，然后對(duì) 一般問題進(jìn)行推廣，最后介紹Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式，從而對(duì)邊界元方程進(jìn)行理論研究。V 內(nèi)趨于邊界點(diǎn) p，如圖 所示。 不難得證，對(duì)于光滑邊界， ( ) 1/2cp? ，而對(duì)角點(diǎn) p 則 ( ) / (4 )cp ??? ， ? 為角點(diǎn)處在域內(nèi)一側(cè)度量的立體角（即內(nèi)角）的弧度數(shù)。建立了這樣的邊界積分方程， 這種方法通過設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問題的需要 可以通過設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量 ，這樣我們逐步進(jìn)行求解： 通過設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問題的需要可以通過設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量 。 )( ) ( ) ( 。 將（ ）式用指標(biāo)符號(hào)表示，即 , , ,( ) ( ) ( 。對(duì) 于非自共軛情況，應(yīng)取共軛算子 M 的基本解為權(quán)函數(shù)。 ) 0ssik k j ij k k ijG u P Q G u P Q P Q??? ? ? ? ? （ ） 這個(gè)輔助問題稱為 Kelvin 問題，是有經(jīng)典的解析解的 。在無窮遠(yuǎn)處，在 p 點(diǎn)，應(yīng)力和位移都是有奇異性的，并且我們所求解的應(yīng)力狀態(tài)為 0，位移也趨于 0，并且應(yīng)力奇異性與集中力相似，在空間域內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn) Q （稱場(chǎng)點(diǎn)）處引起的 jx 方向位移分量。 ) ( ) ( ) ( 。 中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 14 頁 3 幾種常見的邊界元方法 幾種常見的問題 下面簡(jiǎn)單介紹幾種邊界元方法適用的問題 半平面問題 在平面應(yīng)變問題的各向同性彈性半平面內(nèi)任意一點(diǎn)作用單位集中力所引起的位移和面力可表示成 Kelvin 解與輔助解之和，即： ( ) ( ) ( ) ( ),s s K s c s s K s cu u u t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 疊加輔助解后滿足半平面的直線邊界無面力作用的邊界條件。 1/ (2 )dKG?? 。 ) ( ) ( ) ( 。如圖 以上對(duì)于半平面問題的基本解公式都是針對(duì)平面應(yīng)變問題給出的，對(duì)于平面應(yīng)力問題只要將公式中的泊松比 ? 改為 39。通過方程 ()我們可以得到，在原點(diǎn) 0xy??不可以求解外，對(duì)于半平面上中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 17 頁 的任意一點(diǎn)，應(yīng)力大小為 0。 = 0yyu F L n x L n L yG?? ???? （ ） 在（ ）方程中得到：位移 yu 在力 0yF 作用點(diǎn)為正無窮大，在遠(yuǎn)離這個(gè)作用點(diǎn)時(shí)越來越小。 其中 tanyArc x 表示 arctan 的主值，有： / 2 t a n / / 2A rc y x??? ? ? ? （ ） k 由變量 x 和 y 決定，即 : 1 0 , 0001 0 , 0xykxy?????????當(dāng)當(dāng)當(dāng) （ ） 因此 arctan /yx的值位于 ? 和 +? 之間。這種問題一般應(yīng)用到固體力學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于 Flamant 問題的說明我們可以通過右圖可以看出： .Fy 代表沿 z 軸作用的線荷載，而它的單位為 :N/m。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 2 (1 2 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? ? ?()1 2 1 239。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jSSu p u P q t q d S q t P q u q d S q???? （ ） 中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 13 頁 由（ ）式我們得到了以下幾種結(jié)論，彈性理論的解的性質(zhì)大都可以這樣確定：邊界各點(diǎn)的位移 iu 與面力 it 全部已經(jīng)確定，則域內(nèi)任意點(diǎn)的位移也都隨之確定。 )sj ijt Q t P Q? ? ? ? ? ? ?, , , ,21 1 2 3 1 28 ( 1 ) ij i j i j j irr r r n r nrn? ? ??? ?????? ? ? ? ? ? ????????? （ ） 代入（ ）式可以得到： 1 ( 1 )( ) ( 。 由于該問題的軸對(duì)稱性質(zhì)，可以在圓柱坐標(biāo)系 ( , , )z??下采用 Love 應(yīng)變函數(shù)求解。在實(shí)際應(yīng)用中 ，這兩組荷載與相應(yīng)的變形狀態(tài)中通常一組是待求的真實(shí)狀態(tài)，而另一組是為求解方便而引起的輔助狀態(tài)。 ) ( ) ( ) ( )gs s s sc p p p q q P q q n q d q p q g q P q n q q d q? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? （ ） 其中，對(duì)于二維問題的指標(biāo)用希臘字母表示，其取值范圍為 1,2。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。 對(duì)于二維位勢(shì)問題，可以用同樣的方法由二維 Laplace 方程出發(fā)來導(dǎo)出相應(yīng)的邊界積分方程。 ) ( ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ,()sssPqP P q q q d S q P Vn n q??? ? ?????? ? ? ?????? 39。 中國礦業(yè)大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 7 頁 雖然，邊界元方法在工程領(lǐng)域發(fā)展遲緩，經(jīng)過近期多位學(xué)者的努力，也取得了較大的成就，系統(tǒng)的得出了一些計(jì)算方法和基本理論，為以后的發(fā)展鋪平了道路。 我國先后出版了多本有關(guān)邊界元法的專著，其中：面向工科專業(yè)的代表性的有杜慶華等 1989 年在高等教育出版社出版的《邊界積分方程 —— 邊界元法的力學(xué)基礎(chǔ)與工程應(yīng)用》，嵇醒等 1997 年在同濟(jì)大學(xué)出版社出版的《邊界元法進(jìn)展及通用程序》等；面向數(shù)學(xué)專業(yè)的有祝家麟 1991 年在科學(xué)出版社出版的《橢圓邊值問題的邊界元分析》，余德浩 1993 年在科學(xué)出版社出版的《自然邊界元方法的數(shù)值理論》等；與工程密切結(jié)合的有申光憲 20xx 年在科學(xué)出版社出版的《多極邊界元方法和軋制工程》等。 我國邊界元法研究概況 我國的邊界元法研究起步于 20 世紀(jì) 70 年代末期，清華大學(xué)的杜慶華在推動(dòng)我國的邊界元法研究方面起了重要作用。其中， BEASY 在當(dāng)今邊界元應(yīng)用軟件市場(chǎng)可謂獨(dú)占鰲頭，在英國、美國、法國和日本等國的大學(xué)、研究所和公司得到了一定的應(yīng)用。 1982 年，在第四屆邊界元法國際會(huì)議上，英國南安普敦大學(xué)的 Danson 介紹了他們研制的邊界元分析程序包 BEASY，這是國際上第一個(gè)邊界元法大型軟件。 邊界元法在非線性問題方面的研究與應(yīng)用已經(jīng)涉及：非彈性力學(xué) (包括塑性、彈粘塑性、彈塑性、蠕變等 )、非彈性動(dòng)力學(xué)、非彈性斷裂動(dòng)力學(xué) 、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性殼體分析、非線性勢(shì)問題、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、含時(shí)間的非線性勢(shì)問題、非線性瞬態(tài)熱分析、材料非線性熱分析、非線性板殼分析、巖土力學(xué)、非線性瞬態(tài)波的傳插、非彈性有限變形等。 Wendiand 是研究邊界元法數(shù)學(xué)理論的主要學(xué)者，其主要工作有：數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元和邊界元耦合方法的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學(xué)和流體流動(dòng)問題邊界元法的數(shù)學(xué)理論，斷裂力學(xué)邊界元法的誤差分析等。 1977 年， Brebbia 和Banerjee 重新使用了邊界元法這個(gè)名稱，邊界元法從此有了明確的定義。 Cruse 還討論了由邊界面力獲得表面應(yīng)力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學(xué)問題以及對(duì)特殊形狀的裂紋采用特殊的應(yīng)力函數(shù)等。 1967 年， Rizzo 運(yùn)用了 BettiSomighana 公式建立彈性靜力學(xué)問題的邊界積分公式，指出了邊界位移和面 力的函數(shù)關(guān)系，這是文獻(xiàn)中最早的一篇關(guān)于直接邊界元方法的論文。 在這一時(shí)期， Richard Shaw 對(duì)波的傳播問題的邊界積分方程方法進(jìn)行了廣泛的研究。常規(guī)邊界元的弱點(diǎn)更為明顯，舉例如下：邊界元方法求解問題時(shí)，所需要求解的代數(shù)方程是滿陣，而且是非對(duì)稱的，對(duì)于 1000 個(gè)邊界點(diǎn)的二維問題，大概需要計(jì)算 20xx 個(gè)自由度，這樣對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣就有 20xx0000個(gè)元素，其中元素是雙精度的，因此，每個(gè)系數(shù)矩陣占有 800M 的儲(chǔ)存空間。邊界元方法的這些特點(diǎn)，使邊界元法得到了廣泛的應(yīng)用，并且受到了力學(xué)研究領(lǐng)域的重視。 direct boundary element method 目 錄 1 邊界元發(fā)展概況 ............................................................................................................................. 1 發(fā)展歷史 ............................................................................................................................. 1 萌芽與奠基期 ( 1950— 1978 ) ................................................................................ 2 方法完善與初步應(yīng)用期 ( 1978— 1990 ) ..........................................