【正文】 邊界，基本解為 1( 。 ) ( ) ( 。 對于一般問題的推廣 對于二維域上的一般二階線性偏微分方程： ( ) 0,Lx? ? ? ?? （ ） 其中微分算子 L 為： L A B C?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ ） 即： ( ) , , 0 ,L A B C x A? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ ） 引入權(quán)函數(shù) ? ，按照加權(quán)余量格式，令： ( ) ( , , ) 0L d A B C d? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? （ ） 利用 Gauss 公式可得 ( ) ( , ) ( ) , ( ) , ( ) ,L d A n B n d A n d A B C d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?（ ） :其中可定義： ( ) , ( ) , ( )A B C M? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ ） 微分算子 M 稱為算子 L 的共軛算子，一般情況下為了進行相應于前面所述的推導應使權(quán)函數(shù)滿足方程 ( ) ( )Mp? ??? （ ） 即：取共軛算子的基本解為權(quán)函數(shù)。 中國礦業(yè)大學 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 11 頁 Betti 定理、 Kelvin 解及 Somigliana 等式 為了以比較直觀的方式來建立彈性靜力學的邊界積分方程，可以將 Betti 功互等定理（簡稱 Betti 定理）作為推導的出發(fā)點，我們簡單介紹一下互等定理，為后面的推導提供理論依據(jù)。 我們?yōu)榱藦椥造o力學的邊界積分方程，需要在點 p 處作用一個單位集中力，而這個力引起的輔助狀態(tài)變形后，滿足一定的方程為，這個方程為： ,( ) ( 。 設(shè)集中力 F 沿 Oz 方向作用于坐標原點 O （圖 ）。得到的解為 ： 中國礦業(yè)大學 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 12 頁 233 2 ( 1 2 ) 1, 0 ,1 6 ( 1 ) 1 6 ( 1 )zF z F zu u uG r G r r r?? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? ?? （ ） 推廣到一般情況并采用指標符號，在我們所取的任何點 p （稱源點）沿 ix 方向作用時，對于單位的力，在空間域內(nèi)的任意一個點 Q（稱場點）處引起的 jx 方向位移分量可表示為 ,1( 。 我們?nèi)绻僭O(shè)在 互等定理的等式（ ）中取得 Kelvin 解（ ），并且他的變形狀和我們前面設(shè)定的是差不多的，則 ( 2 )( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )ssi ij j ij jVSu p u P Q f Q d V Q u P q t q d S q???? ( 。這是求解彈性力學問題的理論方法，即把邊界上未知的量全部求 解出來。其中下標 ?? 代表在 P 點作用 x? 方向的單位集中力引起的 Q 點 x? 方向的位移分量。 (1 2 ) , ,sF du K r r??? ? ? ? ? ? ?()2 1 2 139。這種解可用于 2Ox 上有外力作用的部分。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )s F s F s FC p u p u p Q f Q d Q u p q t q d q t p q u q d q?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ( ) ( )39。 ) ( ) ( ) , 39。 / (1 )? ? ???即可。這樣的求解問題，我們可以看成是平面求解問題，很顯然，邊界元法降低 了求解問題的維數(shù)。也就是說，在原點處，半平面受到的力是單一的。對半無限區(qū)域 0y? ，該函數(shù)的值在 ? 和0 之間， 即有： arctan / 0yx? ??， y? （ ） 特別的，當 y=0 時，有： 0 , = 0a r c ta n = 0 0 , = 0xyyx xy????如 果如 果 （ ） 把這些結(jié)果代入（ ）的第一個方 程可得： ? ?1 2= , 0 , = 04xyu F x yG? ? ?1 2=+ , 0 , = 04xyu F x yG? （ ） 可以看出半平面表面位移在 x 方向的分量為一個定值，不隨著方向去改變。從而能夠。 相面對 ()中的另外的一個方程進行討論，令 =0y ，可以得到 : ? ?1= 。這樣我們就可以建立下面的函數(shù)： 該函數(shù)定義如下： a r c ta n ta nyyA rc kxx ??? （ ） 為了得到在方程（ ）中位移分量，我們就必須得到反正切函數(shù) arctan /yx的值。 可以得到在 0y? 時 半平面的應力為 : （ ） 位移為（其中 L 是常量） : ? ?yx 22Fu 1 2 a r c ta n2 π G2 y x yx x y????? ?? ? ? ????? ????? ? ?12 2 22yy 2 2 2Fu 2 12 π Gx y yLnL x y????? ? ? ????? ????? （ ） 得到在半平面邊界上，向量 i ji jtn?? 的分量為 : ? ?x yx xyt ????和 y yyt ?? ，的這樣我們可以得到單位外法線向量為 jn ， 而它的兩個方向的分量分別為為 : 0xn? 和1yn? 。 Flamant 問題 我們首先建立一個各向同性的半平面，在這個半平面上作用一個集中力 f，這樣的問題就是我們所研究的 Flamant 問題，這一節(jié)我們就來用這種方法下的奇異解構(gòu)造邊界方程的邊界元方法。? 為半平面邊界上有面力作用的部分。( 。 ) ( ) ( ) ( 。( ) ( ) ( 。 2 (1 ) l n , ,sF du K r r r?? ? ? ? () 2 ( , , )sF rt r rrn?? ? ?? ??? ? （ ） 其中 39。 當 p 點為半平面邊界線 2Ox 上的點時，上述由 Kelvin 解和輔助解疊加所得基本解即 Flamant 解，其公式可以寫成： ? ?()1 1 1 139。本章在列出彈性力學的微分提法即其偏微分方程邊值問題的基礎(chǔ)上，介紹利用賦予力學意義的數(shù)學公式（即為公式化的力學規(guī)律）來推導邊界積分方程：由 Betti 功互等定理出發(fā)，利用 Kelvin 基本解，導出 Somigliana 等式，最終得到彈性力學的 邊界積分方程。 ) ( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )sij jS t P q u q dS q?? （ ） 對于待解問題的真實解略去上標（ 1），即可寫成 ( ) ( 。對于這種狀態(tài)我們可以得到：而且在 p 點處僅有沿 ix 方向作用的單位集中力，域內(nèi)不可能有分布的力，而在邊界 S 則應該作用與（ ） 式的位移場相對應的面力 (2)jt ，若將邊界 S 上任意場點記作 q ，則可得 (2) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r P Q x Q x P x Q x P x Q x P? ? ? ? ? ? （ ） 這是 Q 點與 p 點之間的距離。我們對集中力的解釋為取一個小球洞，在其表面上有一個載荷系，這個載荷系的極限就是集中力。 ) ( 。接下來我們計算 (2)if ， (2)it 在 (1)iu 消耗的功，我們可以采用平衡方程或者 Gauss 公式就可以求出相應的值： ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),i i i i ij j i ij j iV S S Vf u d V t u d S n u d S u d V??? ? ?? ? ? ? ? ?( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),ij i ij j iVVju d V u d V?????? （ ） ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ),ij i j ij ijVVu d V d V? ? ????? 利用應力應變的關(guān)系可以寫出： ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ),ij ij ijk l ij k l k l ij i jEu? ? ? ? ? ?? ? ? （ ） 于是又（ ）式不難得出 ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ),i i i i ij i j ij i jV S V Vf u d V t u d S u d V u d V??? ? ?? ? ? ? (1 ) ( 2 ) (1 ) ( 2 )i i i iVSf u d V t u d S???? （ ） 此式即 為 Betti 定理，它可以敘述如下：假如同一彈性體承受兩組體積力和表面力的作用，那么第一組力 (1)if ， (1)it 在由第二組力所引起的位移 (2)iu 上所做的功等于第二組力 (2)if ， (2)it 在第一組力所引起的位移 (1)iu 上所做的功。顯然調(diào)和算子就是一例，因此可取算子 L 的基本解作為權(quán)函數(shù)來推導邊界積分方程。 ) ( ) ( 。這里的 a 之所以要有長度量綱是因為對數(shù)是個超越函數(shù)，該函數(shù)的自變量必須是無量綱的。 )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( )()ss pqp p q q q d qn n q??? ? ??????? ? ?????? （ ） 相應的邊界積分方程為 ( 。這個過程可以簡稱為用加權(quán)余量法建立邊界積分方程。而這一邊界積分方程的奇異點 p 也可以選取在邊界上的任意點，對于這樣的問題，在數(shù)學上是是定的。 )( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( )()s siisspqc p d S q P q n q d S qnq?? ????? ????????? （ ） S? 是如圖 所示為把不滿足 Green等式應用條件的奇異點從積分域中除去而作中國礦業(yè)大學 20xx 屆本科生畢業(yè)論文 第 9 頁 的以 ? 為半徑的球面， ()nq? 是小球面各點指向 p 點的外法線方向。 ) ( ) ( ) ( ) ,()ssspqc p p p q q q d S q p Sn n q??? ? ?????? ? ? ?????? （ ） 或者用指標符號寫成 ,( ) ( ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ,ss i i isP P q q P q q n q d S q P V? ? ? ? ?? ? ? ?? （ ） 這樣我們就建立了邊界積分方程，只需要將奇異點 P（基本解的奇異點）從域 V或者 39。 )( ) ( 。 物理問題中，我們經(jīng)常遇到的是位勢相關(guān)問題，也就是我們經(jīng)常求解的調(diào)和方程，在求解調(diào)和方程時，我們通常建立所求問題的邊界積分方程，然后再將建立的邊界積分方程進行推廣，本章節(jié)，我們首先推導邊界積分方程，然后將這種研究方法推廣，在一般的偏分方程方面進行研究，最后，以位勢問題作為我們推導邊界方程的實例，通過位勢問題介紹邊界元方法。劉興業(yè)利用邊界元方法對圍巖的應力以及變形進行研究，給出了測定圍巖穩(wěn)定性的幾種方法。 與國際同行相比，我國邊界元研究較大的差距 在于邊界元軟件的開發(fā)及其在工程應用中的推廣，國內(nèi)至今還沒有得到較廣泛的實際應用的邊界元法應用軟件。中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院的余德 浩則師承馮康，在自然邊界元法的數(shù)學理論方面成果突出。 由杜慶華和日本境界要素法研究會的田中正?。?）和小林昭一（ ）發(fā)起，從 1987 年開始每 3 年舉行兩次中日邊界元法學術(shù)會議。但尚難以并駕齊驅(qū)，有待進一步發(fā)展。 理論完善與廣泛應用期 (1990 至今 ) 90 年代以后，邊界元法在以下幾個方面得到進一步發(fā)展： （ 1）數(shù) 學理論的完善 邊界元法像有限元法那樣在收斂性、誤差分析和各種不同的邊界元形式的統(tǒng)一等方面形成較規(guī)范的數(shù)學