【導(dǎo)讀】提取，必須對其進(jìn)行恢復(fù),維納濾波是一種常見的圖像復(fù)原方法。波器，對運(yùn)動模糊圖像和它的加噪圖像進(jìn)行復(fù)原。之后，對逆濾波和維納濾波進(jìn)。行圖像復(fù)原仿真實(shí)驗(yàn)，并對比它們的復(fù)原效果。

　　

【正文】 是正的，也可能是負(fù)的，并且它是一個隨機(jī)變量。因此，用它的均方值來表達(dá)誤差是合理的，所謂均方誤差最小即它的平方的統(tǒng)計平均值最小如（ 35） : ? ?min2 )(neEm i n2^ )()(?????????? ?????? ?? nsnsE (35) 采用最小均方誤差準(zhǔn)則作為最佳過濾準(zhǔn)則的原因還在于它的理論分析比較簡單，不要求對概率的描述。并且在這種準(zhǔn)則下導(dǎo)出的最佳線性系統(tǒng)對其它很廣泛一類準(zhǔn)則而言也是最佳的 。 運(yùn)動模糊參數(shù)的確定 1. 算法理論分析 假 設(shè)快門的開啟和關(guān)閉所用時間非常短，那么光學(xué)成像過程不會受到運(yùn)動的干擾，圖像也不會出現(xiàn)運(yùn)動模糊退化現(xiàn)象。如果設(shè) T 為曝光時間，則運(yùn)動模糊退化模型為（ 36） 000( , ) ( ) , ( ) ( , )Tg x y f x x y y d t n x y? ? ? ?? （ 36） 式（ 36）中： g（ x， y）表示模糊退化圖像， f（ x， y）表示原始圖像。 n（ x， y）表示噪聲。首先考慮沒有噪聲的情況，對式 (36)進(jìn)行傅里葉變換得（ 37） 002 ( ( ) ( ) )0( , ) ( , ) T j u x t v y tG u v F u v e d t???? ? （ 37） 002 ( ( ) ( ) )0( , ) T j u x t vy tH u v e d t???? ? （ 38） 式（ 38）中： H(u， v)表示退化圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) (PSF)[10]。 假設(shè)當(dāng)前圖像做勻速直線運(yùn)動，勻速直線運(yùn)動模糊退化函數(shù)由式 (38)變換為（ 39）： ()( , ) s i n ( ( ) )() j u a v bTH u v u a v b eu a v b ??? ????? （ 39） 由于圖像在 PC 機(jī)上存儲為離散形式，需要將上述傳遞函數(shù)表示為離散表達(dá)式，設(shè)圖像尺寸為 M? N，由二維離散傅里葉變換的公式得（ 310） : 蘭州理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 20 ()( , ) s in ( ( ) )()u a v bj MNT u a v bH u v eu a v b MNMN ??? ????? （ 310） 其中， u取值為 0 到 M1， v取值為 0 到 （ 311） ),(),(),( vuHvuFvuG ?? （ 311） 當(dāng) n 為其它整數(shù)值時， H（ u， v） =0，從而 G（ u， v） =， G（ u， v）的圖像在非零整數(shù)的線上顯示為黑色條紋 (黑色表示最小灰度，白色表示最大灰度 )。如果 M， N 為素數(shù)，雖然 u， v在各自取值范圍內(nèi)無法為非零正整數(shù)，但對于一般圖像其頻譜圖依然會呈現(xiàn)規(guī)則的明暗條紋狀 [12]。這是由于 sinπ為周期函數(shù)，它在自己的前后兩個半周期內(nèi)呈現(xiàn)明顯的遞減和遞增特性，從而也形成規(guī)則的明暗條紋。容易證明，退化圖像頻譜中條紋傾斜角度即為直線斜率所對應(yīng)角度，可用公式表示為（ 312） : tan aNa bM? (312) t a n t a n ( )2 Na M?? ?? (313) 默認(rèn)圖像頻譜暗條紋方向與運(yùn)動模糊的方向相垂直，由式 (313)可以看出，僅當(dāng) N =M 時，條紋角度與模糊角度是垂直的，但當(dāng)所處理圖片長和寬不相等時，簡單認(rèn)為模糊角度和條紋傾斜角度垂直是不準(zhǔn)確的。而如果對圖片進(jìn)行不當(dāng)?shù)牟眉魰茐脑紙D像信息，尤其對于抓拍到的高速車輛圖像，其背景靜止而只有車輛運(yùn)動，原始像素信息會的到較好的保留，如強(qiáng)行將圖片修剪為正方形會對模糊參數(shù)的檢測帶來不利影響。而根據(jù)式 (313)，對任意尺寸的圖像，一旦檢測出退化圖像頻譜條紋角度，就可以有效的確定運(yùn)動模糊角度 [12]。 對圖像頻譜 處理過程中，通常將圖像通過循環(huán)移位方式把 u=0， v=0 移到中心位置，由點(diǎn)到直線的距離公式，中心點(diǎn) (0,0)到直線 ( ) 1a M b N??的距離 d 為（ 314） 221( ) ( )d abMN? ? (314) 由對稱性，圖像中心兩個暗條紋之間的間距 D=2d，設(shè)圖像的模糊長度為 L，則sin , c osa l b l????。令 M=? N，得（ 315） 222( c o s ) ( s in )MD l ??? ? （ 315） 蘭州理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 21 由式 (316)可得模糊長度為（ 317） 222( c o s ) ( s in )MD D ??? ? （ 316） （ 316）僅考慮了 x 軸方向運(yùn)動模糊的情況，并得出 ()l N d? ，其中 N 為圖像寬度 d 為非中心兩個暗條紋間距。公式 ()l N d? 無法簡單的推廣到任意運(yùn)動方向模糊的情況中去?？梢缘贸觯?dāng)被處理圖片為長寬相等時， ? =1，模糊長度和中心暗條紋間距為簡單的反比關(guān)系 (2 )l M D? ，但當(dāng)所處理圖片長寬不相等時，只能用式（ 316）來確定模糊長度 [1]。 2 .算法實(shí)現(xiàn) 對于二維函數(shù) f（ x， y）， Radon 變換計算它在某一指定角度射線方向的投影變換，即它在確定方向上的線積分。對圖像 而言 Radon 變換反映了圖像在不同方向上的投影性質(zhì)。首先對得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化預(yù)處理，理論上當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動到 與條紋方向相垂直時，Radon 變換的最大值為各角度 Radon變換最大值中的極大值，這樣通過尋找這個極大值就可以確定暗條紋傾斜角度。而在這個角度進(jìn)行 Radon 變換得到的二維變換圖像中的主瓣寬度則對應(yīng)頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋寬度，其旁瓣對應(yīng)相應(yīng)位置相鄰暗條紋間距 [2]。圖 為對模糊長度為 30 像素的圖像頻譜二值化后在垂直于其暗條紋方向的軸得到的 Radon 變換投影圖像，其縱軸為像素灰度累加和，橫軸為圖像寬度單位為像素。圖中主瓣寬度即為頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋間距 D。 圖 退化圖像 Radon 變換投影 由于電腦所處理圖像為數(shù)字圖像，這樣對相鄰暗條紋間距的進(jìn)行檢測時，會存在最大 1個像素的絕對誤差。由公式知，當(dāng)出現(xiàn)這種最惡劣情況時，檢測長度產(chǎn)生的絕對誤差為 1/D，可以通過檢測多個暗條紋之間的總的間距，然后取條紋間距的平均值來減少絕對誤差。但是蘭州理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 22 由于( , )ua m vb n?因子的衰減作用，對于不是特別高清晰度的普通分辨率小圖片，即使當(dāng)較小的噪聲作用與圖像時，其頻譜圖像中，除中心暗條紋依然清晰可見外，其它暗條紋已經(jīng)模糊不清。即檢測多個暗條紋間距，并取平均值的方法缺乏對噪聲的 抵抗性。因此本算法只檢測頻譜圖像中心暗條紋間距來進(jìn)行模糊長度的檢測。 基于上述理論分析 ,設(shè)計出檢測運(yùn)動模糊角度和長度的方法，并實(shí)現(xiàn)對退化圖像的自動恢復(fù)； (1) 計算 |G（ u， v） |，轉(zhuǎn)化為 log(|G（ u， v） |)，并且移位使 u =0， v=0 位于中心位置； (2) 對得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化處理； (3) 對移位后的 log(|G（ u， v） |)進(jìn)行 Radon 變換，找出變換最大值對應(yīng)的角度 a，在尋找 a 的過程中可以使用二分法提高檢測效率； (4) 由式 (312)求出模糊角度檢測值； (5) 根據(jù)在 ? 方向的 Radon 變換值檢測頻譜中心暗條紋間距； (6) 根據(jù)式 (316)得出模糊長度 L 檢測值； (7) 用檢測出的模糊角度 ? 和模糊長度構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)； (8) 運(yùn)用維納濾波法對圖像進(jìn)行恢復(fù)； (9) 對恢復(fù)圖像進(jìn)行處理，去除振鈴效應(yīng)。 3 .實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析 如圖 所示。這對使用 Radon 算法檢測模糊角度產(chǎn)生了較大影響，進(jìn)而影響了模糊長度的檢測。在這種情況下，可以在檢測出的角度周圍小范圍內(nèi)，對各個角度 Radon 變換投影主瓣進(jìn)行積分，并采用積分值為最大時的角度為模糊角度。經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)驗(yàn)證，此方法可以將暗條紋角度檢測的誤差控制在 1176。以內(nèi)，進(jìn)而可以比較精確地檢測出中心暗條紋間距。這樣，使用本文方法檢測出的模糊參數(shù)構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，來恢復(fù)退化圖像可以取得很好的效果。 圖 退化圖像二值化后頻譜 蘭州理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 23 維納 霍夫（ WienerHopf）方程 設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng) )(nh 或傳遞函數(shù) )(zH 的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納 霍夫（ WienerHopf）方程。我們從時域入手求最小均方誤差下的 )(nh ,用 )(nhopt 表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計。 因果的維納濾波器 ,設(shè) )(nh 是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列： 0)( ?nh , 當(dāng) 0?n ， 因此，可推導(dǎo)出（ 317）： ?)(ny )(?s???? ?? 0 )()(m mnxmh (317) ? ?)(2 neE ???????? ?????? ??? ????20)()()(mmnxmhnsE (318) 要使得均方誤差最小，則將式（ 318）對各 )(mh , ,...,1,0?m 求偏導(dǎo)，并且等于零，得（ 319） 0)()()()(20 ??????? ??????? ?? ???? jnxmnxmhnsE m opt ,...,1,0?j (319) 即（ 320） ? ?)()( jnxnsE ? ? ????? ??? 0 )()()(m opt jnxmnxEmh j ?0 (320) 用相關(guān)函數(shù) R 來表達(dá)上式，則得到維納 霍夫方程的離散形式（ 321）： )(jRxx ???? ?? 0 )()(m xxopt mjRmh j ?0 (321) 由式 (321)進(jìn)一步化簡得（ 322）： ? ?min2 )(neE )0(xxR? ????? 0 )()(m xxopt mRmh (322) 有限脈沖響應(yīng)法求解維納 —霍夫方程。 如何去求解維納 —霍夫方程，即式 (322)中解 )n(opth 的問題，設(shè) )(nh 是一個因果序列且可以用有限長（ N 點(diǎn)長）的序列去逼進(jìn)它，則 (321)～ (322)分別發(fā)生變化： 蘭州理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 24 ?)(ny ^)(ns ??? ??10 )()(Nm mnxmh (323) ? ?)(2 neE ???????? ?????? ??? ???210 )()()(Nm mnxmhnsE (324) 0)()()()(2 10 ??????? ??????? ?? ??? jnxmnxmhnsE Nm opt (325) ? ?)()( jnxnsE ? ? ???? ???10 )()()(Nm opt jnxmnxEmh (326) )(jRxx ??? ??10 )()(Nm xxopt mjRmh (327) 其中， 1,...,1,0 ?? Nj 。于是得到 N 個線性方程 ,寫成矩陣形式有（ 328）： ????????????????)0()2()1()2()0()1()1(1)0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR???????）（????????????? )1()1()0(Nhhh? ??????????????)1()1()0(NRRRxxxxxx? (328) ?xxR????????????????)0()2()1()2()0()1()1()1()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR??????? (329) ? ?min2 )(neE ?????10 )()()0(Nm xxoptxx mRmhR (330) 用有限長的 )(nh 來實(shí)現(xiàn)維納濾波時，當(dāng)已知觀測值的自相關(guān)和信號的互相關(guān)時就可以按照式 (330)在時域里求解