【導讀】1．用48m長的籬笆在空地上圍成一個正六邊形綠地，綠地的。是AB的中點，點D，E是AC，BC邊上的動點，且ADCE?，連接DE.有下列結論：。；②四邊形PDCE面積為1；③點C到DE距離的最大值為2. 確的個數是（）.3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角向內折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處.邊的點F處，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，4．將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，經過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉α，DE′交AC于點M，DF′。先根據直角三角形斜邊上的中線性質得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠。B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根據旋轉的性質得∠PDM=∠CDN=α，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，8．(2021·浙江金華東區(qū)·4月診斷檢測若直角三角形的一條直角邊長為12，另兩條邊長均。與其內部小正方形的邊長都為a，

　　

【正文】 勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質、概率公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（ 2）小題的關鍵． 4. (2021陜西師大附中模擬 ) (5分 )如圖，已知線段 a 。只用直尺（沒有刻度的尺）和圓規(guī)，求作一個直角三角形 ABC，以 AB和 BC分別為兩條直角邊，使 AB=a ， BC=12a （要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 5. （ 2021遼寧丹東七中一模）（ 12分）已知：在 Rt△ ABC中， AB=BC，在 Rt△ ADE中，AD=DE，連結 EC，取 EC的中點 M，連結 DM和 BM． (1)若點 D在邊 AC 上，點 E在邊 AB上，且與點 B 不重合，如圖①，探索 BM、 DM 的 關系并給予證明； (2)如果將圖①中的△ ADE繞點 A逆時針旋轉小于 45176。的角，如圖②，那么 (1)中的結論是否 仍成立？ 如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明． 圖① 圖② 1.(1)BM⊥ DM且 BM＝ DM 在 Rt△ ABE中， M是斜邊 CE的中點，∴ BM＝ 12 EC，同理可得 DM＝ 12 CE ∴ BM＝ DM ∵ BM＝ CM＝ 12 EC，∴∠ MCB＝∠ MBC ∵∠ EMB＝∠ MBC＋∠ MCB ∴∠ EMB＝ 2∠ MCB，同理，∠ DME＝ 2∠ DCM ∴∠ EMB＋∠ DME＝ 2∠ MCB＋ 2∠ DCM ＝ 2（∠ MCB＋∠ DCM﹚＝ 2∠ BCA ∵ AB＝ AC∴∠ A＝∠ ACB＝ 45186?！唷?DMB＝ 2 45186。＝ 90186。 ∴ DM⊥ BM （ 2） 延長 DM至 N，使 DM＝ MN，連接 CN， BD， BN 易證△ EDM≌△ CNM ∴ CN＝ DE ∵ AD＝ DE ∴ DE＝ CN 易證∠ DEC＋∠ ECA＋∠ DAC＝ 90186。 ∴∠ DEC＋∠ ECA＋ 45186。－∠ BAD＝ 90186。 ∴∠ NCM＋ 45186。－∠ BCM－∠ BAD＋ 45186。＝ 90186。 ∴∠ NCM－∠ BCM＝∠ BAD，即∠ BCN＝∠ BAD ∴易證△ BAD≌△ BCN ∴ BD＝ BN ∵ DM＝ MN ∴ BM⊥ DM 又∵易證△ DBN為 Rt△，∴ BM＝ DM＝ 12 DN。 6. （ 2021廣東一模） （ 本題滿分 10 分）定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解： （ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內接四邊形 ABCD中， AB是 ⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中， ∠ PCB=90176。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點 A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符合條件的點 D，使四邊形 ABCD為對等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1所示（畫 2個即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。 ， 在 Rt△ ADB和 Rt△ ACB中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB，∴ AD=BC， 又∵ AB是⊙ O的直徑，∴ AB≠CD ，∴四邊形 ABCD是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點 D的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時點 D在 D1的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時點 D在 D D3的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點 A分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設 BE=x，∵ tan∠ PBC= ，∴ AE= ， 在 Rt△ ABE中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12，∴ CE=BC﹣ BE=6， 由 四 邊 形 AECF 為 矩 形 ， 可 得 AF=CE=6 ， CF=AE=12 ，在 R t △ AFD2 中，∴ ， ， 綜上所述， CD的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 6. （ 2021廣東深圳一模） 已知：在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ∠C=90176。 ， AB=AD=25，BC=32．連接 BD， AE⊥BD 垂足為 E． （ 1）求證： △ABE∽△DBC ； （ 2）求線段 AE的長． 【考點】 相似三角形 的判定與性質；勾股定理；直角梯形． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）由等腰三角形的性質可知 ∠ABD=∠ADB ，由 AD∥BC 可知， ∠ADB=∠DBC ，由此可得 ∠ABD=∠DBC ，又 ∵∠AEB=∠C=90176。 ，利用 “AA” 可證 △ABE∽△DBC ； （ 2）由等腰三角形的性質可知， BD=2BE，根據 △ABE∽△DBC ，利用相似比求 BE，在 Rt△ABE中，利用勾股定理求 AE． 【解答】 （ 1）證明： ∵AB=AD=25 ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∵AD∥BC ， ∴∠ADB=∠DBC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∵AE⊥BD ， ∴∠AEB=∠C=90176。 ， ∴△ABE∽△DBC ； （ 2）解： ∵AB=AD ，又 AE⊥BD ， ∴BE=DE ， ∴BD=2BE ， 由 △ABE∽△DBC ， 得 ， ∵AB=AD=25 ， BC=32， ∴ ， ∴BE=20 ， ∴AE= ． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質．關鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質及勾股定理解題．