【導(dǎo)讀】機(jī)會大幅增長,因此應(yīng)力求用簡便方法解決問題.單純計(jì)算行列式的題目大概永遠(yuǎn)不會出現(xiàn).所以需要結(jié)合其它的知識點(diǎn).例4若四階方陣A的特征值分別為-1,1,2,3,則行列式|A-1+2A*|=[].剩余的就是簡單的變形了:. 本題有巧解,你想到了嗎?就讓A是那個(gè)滿足條件的最簡單的矩陣!0,于是,B至少有n-1個(gè)特征值為0,另有一特征值等于。很多人覺得此題無從下手,實(shí)在冤枉了出題人.由A3X=2AX-3A2X可知,AX=,|A|=0:否則,A可逆,X,AX,A2X將線性相關(guān),矛盾!|A2+3A-4E|=A的三個(gè)特征值為0,1,2A2+3E的三個(gè)特征值為3,5,35.例4設(shè)n階矩陣A滿足AA?

　　

【正文】 。 { 0 , 1 , 1 }0 0 1 0 0 1e e e ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若由基 1 2 3,? ? ? 到第三組基 1 2 3,? ? ? 的過渡矩陣為 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 23 1 1 10 1 11 0 1B???????????. (1)求 1 2 3,? ? ? 。 (2)設(shè)向量 x 在基 1 2 3,? ? ? 下的坐標(biāo)為123??????????,求 x 在基 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo) . 解 (1)首先，基 1 2 3,e e e 到基 1 2 3,? ? ? 的過渡矩陣為1 1 10 1 10 0 1A?????????,所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 0 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 01 0 1B e e e AB e e e? ? ? ? ? ?????? ? ?????,因此 1 2 32 0 11 , 1 , 0 .1 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (2) 由于 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 0 1 1 5( , , ) 2 ( , , ) 1 1 0 2 ( , , ) 3 ,3 1 0 1 3 4x e e e e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 故 x 在 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo)為534??????????. 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 24 例 41 設(shè) n階實(shí)對稱矩陣 A滿足條件 2 6 8 0A A E? ? ?且 A+tE是正交矩陣 ,則 t=[ ]. 解 由于 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( 2 6 ) ( 8 ) ,TTA tE A tE A tE A tE A tE A tEA tA t E t A t E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?所以 t=3. 例 42(20xx)已知實(shí)二次型 2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4f x x x a x a x a x x x x x x x? ? ? ? ? ?經(jīng)正交變換 x=Py 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=6y12,則 a=. 例 43 設(shè)1 1 1 1 4 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0,1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,則 A 與 B[ ]. 例 44 已知二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 6 8 4 4 ( 0 )f x x x a x a x x x x x x x x a? ? ? ? ? ? ?通過正交變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 3772y y y?? ,求參數(shù) a 以及所用的正交變換 . 解 二次型的矩陣為44422 2 6aAa???????????，而 A的特征值為 7， 7，－ 2，所以 a+a+6=7+72=12,即 a=3. 對應(yīng)于特征值 7 的 特征向量滿足方程 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 25 1237 3 4 2 04 7 3 2 02 2 7 6 0xxx??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?， 即 1 2 32 2 0x x x? ? ? ，故12111 , 002???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?為兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,單位化 ,正交化可得 12112 3 211,2 3 20432??????????????????? ? ??????????????? ???? ??。 對應(yīng)于特征值 2 的特征向量滿足 1232 3 4 2 04 2 3 2 02 2 2 6 0xxx? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?, 即1235 4 2 04 5 2 02 2 8 0xxx??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?, 即 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 26 1223020xxxx???? ???, 故得 3221?????????????, 單 位 化 得3232313?????????????????????. 令1 2 311 22 3 2 31 1 2( , , )32 3 2104332Q ? ? ???????? ? ? ???????，則所用正交變換為X=QY. 例 45(1999) 設(shè) A為 m階實(shí)對稱矩陣且正定 ,B為 m?n 實(shí)矩陣 ,證明 :B?AB 為正定矩陣的充分必要條件是 r(B)=n. 證明 充分性 .關(guān)于正定性的證明有多種方法 .比較直接的辦法是用定義 ,即證明對任意非 0 向量 x,均有 x?B?ABx (Bx)?A(Bx) A正定 ,故上式成立只須 Bx? r(B)=n,故 Bx=0 只有零解 ,而 x?0,從而 Bx? ?沒有 !因?yàn)檎ň仃嚨那疤崾菍ΨQ矩陣 :(B?AB)?=B?A?B=B?AB. 必要性 .欲證明 r(B)=n,只須證明 Bx=0 只有零解 ,只須證明對任意 x?0,均有Bx? x?0,則由于 B?AB 正定 ,故 x?B?ABx0,即 (Bx)?A(Bx)0,因此 Bx?. 間接的方法需要對正定矩陣更多的了解 .一個(gè) n 階矩陣 A正定當(dāng)且僅當(dāng)存在列滿秩矩陣 Mm?n使得 A=M? ,由于 A 正定 ,故 B?AB=B?M?MB=(MB)?(MB). 由于 M 列滿秩 ,r(MB)=r(B).所以 B?AB 正定當(dāng)且僅當(dāng) MB 列滿秩當(dāng)且僅當(dāng) B 列滿秩 . 例 46(1997) 設(shè) B是秩為 2的 5?4矩陣 , ?=(1,1,2,3)?, ?=(1,1,4,1)?, ?=(5,1,8,9)?是齊次線性方程組 Bx=0 的解向量 ,求 Bx=0 的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 27 解 : 例 47(1996) 已知二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 5 2 6 6f x x x x x c x x x x x x x? ? ? ? ? ?的秩為 2,問 1 2 3( , , ) 1f x x x ? 表示何種曲面 ? (c=3。特征值為 0,4,9.) 例 48(1998) 已知二次曲面方程 2 2 2 2 2 2 4x ay z bx y x z y z? ? ? ? ? ?可以經(jīng)過正交變換 xyPz???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 化為橢圓柱面方程 2244???? .求 a,b 和正交矩陣 P. 解 (a=3,b=1) 綜合題型 例 49 設(shè) A 為 r 階方陣 ,B 為 r n 矩陣 , r(B)=r,且 AB= A=0. 證明 因?yàn)?r(B)=r,故 r(BT)= BTx＝ 0 只有 0 解 .但已知AB=0,故 BTAT＝ 0,所以 AT的每列均為 BTx＝ 0 的解 ,從而 AT＝ 0,即 A＝ 0. 例 50 設(shè) A是 m?n 矩陣， B 是 n?s 矩陣 ,證明：方程組 ABX=0 與 BX=0 同解的充要條件是 r(AB)=r(B). 證明 若兩方程組同解 ,則系數(shù)矩陣的秩必相等 。反之 ,若系數(shù)矩陣的秩相等 ,則它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相等 ,但由于后者的解總是前者的解 ,從而它們同解 . 例 51(1994) 設(shè) A 為非 0 實(shí)數(shù)矩陣 ,A*與 A?分別是 A 的伴隨矩陣與轉(zhuǎn)置矩陣 .設(shè) A*=A?,證明 A 可逆 . 證明 我們希望證明 |A|?0. 對于 A*與 A?,我們知道多少 ? A*由不僅容貌超群 (她頭上戴著一朵花 !),而且和逆矩陣關(guān)系密切 ,所以我們都記得 A*A=|A|E. 因此A?A=|A|E. 故若 |A|=0,則 A?A=0. 這在什么時(shí)候成立 ? 為回答此問題 , 需要看清 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 28 A?A 的長相 . 故將 A 按 列 分 塊 , 設(shè) 12( , , ... , )nA ? ? ?? , 則1239。39。39。39。nA????????????????,故 1 1 12 2 21239。 39。 * * *39。 * 39。 * *39。 ( , , . . . , )* * *39。 * * * 39。nn n nAA? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?故其主對角元素均為 A的列向量的長度的平方 .現(xiàn)在 A為非 0實(shí)矩陣 ,故至少有一列 不為 0,從而 A?A? |A|?0.(所以本題的實(shí)質(zhì)是 A?A=0 當(dāng)且僅當(dāng) A=0.) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 29 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 30 應(yīng)試策略 :合理安排 ,先易后難 ,先簡后繁 .一般來說 ,選擇題最容易 ,填空題次之 。計(jì)算題較容易但繁瑣 ,而證明題較難但簡潔 .所以應(yīng)首先處理選擇題 ,再做填空題 ,再比較計(jì)算題和證明題 ,如果證明題會做 ,則在做計(jì)算題之前先作證明題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇 .不過這些辦法因人而異 . 具體原則 : ? 不要在某道選擇題或填空題上停留太多時(shí)間 。 ? 除行列式的計(jì)算外 (很少可能 ),所有計(jì)算題應(yīng)該用較簡單的方法作出 。換句話說 ,如果計(jì)算太繁 ,那是你自己已經(jīng)出錯(cuò)了 。 ? 證明題卡殼時(shí) ,回過頭去檢查別的題 。 ? 留出 30 分鐘做檢查 . 祝大家取得好成績！ 謝謝大家！