專題10數(shù)列求和及其應用-20xx年高考數(shù)學理備考易錯點專項復習-資料下載頁
2025-11-17 17:28本頁面
【導讀】N，{}nb是首項為2的。等比數(shù)列，且公比大于0，2312bb??上述兩式相減，得??總成立，則稱數(shù)列{}na是“()Pk數(shù)列”.na既是“??2P數(shù)列”，又是“??3P數(shù)列”，因此，將③④代入②，得112nnnaaa????所以345,,,aaa是等差數(shù)列，設(shè)其公差為'd.（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1，P2?Pn+1，求由該折線與直線y=0，11nxxxx???,所圍成的區(qū)域的面積nT.向x軸作垂線，垂足分別為123,,,QQQ??（Ⅰ）證明：由題意得21nnnbaa??（Ⅰ）由題意得1111aSa????，由知，對于任意mn?
【正文】 (an＋ 3)＝ a2n＋ 2an－ 3， ∴ 當 n≥2 時， 4Sn－ 1＝ a2n－ 1＋ 2an－ 1－ 3， 兩式相減得， 4an＝ a2n－ a2n－ 1＋ 2an－ 2an－ 1， 化簡得， (an＋ an－ 1)(an－ an－ 1－ 2)＝ 0， ∵{ an}是正項數(shù)列， ∴ an＋ an－ 1≠0 ， ∴ an－ an－ 1－ 2＝ 0，對任意 n≥2 ， n∈ N*都有 an－ an－ 1＝ 2， 又由 4S1＝ a21＋ 2a1－ 3得， a21－ 2a1－ 3＝ 0， 解得 a1＝ 3或 a1＝－ 1(舍去 )， ∴{ an}是首項為 3，公差為 2的等差數(shù)列， ∴ an＝ 3＋ 2(n－ 1)＝ 2n＋ 1. (2)由已知及 (1)知， bn＝ (2n＋ 1)2 n， Tn＝ 32 1＋ 52 2＋ 72 3＋ ? ＋ (2n－ 1)2 n－ 1＋ (2n＋ 1)2 n， ① 2Tn＝ 32 2＋ 52 3＋ 72 4＋ ? ＋ (2n－ 1)2 n＋ (2n＋ 1)2 n＋ 1， ② ② － ① 得， Tn＝－ 32 1－ 2(22＋ 23＋ 24＋ ? ＋ 2n)＋ (2n＋ 1)2 n＋ 1＝－ 6－ 2 － 2n－ 11－ 2 ＋ (2n＋ 1)2 n＋ 1 ＝ 2＋ (2n－ 1)2 n＋ 1. 【名師點睛】 (1)錯位相減法適用于求數(shù)列 {an bn}的前 n項和，其中 {an}為等差數(shù)列， {bn}為等比數(shù)列； (2)所謂 “ 錯位 ” ，就是要找 “ 同類項 ” 相減．要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)． (3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取 n＝ 1,2進行驗證． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 錯位相減法是在推導等比數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列 {an bn}的前 n項和，其中 {an}， {bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． 易錯起源 裂項相消法求和 例 3 設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn， a22－ 3a7＝ 2，且 1a2， S2－ 3， S3成等比數(shù)列， n∈ N*. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)令 bn＝ 2anan＋ 2，數(shù)列 {bn}的前 n項和為 Tn，若對于任意的 n∈ N*，都有 8Tn2λ 2＋ 5λ 成立，求實數(shù) λ 的取值范圍． 解 (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d， 由????? a22－ 3a7＝ 2，S2－ 3 2＝ 1a2 S3 ?????? a1＋ 21d － a1＋ 6d ＝ 2，a1＋ d－ a1＋ d ＝ 3a1＋ 3d， 即????? － 2a1＋ 3d＝ 2，a1＋ d a1＋ d－ ＝ 0， 解得????? a1＝ 2，d＝ 2 或 ????? a1＝－ 25，d＝ 25. 當 a1＝－ 25， d＝ 25時， S2－ 3＝ － 175沒有意義， ∴ a1＝ 2， d＝ 2，此時 an＝ 2＋ 2(n－ 1)＝ 2n. 【變式探究】 (1)設(shè) Sn為等差數(shù)列 {an}的前 n項和， a2＝ 2， S5＝ 15，若 ????? ?????1an an＋ 1的前 m項和為910，則 m的值為 ( ) A． 8B． 9C． 10D． 11 (2)已知數(shù)列 {an}的通項公式為 an＝ log2n＋ 1n＋ 2 (n∈ N*)，設(shè)其前 n 項和為 Sn，則使 Sn－ 5 成立的正整數(shù) n有 ( ) A．最小值 63 B．最大值 63 C．最小值 31 D．最大值 31 答案 (1)B (2)A 解析 (1)設(shè)數(shù)列 {an}的首項為 a1，公差為 d， 則有????? a1＋ d＝ 2，5a1＋ 542 d＝ 15， ∴ a1＝ d＝ 1， ∴ an＝ n， ∴ 1an an＋ 1＝ 1n－ 1n＋ 1. ∴ 1a1 a2＋ 1a2 a3＋ 1a3 a4＋ ? ＋ 1am am＋ 1 ＝ 1－ 12＋ 12－ 13＋ ? ＋ 1m－ 1m＋ 1 ＝ 1－ 1m＋ 1＝ mm＋ 1＝ 910， ∴ m＝ 9. (2)∵ an＝ log2n＋ 1n＋ 2 (n∈ N*)， ∴ Sn＝ a1＋ a2＋ ? ＋ an＝ log223＋ log234＋ ? ＋ log2n＋ 1n＋ 2＝ (log22－ log23)＋ (log23－ log24)＋ ? ＋log2(n＋ 1)－ log2(n＋ 2)＝ log22－ log2(n＋ 2)＝ log2 2n＋ 2，由 Sn－ 5＝ log2 132? 2n＋ 2132?n62，故使 Sn－ 5成立的正整數(shù) n有最小值 63. 【名師點睛】 (1)裂項相消法的基本思想就是把通項 an分拆成 an＝ bn＋ k－ bn(k≥1 ， k∈N *)的形式，從而達到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列 {an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件． (2)常用的裂項公式 ① 1n n＋ k ＝ 1k(1n－ 1n＋ k)； ② 1n－ n＋ ＝ 12( 12n－ 1－ 12n＋ 1)； ③ 1n＋ n＋ k＝ 1k( n＋ k－ n)． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 { 1anan＋ 1}或 { 1anan＋ 2}(其中 {an}為等差數(shù)列 )等形式的數(shù)列求和．
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